1-3、常用概率分布与随机数生成

杨利霞

1-3、常用概率分布与随机数生成本文首先介绍了概率论里在数学建模中的常用分布，包括连续型分布中的均匀分布、指数分布、正态分布以及离散型分布中的二项分布、泊松分布，并针对各种分布列举了一些对应的遵循该分布的例子。然后列举了十多种Matlab里按照各种要求生成随机数、随机序列的方法，并简要介绍了excel里生成随机数的方法。最后列举了一个需要用到生成随机数知识的例子。

2 Q) h; t% J2 \' U: a7 s7 J" d一、常用概率分布与服从该分布的事件举例

2 K; ]$ y8 w: `" t. b  P在实际生活中，有一些事情的发生遵循某些概率分布。因此可以用某些概率分布模型来刻画某些事件。本节简单介绍了一些概率论基础里的概率分布，与可用其刻画的一些事件。数学理论部分不详述，建议参考概率论教科书。
/ J2 l! T9 I8 D; K) R0 }
) i; t# d) m4 r. y1、连续型分布
0 T( p# Q% I# R% p- s
（1）、均匀分布(Uniform)

' f! e8 u% _& z" O# k2 R均匀分布是概率统计中的重要分布之一。顾名思义，均匀，表示可能性相等的含义。在实际问题中，当我们无法区分在区间[a,b]内取值的随机变量X取不同值的可能性有何不同时，我们就可以假定X服从[a,b]上的均匀分布。

概率密度函数：
- P1 S$ R: v  X" Af(x)={1b−a,0,a<x<botherwise
! A# S1 z1 I6 }; a# af(x)={1b−a,a<x<b0,otherwise

- y, f) h% n( e
0 `6 ]! q$ W% l. n分布函数：
F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪0,x−ab−a,1,x≤aa<x≤bx>b
* @8 {* F4 \2 w2 f# P: [9 W) \F(x)={0,x≤ax−ab−a,a<x≤b1,x>b


适用模型：

在某区间内某事件发生的概率相等的问题。
1
（2）、指数分布
& k! @8 W% i* P* Y1 m2 _
/ j6 ~) B/ a& e3 D在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。 这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。
# X& c& N1 X8 ^7 X
% K; a& c1 W& o概率密度函数：
f(x)={λe−λx,0,x>0x≤0
; Y( ?# o* H1 z( \7 f7 J1 G+ rf(x)={λe−λx,x>00,x≤0


分布函数：

; o0 W/ s# e: d# _) o2 a3 bF(x)={1−e−λx,0,x≥0x<0
1 G; g. X( s& x8 mF(x)={1−e−λx,x≥00,x<0


2 _" T1 N" V3 d. r( F2 H! g; N0 w% a适用模型：
* j: o8 J$ x& ]9 z. o- M% c
8 y8 O# p$ Z3 c: a在电子元器件的可靠性研究中，通常用于描述对发生的缺陷数或系统故障数的测量结果。这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。可以近似地作为
高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。
. f  Z$ H: U2 A- {8 W/ R+ C1
. D: O, O& Y+ M8 l$ M+ ~! w7 _3 z  L2
（3）、正态分布(Normal)（又称高斯分布）
4 G0 f5 p: Y) C# ]
  d/ s/ Q# R$ v0 u正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
8 z5 ^* g, j# y* x若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)
9 [7 l8 @' a: |( q。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

概率密度函数：
2 v3 w. c" w1 F" }4 W& Kf(x)=12π−−√σe−(x−μ)22σ2
. U: B2 y4 {( i( cf(x)=12πσe−(x−μ)22σ2


分布函数：
& x* r2 k' S3 j2 D7 lF(x)=12π−−√σ∫x−∞e−(t−μ)22σ2dt
6 s) [# K2 _4 t3 o& s+ J! d5 EF(x)=12πσ∫−∞xe−(t−μ)22σ2dt
9 j( v$ m( h6 m' O

( ?7 C3 J! t3 s: C, c$ _* h适用模型：
/ s* J7 J+ w' L+ k- F+ y7 }
/ Q" x. K: W/ e! I& ]7 g社会人群生活水平
人群身高分布
通货膨胀率和能源价格
# F+ `- U- `; d; ?( E8 q3 B0 A' i考试成绩及学生综合素质研究（教育统计学统计规律表明，学生的智力水平，包括学习能力，实际动手能力等呈正态分布）
医学参考值（某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理）
( n( {" O- e! q; m! b* p5 _1
2
3
' Q; w4 w& K2 d+ `4
5
2、离散型分布
$ Q) ?' t5 g1 ~! U+ B- V6 O
, m$ D! w- x7 v. G5 N/ S% P（1）、二项分布（伯努利概型）
# |$ p: f  P# N7 b* A* D
二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
在n重伯努利试验中，设事件A发生的概率为p，事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2，…，n

. }7 l7 M6 j  E! d7 ^) b分布律：
P{X=k}=Cknpk(1−p)(n−k)(k=0,1,2,...,n)
  m5 T6 }) q" Z: c! c" s7 @. |. z7 vP{X=k}=Cnkpk(1−p)(n−k)(k=0,1,2,...,n)
; D1 a7 |1 _/ M% fn=20，p=0.7时分布图像如下：
+ w6 m; @8 U5 P" u" j
1 o3 U  e7 Z2 m8 n适用模型：

打枪、投篮问题（实验n次发生k次）
# b  q1 Y9 L4 V) W设备使用设备故障等确定基数下发生或不发生问题
1
# o, V4 t; }* l, s! e% g2
（2）、泊松分布（n趋于无穷时二项分布的近似）
! A7 m# i: x, J, U! T
9 `0 S3 F5 z! D泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。可参考《随机过程》中的泊松过程进一步学习。
9 S  S4 C! _" O- T, V
5 n& Z# B" E& V) Q4 v* Q/ @  C分布律：
P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,2,...)
, x& N  [2 m7 |( ~+ I# v- F. [P{X=k}=λkk!e−λ(k=0,1,2,...)
* ?4 N  d- W5 ~8 C