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第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛--第四轮模型建立 - _: J$ T! @7 z4 }" N
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第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛 --第四轮解析之模型建立与求解 ! f0 f+ K$ ]9 n! ?8 A1 |; q
}5 ?& l3 p2 \" V R$ S
3.1 问题一模型建立与求解
' c! S5 V& B5 Y" t2 m# f+ |3.1.1 新洛伦兹模型构建
' ^; N! Y( G; W, E假设基于统计分布表示的收入分配的密度函数是 f ( x)，其中 x 表示收入，对应的分布函数为 F ( x)，则 p = F ( x)表示收入低于或等于x的人口比例。记收入低于或等于 x 的人口群体拥有收入占总收入的比例为L(p)，则应有 + |6 g& p( A- G8 b
1 x L ( p )=mò0 tf (t ) dt , p = F ( x) file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml9080\wps1.png
- e/ n* x" I% {2 |: L* b* QL ( p)称之为收入分配的洛伦兹曲线。收入分配的洛伦兹曲线 L ( p)在收入分配分析中具有重要地位，它表示人口份额等于 p 的低收入端拥有的总收入份额,因此 L ( p)是定义于[0,1]区间上的函数。按经济意义,它应满足如下条件:
! V. n' v5 G* P. v. Z, B! N) S0 Z' CL(0,t)=0， L(1,t)=1， L￠( p,t)30， L￠￠( p,t)30
3 {' x3 |! D! P7 X x即 L( p,t)在[0,1]上是凸增函数。
. w$ |& K* \& }. O2 I, E+ b# x3 l在分析与测算洛伦兹曲线的实际工作中,在只有分组数据可用的条件下,可以先估计收入分配的密度函数,从而得到相应的洛伦兹曲线,或直接估算洛伦兹曲线。国内外学者所提出的模型可以概括为三大类：几何计算法、分布函数法和曲线拟合法。几何分析法，是根据分组数据刻画洛伦兹曲线，利用这一方法不能得到洛伦兹曲线的表达式，只能用来计算基尼系数，但由于在计算分块面积时用直线近似地代替曲线，所估计的基尼系数要小于实际值，尤其在数据点较少时，误差较大；分布函数法，是基于对指标的概率密度函数或概率分布函数的假设，估计其分布参数，然后对洛伦兹曲线进行估计，这类方法较为复杂，同时由于计算收入分配的概率密度的复杂性,很难提出合适的概率函数；曲线拟合法首先假设收入分配服从某一特殊的统计分布函数形式，如对数正态分布、伽马分布、贝塔分布、帕累托分布、威布尔分布等，再据此为洛伦兹曲线选择适当的参数方程直接进行拟合、确定参数，由此估计出洛伦兹曲线。
1 {0 g, p+ c1 O. m4 c" k为了更准确地描述洛伦兹曲线和精确地估计基尼系数，本文通过分析洛伦兹曲线的特性，构建新的洛伦兹曲线模型，对洛伦兹曲线直接进行拟合。根据洛伦兹曲线应满足的性质入手，在查找相关文献的基础上，总结前人所做研究，构建 出满足洛伦兹曲线的新模型 L ( p,t ) 。 Chotikapanich（1993）提出较早的洛伦兹模型：
* h4 e; h: w1 V# P; |6 b6
) t ?2 p- t. d) C. k# U% [) K2 T0 C, q- p( {8 g
: }; F4 w( o- Z9 k2 _% m
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3 k* V' f* T h4 C* L7 k
| | ' ~+ `7 G. i; Y2 k
| 7 M# { L2 R7 Y u$ |
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B; O: f e( Q% q4 G: }
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1 v+ {) V9 G/ {9 O7 B- B
Sarabia 等提出了基于经典帕累托分布的洛伦兹模型，其基本形式为： / n$ o4 v4 a! q6 s- O2 B
L ( p ) [size=10.5000pt]= 1 [size=10.5000pt]- (1 [size=10.5000pt]- p) b , b [size=10.5000pt]Î[0,1] | | 5 @% |" t, B- @0 }8 i0 M/ ~
| 3 c" s+ E: E4 e0 ~1 w5 M
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! q; O9 n+ F7 u8 @$ ?
