Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

Asdmath2020

曲面除了可以用参数方程的形式表示之外，还可以用隐函数的形式表达，即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面，因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里，我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面，而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
5 T7 i0 E& J; I$ q6 q' r从最简单的开始
让我们从最简单的，大家耳熟能详的球面方程开始：
& r2 S. t! R6 L/ i
. Z* o: I/ F7 F方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单：每个点到原点的距离都是 1，这就形成了一个球面。相比较之下，球面的参数方程就不是这么简单了：
多面体
从球面方程出发，我们可以看一下更一般的形式，比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的：
" C) Y& v& I4 a' i/ |
可以看到随着 n 的值不断增大，方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢？我并不能完全解释，只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式：
! h: q# y7 ?+ l8 P% x
这是 Lp 范数的定义，当 p 趋向于正无穷时，上述表达式的极限是：

也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上，当 n 不断变大时，在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程，而这三个方程恰恰是立方体的六个面：x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测，我们只要能知道多面体各个面的平面方程，就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的，多面体各个面的平面方程，只要知道面法向量就可以确定平面方程了，如果面法向量是 (a, b, c)，则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。

利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下：

7 C8 H' `5 ]; A9 v8 r$ K0 c接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧：
% M7 @4 v, A4 n3 R8 D7 p7 d' v

正八面体

$ F: e# n0 p7 n3 E; S+ J

求正八面体的法向量：

$ W' Z$ L" Y8 M) `化简并去除方向刚好相反的法向量，因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程：
) Z1 a9 z" |- O; b0 d; k. Y
  Q6 i7 j# u: B1 a: {然后就可以根据这个求八面体渐近方程了：
0 }+ @+ G3 \( |- f/ |
1 H- V- f1 s( T- T

正十二面体

1 @5 H; d6 ]6 r& u3 E6 r

正十二面体的法向量：

. Z# a' x! i5 @; U3 d* r
化简并去除方向刚好相反的：

隐函数表达式：
7 ]0 r" _4 q% s

  k$ E* z; z& G0 o9 v7 v- P
. H  P; m2 L! \7 q& u* ^为了计算方便，我们用数值近似取代根号形式： 绘制图形，可以看到，随着次数 n 的不断升高，图形越来越接近正十二面体：
* n- i, Z, ~- U& B

十二面体

& q5 F' N/ X2 E6 o' ^& V" [6 n2 H计算各个面的法向量：

化简并去除方向相反的：

5 k7 ^/ S! `4 g; M5 Y6 D: C% \得到方程左侧表达式：
为了计算方便，取近似值：

绘制正二十面体的曲面方程：

绘制正二十面体的曲面方程：

复合多面体

从上面的计算可以看到，根据猜测做的推论基本上是对的：确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到，这种方法有很多局限性。首先，所生成的多面体必须有平行的相对的面，这样采用的法向量才能一个顶俩，发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里，只有四种满足这个条件，还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次，用这种方法只能表示凸多面体，所谓凸多面体，就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的，解决方法是引入指数函数。

正四面体

计算正四面体的法向量：

化简：

如果用之前的高次方程的方法，那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体，因为每个法向量都生成了两个平面：

# d6 @) y6 x( Z" k/ E" }' z而改用指数，则可得到如下表达式：

以此作为隐函数果然可以画出正四面体：
6 a' V2 v- j: u/ p% v# T) w

为什么这样可行？我也只能给个近似的猜测：对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程，两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程，把几个这样的平面方程加起来，就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响，保持大体是个平面。

+ o* U, V4 M+ p

另外还值得指出的是，可以在指数上再加次数，让这样生成的多面体的边缘更加"锐利"：

0 E6 W$ G8 H$ p% A9 l
0 B! ]$ }: D# K" j

星形八面体

在各种各样的多面体中，有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成，我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体，就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。

观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现，前四组只包含顶点 2、4、5、8，后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量，然后分组各自生成两个正四面体曲面：
1 T! [9 p' C4 u
求法向量，化简并分组：

! Z) z+ ^! H& ~* x得到两个指数和的表达式：

分别绘制可以看到两个正四面体：

如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢？直接相加肯定是不行的，那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧：把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale：

+ b2 N) x6 I9 i! J1 s! W1 K可以看到，这个方程确实可以绘制出星形八面体：
! S0 K% K5 W2 W# s
) V" K' n: H( ^5 x可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画：
! @( j, x4 H& ]7 A7 T+ Y1 R

  r, J* ?/ J+ H; _4 s3 n& r5 }4 q

五复合正四面体

- f* o, l/ p2 {9 w/ V

我们可以再举一个例子，五复合正四面体，这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体：

, i2 f4 N6 z" ]

照例求面法向量，化简并分组：

7 Q# K( o; ~$ ^6 H+ ^; u% Y2 W得到方程：

. H7 [$ w  G5 h; z4 B. z8 O

绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面（警告：由于项数太多，运行绘制速度很慢，运行时请耐心等待）：

我们也用它生成一个旋转观察的动图：

$ ^' V, R# W* c4 c% E; S

更多的复合多面体

只要是由凸多面体组成的复合多面体，理论上都可以用上面的方法，先求得各个多面体的方程，然后“抬升”到指数位置，得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体，我全部列在下面，感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。


对此有兴趣的，欢迎联系我们共同探讨。
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2 R* ~2 C; ?% o, D) K8 B

宏心

变幻无穷，无穷
" H/ R, a+ _* [# H3 `, B, s