Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

Asdmath2020

曲面除了可以用参数方程的形式表示之外，还可以用隐函数的形式表达，即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面，因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里，我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面，而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
  m3 H5 A: e: J  C3 q7 Y从最简单的开始
让我们从最简单的，大家耳熟能详的球面方程开始：
3 [( T% D' [4 `7 f1 z6 }
3 }5 ^! L& a9 N8 `* h9 p方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单：每个点到原点的距离都是 1，这就形成了一个球面。相比较之下，球面的参数方程就不是这么简单了：
多面体
从球面方程出发，我们可以看一下更一般的形式，比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的：

可以看到随着 n 的值不断增大，方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢？我并不能完全解释，只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式：
( x! x0 J; n" h0 T
这是 Lp 范数的定义，当 p 趋向于正无穷时，上述表达式的极限是：

# b# p( M6 q( j

也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上，当 n 不断变大时，在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程，而这三个方程恰恰是立方体的六个面：x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测，我们只要能知道多面体各个面的平面方程，就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的，多面体各个面的平面方程，只要知道面法向量就可以确定平面方程了，如果面法向量是 (a, b, c)，则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。

利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下：

8 Z0 m- y# Y" }1 T3 V
9 [: O, L. _  K接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧：

正八面体

求正八面体的法向量：

化简并去除方向刚好相反的法向量，因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程：

5 i) K# s' B9 B  k; Q5 O然后就可以根据这个求八面体渐近方程了：

正十二面体

正十二面体的法向量：

* j) [( b# q) V: k8 R( B
化简并去除方向刚好相反的：
# s  [! c8 w( E

隐函数表达式：

2 B# ~- i4 [' w. g5 @( L
为了计算方便，我们用数值近似取代根号形式： 绘制图形，可以看到，随着次数 n 的不断升高，图形越来越接近正十二面体：
. p' x6 p$ B1 ?, b7 r0 E

十二面体

5 d! l" x" `+ q4 P& r# l$ V" x计算各个面的法向量：

化简并去除方向相反的：

6 a% N5 F1 z; [# i
得到方程左侧表达式：
为了计算方便，取近似值：
. R4 o8 ~8 o7 G+ L1 m0 f
+ P+ I8 R4 _2 @7 Y

绘制正二十面体的曲面方程：

绘制正二十面体的曲面方程：

复合多面体

从上面的计算可以看到，根据猜测做的推论基本上是对的：确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到，这种方法有很多局限性。首先，所生成的多面体必须有平行的相对的面，这样采用的法向量才能一个顶俩，发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里，只有四种满足这个条件，还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次，用这种方法只能表示凸多面体，所谓凸多面体，就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的，解决方法是引入指数函数。
0 z0 \2 w9 C0 e5 H3 C4 k

正四面体

, J9 v' Z2 G1 w计算正四面体的法向量：
$ v& q& r1 ]. O! A: v! D2 m7 G

化简：

如果用之前的高次方程的方法，那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体，因为每个法向量都生成了两个平面：

而改用指数，则可得到如下表达式：
% l/ G( @7 s& k) `' g. l4 ^8 I
8 q+ u6 w" `7 f: G: f! P5 F以此作为隐函数果然可以画出正四面体：
3 E3 U' _2 p" k. z/ Z
! E/ a, K) G" Q% J$ a% A3 {4 A3 E

为什么这样可行？我也只能给个近似的猜测：对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程，两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程，把几个这样的平面方程加起来，就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响，保持大体是个平面。

9 J4 N  [3 Y9 J3 q2 A; [4 t

另外还值得指出的是，可以在指数上再加次数，让这样生成的多面体的边缘更加"锐利"：

' h0 X8 l3 x% d4 A3 j( D

星形八面体

在各种各样的多面体中，有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成，我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体，就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。
& d; {4 y( [9 a
* _2 b7 R8 C/ w. O观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现，前四组只包含顶点 2、4、5、8，后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量，然后分组各自生成两个正四面体曲面：
0 y2 g6 z5 y  O) ~8 D
) O0 j6 q; A# q! W求法向量，化简并分组：
0 u5 F1 v  H" h" d2 `) T9 h. A" `
5 n' ?$ i! H4 j* O$ s3 ^# C$ V. E得到两个指数和的表达式：

4 U; t% Z: g' i; \* r5 u分别绘制可以看到两个正四面体：
& s9 H0 ~- [- ]! N
如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢？直接相加肯定是不行的，那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧：把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale：

" H4 N8 Q" @& B2 F; j( C可以看到，这个方程确实可以绘制出星形八面体：

可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画：
8 c' X/ A$ V5 {! E  s
9 ]6 g, q" H9 b) c. ?% S6 M
# y8 `8 C! `- v7 k6 ^9 x9 N
' @" X2 r0 F/ e4 g4 ^

五复合正四面体

/ L% s6 R5 j( _; J( S+ ~

我们可以再举一个例子，五复合正四面体，这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体：

照例求面法向量，化简并分组：

! |8 u; S' ?) a/ [6 [
得到方程：

绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面（警告：由于项数太多，运行绘制速度很慢，运行时请耐心等待）：

我们也用它生成一个旋转观察的动图：

) U8 P5 {8 O1 L
  B2 u+ V7 w6 X2 `. f0 X2 S

更多的复合多面体

6 o7 N( S+ K- h" c& a) F& E只要是由凸多面体组成的复合多面体，理论上都可以用上面的方法，先求得各个多面体的方程，然后“抬升”到指数位置，得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体，我全部列在下面，感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。
! |  l$ n0 r5 O: ^5 B
2 M( X5 ^" E" T
  N0 T5 G& z5 n, m2 D对此有兴趣的，欢迎联系我们共同探讨。
market@asdoptics.com
www.asdoptics.com

宏心

变幻无穷，无穷
2 ~& `6 ]7 Y7 s/ N' Y