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2 B# b+ x) G5 V' o3 X% o- F
从（1）式出发，他们有提出了一族广义帕累托族的洛伦兹曲线模型，具体形式为： ! r1 `& ^% a' F' r7 q! I$ c* ]2 p
L ( p )= pa(1-(1- p)b),a30,bÎ(0,1] | : n6 W0 W! ~6 |4 ~ z$ Z
| / i, }1 U" r. }
| | + R+ \3 y: X: M0 L" c. U
| , F8 f! C7 i7 } j. N, |2 K" t
| 5 C: h( i- R. H# h `1 e+ X
| 4 n& I& M( c, L+ ?
| ! Q( ^+ l) t4 \ j
| [! c1 F2 n6 I }' ]
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% ~8 G! v w; L# y+ Y+ u! T
| " T3 {4 m$ A, S& k. [3 U
| % w6 k! [+ q, ~8 w5 y5 x* ]
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$ Y K3 [. D7 J( j7 l' r
| # \' I' x5 m3 @ Y
| ) C. H1 V& z1 O
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7 ?* S8 \& |, q) p+ N9 p8 ~+ d
| L ( p )= pa(1-(1- p)b)n,bÎ(0,1] |
+ d2 j1 g, T w6 B L
| ! M+ d8 v1 H3 F$ a: n \: K: Z! v3 z8 i
| * Z) O0 R+ G: ]6 v$ L
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9 j7 s9 T, X$ s
| L ( p )=(1-(1- p)b)n,bÎ(0,1] | 8 b& ]% R% N- }" |, W/ G. r0 Y" Q
| 3 s/ h' ]$ M0 A% z* G
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" C/ q; y9 \$ x
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, i0 t* ? E; j' A0 ]& X# [$ K$ `- S
| 3 H7 D. R, f& x" h; ? O" j
| $ U. P& q8 N: c( H' l2 y
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+ ^# ]( W1 j3 h% k4 P
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, ]6 t6 s k0 E$ b5 B
| # y& T b* ?2 U" k7 |, _" ], M( a
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8 b' `. ~ w8 \: I. {9 J1 a2 C! f9 z8 L
| 1 |2 T0 T p# J5 Q) |3 S/ W) R5 A
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) \6 y3 n& F9 `" o; [; v' g6 X( \. O
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& e, Y) j( ~' ^$ \ R7 u0 [! I
| % z8 q0 O4 Y3 C, G1 B
| 1 S. |# C9 g a S
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- {2 ?7 J1 W$ b8 k' z4 {. M% \6 u9 j+ _
| | + o' `3 i7 r# E' b
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4 F5 P/ u/ ?6 r/ f
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+ b' F+ ~4 f/ d. e" ]' |
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. L# H4 r+ Y$ j* F
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: ?# a' d2 z( E& O
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# f3 X0 M# d' T
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" A4 p6 Q2 @: q
| 9 }# C4 D a% O9 a1 {- c: u
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| 6 Q) G. C% i5 A" [: m- w
| " b, p3 ?& L9 m
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' I6 ]! G5 d( r W+ R
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, k5 ]1 a2 ], x3 l
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$ Q# v3 i% G8 B5 f
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; E! a/ P8 g6 y+ n6 V0 Q
| 4 J+ W( Z" C4 o4 l' K, l, I
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1 [2 T) ]/ h4 J
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6 X, _3 s7 S7 R1 A' ]$ S
| 0 E% f5 k5 B8 }4 \' I2 B/ w
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8 P6 i) L0 P$ a+ T; d
| | | 7 D z/ S6 d4 P5 x; A
| " w: H9 f! {. @7 t0 i7 _
| # N" v" Y6 j6 i: Q$ X0 |% }3 x
| | . K2 K8 W, m8 T/ n
| + z# R/ o' h* e
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, u9 m3 |6 d# H3 C) ?! b
| % B j! Y/ |) W) c2 d' n
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' [% M- ^+ ?6 K9 ^0 ~) M2 x9 B2 t
| ) m! B$ y# `2 x- P% T& q
| : J$ {4 |6 G' o6 ^, V
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6 i/ s' |2 X. a/ O8 w- \
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: J6 ]. q4 R- C) D4 c
| 5 ~; K, t: P7 _3 b0 i
| | | | | 1 I; G, C( o/ i: I$ G
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( e1 U2 _) d0 _. A5 e+ o
| | Q) [' z, x9 n! f/ Y$ m! V8 g+ D, \
