数学建模

杨利霞

数学建模

确定性系数和相关系数

线性回归预测是通过一组统计观测数据确定最优拟合线性关系， 但我们需要对这种关系拟合的效果好坏进行评判，这种评判通常称为模型检验。评判的结论将直接影响人们对线性回归模型的信任程度，从而也影响对预测结果的信 任程度。评判的标准主要是拟合的误差，如果拟合误差比较小，拟合效果就好，预测结果的信任程度就高。如果拟合误差较大，拟合效果就不太好，严重时还必须重 新考察历史数据、选择变量，再重新拟合。为了评判误差产生程度，我们介绍两个基本定量评判指标。

1．确定性系数

如果因变量的一组统计观测数据y i（i=0，1，…，n）的平方值为yˉ，所有统计观测数据值都分布在这个均值的上下，我们可以求出其总的误差平方和S总。计算公式为：

                                              （4.4.11）

如果通过线性回归模型拟合的值为y^i，那么可以求出回归的误差平方和

S回。计算公式为：

                                               （4.4.12）

可以认为回归的误差平方和S回是S总的一部分，也就是说回归模型部分解释了实际观测值对均值的偏离，而剩余部分为S剩，即

                                         （4.4.13）

因此可以解释同时也可以写成

                         S总=S回+S剩

显然，回归模型拟合较好，则总的误差平方和S总越能够用回归的误差平方和S回来表示，模型所描述的线性关系就越准确。所以，我们定义确定性系数为回归的误差平方和占总误差平方和的比例，即

                         R=S回/S总                                (4.4.14)

可以看出，R的值在0~1之间，如果R的值接近1，说明实际数据对均值的绝大部分都可以由回归明显来解释，模型的拟合效果就越好；如果R的值接近零，说明实际数据对均值的绝大部分都不能由回归明显来解释，即模型拟合得不好。

2．相关系数

相关系数是另一个很有用的评价指标。它的计算公式为：

                                       r=                           (4.4.15)

回归模型的相关系数的数值取值在-1~+1之间。下面以一元回归模型说明r的取值与x同y的相关关系之间的联系。因为对于多元回归模型，r的计算方法完全相同，读者可以自行将结论推广到多元回归模型。

（1）当|r|=1时，样本点完全落在回归直线上，则y与x有完全的线性关系，且r=1时，表示y与x完全线性正相关，r=-1时，表示y与x完全线性负相关，如图4—7（a），（b）所示。

（2）当0<r<1时，表示y与x有一定的正线性相关关系，即y随x的增加而成反比例倍数增加，如图4—7（c）所示。

（3）当-1<r<0时，表示y与x有一定的负线性相关关系，即y随x的增加而成比例的倍数减少，如图4—7（d）所示。

（4）当r=0时，则说明y与x之间不存在线性关系相关关系，或者是两者之间确实没关系，或者是两者之间不存在线性关系，但可能存在其它关系，

    例4﹒5  某企业固定资产x1、职工人数x2和利润总额y的统计数据如表4—8中的前三例所示。试建立以x1，x2为自变量的利润回归预测模型。并预测当企业固定资产为350万元、职工人数为190人时的利润总额。

解  （1）建立线性回归预测模型。

         K=2， n=10，采用手工方法，先计算有关项如表4—8所示。于是有

表4—8      某企业固定资产、职工人数和利润总额的统计数据

年份
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987	233 238 261 264 270 273 285 298 304 315	250 257 271 290 300 296 311 320 325 338	161 163 167 169 171 176 180 181 185 187	62500 66049 73441 84100 90000 87616 96721 102400 105625 114244	25921 26569 27889 28561 29241 30976 32400 32761 34225 34969	40250 41891 45257 49010 51300 52096 55980 57920 60125 63206	58250 61166 70731 76560 81000 80808 88635 95360 98800 106470	37513 38794 43587 44616 46170 48048 51300 53938 56240 58905
	2741	2958	1740	882696	303512	517035	817780	479111

, t; {5 Q" \8 {. ?$ [

  设待建的二元线性回归预测模型为：

   

根据式（4·9·9），

解上述的三元一次方程组，得

=-106.7218

=0.498 921

=1.340 47

求得二元线性回归预测模型为

           

（2）确定系数和相关系数的检验

先计算有关平方和

于是

确定性系数R的值说明回归误差可以解释大部分的实际偏差，同时相关系数r的值也说明y与x1和x2之间的线性关系是十分满意的，因此本模型的拟合效果较好。

   （3）预测

将x1=350，x2=190代入预测模型，得到利润总额的预测值为

5 n( L' a) f! `, B1 ~6 Y; |