Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

Asdmath2020

曲面除了可以用参数方程的形式表示之外，还可以用隐函数的形式表达，即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面，因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里，我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面，而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
' K5 w; R" f% Z$ s- |从最简单的开始
让我们从最简单的，大家耳熟能详的球面方程开始：
; ?% s/ R; |9 A( b8 p3 |: U
方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单：每个点到原点的距离都是 1，这就形成了一个球面。相比较之下，球面的参数方程就不是这么简单了：
多面体
从球面方程出发，我们可以看一下更一般的形式，比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的：
& j: @$ y* `# x
可以看到随着 n 的值不断增大，方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢？我并不能完全解释，只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式：
  o  \1 T% l% Q: [. T! j- M) y
这是 Lp 范数的定义，当 p 趋向于正无穷时，上述表达式的极限是：
- L7 q) a6 K* S; c  \, `7 v/ N, o
/ x4 B! q' Z: Z. _, I; u

也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上，当 n 不断变大时，在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程，而这三个方程恰恰是立方体的六个面：x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测，我们只要能知道多面体各个面的平面方程，就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的，多面体各个面的平面方程，只要知道面法向量就可以确定平面方程了，如果面法向量是 (a, b, c)，则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。

利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下：

# u) F3 \: t# ?  ]
* g; N2 B+ r# h3 P) Y% @* S接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧：

正八面体

求正八面体的法向量：

% f# t9 d3 i+ W化简并去除方向刚好相反的法向量，因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程：
' t+ i4 ^& p) V& u& s  O# x
3 B3 l9 F( x# O8 Y然后就可以根据这个求八面体渐近方程了：
8 y1 Q% t' ]. ?

正十二面体

( k# }, n' ^& T  e8 U

正十二面体的法向量：

* Y4 B& R8 S% m+ L+ U* p
化简并去除方向刚好相反的：

) f, m1 w: W, Y; _+ ~* \) c' }# Z! U7 B

隐函数表达式：
1 i2 z8 N# ?1 f2 t, c; a

为了计算方便，我们用数值近似取代根号形式： 绘制图形，可以看到，随着次数 n 的不断升高，图形越来越接近正十二面体：
& m' H5 k) j, g5 G8 f
+ u" l" |4 Y8 L' {& e

十二面体

计算各个面的法向量：
$ a% F* `0 Q, _  ~

化简并去除方向相反的：

$ U# I; z: l% u2 U  Z1 W( T9 j! A
得到方程左侧表达式：
! G5 a3 V. \! z2 a为了计算方便，取近似值：
% [  o7 x4 N; r2 X1 Y8 h. r( w
* v% @9 w7 }1 s3 K' x

绘制正二十面体的曲面方程：

绘制正二十面体的曲面方程：

复合多面体

从上面的计算可以看到，根据猜测做的推论基本上是对的：确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到，这种方法有很多局限性。首先，所生成的多面体必须有平行的相对的面，这样采用的法向量才能一个顶俩，发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里，只有四种满足这个条件，还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次，用这种方法只能表示凸多面体，所谓凸多面体，就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的，解决方法是引入指数函数。
! y# I9 n9 B( S5 ~: W

正四面体

计算正四面体的法向量：

化简：

如果用之前的高次方程的方法，那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体，因为每个法向量都生成了两个平面：
* v9 D0 ]7 D( l! z1 P
而改用指数，则可得到如下表达式：

' }  B+ j, I' u* Z$ u9 c' e) O0 z以此作为隐函数果然可以画出正四面体：
/ k1 c- S8 @9 A( n, |$ C- N* l2 S
# f/ ?0 k5 b! y% k6 v

为什么这样可行？我也只能给个近似的猜测：对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程，两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程，把几个这样的平面方程加起来，就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响，保持大体是个平面。

! I- R! \7 I# |/ t7 p

另外还值得指出的是，可以在指数上再加次数，让这样生成的多面体的边缘更加"锐利"：

星形八面体

在各种各样的多面体中，有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成，我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体，就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。
% n+ q( ]7 p7 q! E! y$ g% f% ^
+ E1 J2 T8 n9 y观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现，前四组只包含顶点 2、4、5、8，后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量，然后分组各自生成两个正四面体曲面：
, ?8 G/ `* U( ?! h
* B6 o, E7 Z5 M7 D1 W, R求法向量，化简并分组：
0 K7 x1 H; o4 [! L$ O0 i; M4 z
得到两个指数和的表达式：
+ Y7 }1 o' P1 z2 h  a3 v( P
分别绘制可以看到两个正四面体：
+ Y  X( K8 Z9 v2 D3 {5 b
  o- e' I% n& u0 e9 K# r3 F5 n如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢？直接相加肯定是不行的，那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧：把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale：

; r8 ?( l) s8 Y& u5 l可以看到，这个方程确实可以绘制出星形八面体：
) p1 T0 ~, D, L% l
) N0 [* Z1 }. y- Z可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画：
; B. M# v% u, l. C" h8 b

五复合正四面体

我们可以再举一个例子，五复合正四面体，这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体：

照例求面法向量，化简并分组：

6 A* J  m! [3 t得到方程：

% ^. g  {9 m7 s. O

绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面（警告：由于项数太多，运行绘制速度很慢，运行时请耐心等待）：

( {! b6 r! E4 z6 t; J/ Y6 a

我们也用它生成一个旋转观察的动图：

1 N) x( T8 K( y8 L$ e( R& Z5 J

更多的复合多面体

只要是由凸多面体组成的复合多面体，理论上都可以用上面的方法，先求得各个多面体的方程，然后“抬升”到指数位置，得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体，我全部列在下面，感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。

0 l4 M- M# q1 B: F
  }: M- G2 V9 y% w+ ]对此有兴趣的，欢迎联系我们共同探讨。
; x) `' b( d, U' n1 }5 Rmarket@asdoptics.com
: w  ?6 |* T, }1 W  Jwww.asdoptics.com
3 C8 Y0 y2 i& o) U9 ^. D
' Y8 s+ ^( ~6 c" b3 `

宏心

变幻无穷，无穷
) U( N5 v  K1 o3 E