| # J8 h: N4 Y5 I9 s. F3 d" K
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4 ~- R6 s/ J$ g
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5 y3 u; G3 p0 [1 L+ {: o
| 3 _! G6 ~) N% |' z" K' a
| : n$ r9 K- x, c# X( F6 B
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h' q& K. l4 t( R9 l/ j/ C% b5 b
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/ s' ?, j! t, F2 ]6 R/ e
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; S% w, r( S H* [
| ) u% X5 `: o& t- w8 b
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7 `; J. a/ y- Z4 s3 g( Z+ ?" k" N
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5 s: S1 @! {# Z- Z# c* y* V# s2 P' XOgwang 和 Rao（2000）曾提出用两种混合的方法建立洛伦兹模型：加权积（weighted product）及洛伦兹模型的凸组合（convex combination）。并且得到凸组合模型（8）满足洛伦兹曲线性质：
+ o/ V/ [/ t+ {& p7 W5 f" s | 5 |: Q q1 r& |" D% @
| ' D7 y1 n" l8 }7 H& Y
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( i! U- ~4 }& r
| | 6 P2 x3 M ~' [) ~/ Q9 H3 @% q) T
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5 h( D6 l8 C2 w* I* b4 Y }3 G
| | | | | & l- K) C& J1 g& H
| | * s) m- \2 F: `7 b* @3 `: h
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( F- S5 {- y5 Z4 {
| | 1 T6 t$ x! {+ V ^" ^- x
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更一般化的经典洛伦兹曲线模型为王祖祥（2007）提出的如下的二元参数模
2 k C: j8 `+ M1 b9 j3 m( i型：
, x. R, Z5 q7 O) [9 H3 P | ( p ) [size=12.5000pt]= 1 [size=12.5000pt]- (1 [size=12.5000pt]- p ) b e[size=14.0000pt]-g p | | |
4 C0 C/ k& q7 Y7 c4 [% M
（9）式所表示的二元参数模型作为一个洛伦兹曲线的参数估计模型使用时 ) `* U5 C" O5 J& m, b, l
比基于帕累托的广义洛伦兹模型具有更好的性质。 ( d+ X; _+ J* w$ [% t! c7 D0 ]& k
现在的研究成果已经证明：假定 L ( p) 为洛伦兹曲线，则对于任意的a 3 0 和 ; F4 m/ R0 H7 D2 V; ]+ m
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; h' P0 N: n. n0 H4 J* J/ o9 J
| . K, E; z" a* f5 F& A5 s
| | ) N+ R! Q. r+ ` M% \! v# b A
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# Z9 \' ?) S, J
| | | | ; j; d4 \8 p* K3 t
| & Y1 I* t z( ^; X' n1 L. j6 p
| | 1 L0 Q" G: H- A6 ~! _
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( N* \2 G! Y1 [% q* d
| 都有 L' ' '( p)30，则当a30，h31 / 2 | | ) l7 h9 V$ f2 D7 d
| 7 S$ ~( I; R) q# o0 M) p3 j( ]2 W! w
| ; F; u9 [+ G6 i) k2 |5 U
| 且a + h 31时，L ( p) 也是洛伦兹曲线。 |
7 o9 }9 H7 R% Y& d" u; ?' _1 t
|
$ n( B9 o: x; C6 L( B国内外的专家学者在研究洛伦兹模型方面做了大量的工作，王祖祥、 ) I) W* r, g' ^; |2 l& j9 l
Sarabia 等提出了一系列的洛伦兹曲线模型，除上面提到的公式（9），如：
. Q/ L, J9 l( w* K. k# h5 i e7 Z; q- w6 E3 Y
) M% m: p V2 |! T& a7 u; c
7
- b- Q3 L) E/ i& W. o
) B7 e/ H4 t2 W: |& i: r2 X! \! hL ( p ) [size=11.5000pt]= pa |
! i$ L: D! ^) i8 R1 s* q
| | / x: g6 C" X: t5 [, |; q$ P
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* m* ]2 W+ l7 r" P R+ {
| ' J U8 U) \/ Q [
| / {& i# G2 t4 E. k& b
| ' f! U/ Z' {6 o* Y7 `/ W
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7 l: C9 H6 w) \( s( S3 m3 r
| % s( c0 w3 @ h6 \
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8 M3 P4 ~0 l) F7 e
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! l2 K- a- }6 R; E0 l
| 5 ]- `) j |$ p2 u
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# H; s* z; f, }8 ~& Y4 H5 V i
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: x+ n' ^+ Q$ i2 d2 G @0 V
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" u3 G3 z' s: V# j
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# L+ {6 l0 r9 ?2 G. N
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( A. T# a6 l9 d W2 T9 p
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3 O" r! d, z8 R r2 G( S7 {
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# u6 g0 Y5 J* C
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& j; T# T+ w% ?, B( c6 E
| ) b6 B: i6 t2 T
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- g: L0 x0 F* [3 E" N; S* ?
| 5 l$ f* c7 d, N
| / Y8 v0 I) ]) n; N% R
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% t4 x# T' l" \# _8 |& A; t( r# }
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$ A* z9 D9 s1 @/ c& P% C! j
| 1 m5 [( z+ r6 ~" D
| # w% T( t5 n, j2 N- k: J+ l- l& r4 ?
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4 Q* b! r4 w- ^3 F9 r! F9 C
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| 7 P" I2 U$ L7 P+ \
| ( p9 T% A/ u6 K' R& ?
| 6 E+ f% X$ m v2 Q8 g/ e& P
| 4 E8 F. ]1 f! I3 k: U/ @ \
| $ `9 T8 J6 P- z
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/ Z4 T K' y3 Z. G- O+ G% m- e
| & P ]1 D `$ E: b& i) N* d n0 `
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& b- G6 [3 L" r5 ^' y- p" Z; p
| | 4 p7 b+ h3 O) x) d/ u# k e
| ; n6 f/ G- G$ ?% }7 D
| ; J) }5 r# C5 T: w5 H9 \7 Y, R
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$ Q, Z9 x( Y/ j; R5 M+ t( \8 u# X n
| # J' a! H6 e4 c! l8 J& ]$ O0 G9 k
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| + h* T' z& M- L% w% c+ N
| ( C( x! h7 Y- ^) C
| 2 K; m, ^! |" [4 D
| 9 \- C' c0 T2 t& ~* ^
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* \1 z# m4 I& l J# d( F
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| 7 R: M# k6 J% ?9 n1 r
| 1 t) _+ c6 L) Y8 B9 w- ?
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" u4 O4 L5 L1 ~7 T) [
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, h4 }: q4 g6 v/ b! D( B6 S- J d
| - Y) c& r/ x2 }
| 4 s* C9 x1 v, O4 S* [; `6 Y- j/ p
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| ( `# g1 Q; C! b/ z% l% B' a5 q5 m
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: ~) g* F! }! e; a" ?3 b
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/ V5 r+ b; g6 R7 R( D. R$ i% y
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| 8 I4 H5 m! u6 H
| $ D6 b( X; R/ }0 E6 |0 y5 o% s
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2 A8 q1 C2 |" g9 t/ c4 x
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0 G! }8 x/ \! C" k+ R9 s) B# ]1 X
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| 0 ^/ o$ u; R, }5 _2 I. ]% s* a% _
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0 q- p9 H, _3 n0 m4 V; k5 V) h% ?
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% |8 |9 n B5 c, A$ l3 |1 V
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9 [& Z! s) o3 E# ?- z5 [7 r7 z! ]
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+ G+ B$ J. h* U2 u
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- c. d+ N6 x( }* @7 Y) p. H. |+ p: A. f
| 6 g0 c& o# ]# \+ B" U" v
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* r7 r2 p; q$ M" j
| L ( p ) [size=12.0000pt]= [1 [size=12.0000pt]- (1 [size=12.0000pt]- p ) b ]a [1 [size=12.0000pt]- (1 [size=12.0000pt]- p)h ]l | % e t) ^ G2 J+ r
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5 J: W# z1 v+ E0 L3 S
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* y0 ?6 n" _; I0 T( b
| $ `2 x) m/ F( P" N9 o
| ; p7 i2 @1 K( O. _7 f
| | ' a( c+ i- k7 P) m. q! H+ {& {9 f
| L ( p ) [size=12.0000pt]= p | | | | | | , a+ Y7 X) y$ f' I
| | | | | | + G4 u z. g. `! U8 A; D
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7 z% Q" [# K9 V! h6 [* H* ^+ q
|
6 `( Y7 J" m0 P
|
5 O2 w* }! D! l' B R3 f3 H3 v
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: x% o1 l6 L- h6 g4 H& |
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: w& X2 r# t; A8 z E' z
| , B L+ V' s6 |' j
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* Y* D8 H8 X/ r: e" c: m' }
|
* v" O! k2 X+ d8 \8 {0 U7 B7 f: F
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在研究现有文献基础上，按照洛伦兹曲线应满足的性质以及推导定理，本文构建了基于指数成份的洛伦兹模型 L( p,t ) ，形式如下：
' |6 g5 d: t2 a7 [( AL ( p )=[1-(1- p )a e -bp][1-(1- p )g e-hp] | | % @# X% u3 j. [
|
% \' O2 S% U& M" S
| + f5 c4 ?8 B( j9 y7 d
| 其中， 0 ￡ a + b ￡1， 0 ￡ g + h ￡1。 | 5 r) B/ z# ~+ a3 X
|
0 Z( Y+ X# M! z1 [ C/ l/ _) D6 x
| | 7 m& K8 V; n- H' W( i
| ; t- y% [7 J) n6 j* X+ c
| | ) _$ N- g- Z3 i, [2 k
|
* N! a; c4 _% B/ R) k9 G
| | 1 k( k# j+ o+ a; z
| . w" h! p8 u, S* f$ Y1 d1 ^5 d) l# ~
|
7 K* G7 t5 F; r1 ?% F kL'( p )=[a(1- p )a-1 e -bp][1-(1- p )g e-hp]+ 2 L( R$ Z% ?0 k1 U! p4 ?/ Z- x
[1 - (1 - p )a e - b p ][g (1 - p )g -1 e -h p + h p (1 - p )g e-h p ]
% T& C4 ], h: B7 h7 g在满足条件 a + b 3 0 ， g + h 3 0 的情况下，当 p Î[0,1] 时，满足 7 V: l0 m4 W! |' V9 b: ^
L'( p )30。
7 u7 a0 p. z0 o! t8 q4 S0 kL' '( p )=[a(1-a)(1- p )a-1 e -bp-ab p (1- p )a-1 e -bp+b(1- p )a e-bp
2 |! D0 k* r0 Q0 B* p' C- ab p (1- p )a-1 e -bp-b2 p 2(1- p )a e -bp][1-(1- p )g e-hp] 6 {1 ]' G3 \& n$ D5 U. B
+ 2[a (1 - p )a -1 e - b p + b p (1 - p )a e - b p ][g (1 - p ) g -1 e-h p `" N4 |# A+ w3 D+ f; x
+ h p (1- p )g e -hp][g(1-g)(1- p )g-1 e-hp
9 U, `+ i. l2 v0 j- gh p (1- p )g-1 e -hp+h(1- p )g e-hp % |1 l- f6 Z& p8 D. ^/ U4 e
- gh p (1- p )g-1 e -hp-h2 p 2(1- p )g e -hp][1-(1- p )a e-bp]
5 N" [2 o `. r, V$ u= [(a + b ) - (a + b ) 2 - b 2 p 2 (1 - p )](1 - p )a -1 e-b p
1 T. U; ~9 Q+ F+ [(g + h ) - (g + h ) 2 - h2 p 2 (1 - p )](1 - p ) g -1 e-h p
" a; C) u z4 h: h当满足条件a + b ￡1，g + h ￡1的情况下，当 p Î[0,1]时，L'' ( p) 3 0 。 4 D% Z3 b/ c4 z8 ^! d4 s5 B4 |
综上所述，新构建的洛伦兹模型模型（14）式满足洛伦兹曲线的定义及性质，
7 N2 v' |0 d" R' p# g' M: t8 2 S% r+ F) W3 ^
, ?7 R7 A9 U0 N$ |5 C% W
% y5 f3 E: U6 l) @0 [# d$ @可以用来拟合题目中给出的数据，并且与现有经典洛伦兹模型做出比较。 ; i/ M7 ?8 t) e$ v' j
3.1.2 模型的计算与比较 0 b2 O& S5 Q' }3 v; \5 i
有关收入与人口的数据一般情况下可以得到收入人口分布的分组数据，这种数据的完整形式为(pi ,xi file:///C:\Users\ADMINI~1\AppData\Local\Temp\ksohtml9080\wps2.pngm)，i=1,2, ,n或者(pi,Li)，i=1,2, ,n，其中xi是收 / x, i" C4 y# O$ ?
入区间点，满足 0 ￡ x1 < x2 < + z# {. C; A) z+ L9 j) v; b2 W
|
IP卡
狗仔卡
发表于 2019-9-26 11:26
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