Mathematica-用 ContourPlot3D 绘制多面体

Asdmath2020

曲面除了可以用参数方程的形式表示之外，还可以用隐函数的形式表达，即表示为 F(x, y, z) = 0 的解。这种曲面又称之为等值曲面，因为曲面上的每个点都满足 F(x, y, z) = 0 这一条件。Mathematica 提供了绘制等值曲面的函数 ContourPlot3D。不过在这篇文章里，我们并不用它来绘制各种婀娜多姿的曲面，而是尝试用它探索、绘制一些"多面体"。
从最简单的开始
让我们从最简单的，大家耳熟能详的球面方程开始：

& g$ `1 V8 o, i) C方程 x^2+y^2+z^2==1 的意义非常简单：每个点到原点的距离都是 1，这就形成了一个球面。相比较之下，球面的参数方程就不是这么简单了：
多面体
9 a8 T* W4 _2 {2 J7 t& l# ]从球面方程出发，我们可以看一下更一般的形式，比如 x^n+y^n+z^n==1 的图形是什么样子的：

可以看到随着 n 的值不断增大，方程表示的曲面越来越接近一个立方体。这是为什么呢？我并不能完全解释，只能提出这么一个猜测。考虑如下表达式：
$ ~. C) ~$ X5 W  v2 n+ q& V
这是 Lp 范数的定义，当 p 趋向于正无穷时，上述表达式的极限是：

0 q$ \. A* D9 H5 s9 _

也就是 n 个绝对值中的最大值。把这个结论放到我们的方程 x^n+y^n+z^n==1 上，当 n 不断变大时，在不同方向上就不断接近 | x | == 1、| y | == 1、| z | == 1 三个方程，而这三个方程恰恰是立方体的六个面：x = ±1、y= ±1、z= ±1。根据这个猜测，我们只要能知道多面体各个面的平面方程，就能类比的求得类似上述立方体的“多面体渐近方程”。更进一步的，多面体各个面的平面方程，只要知道面法向量就可以确定平面方程了，如果面法向量是 (a, b, c)，则成对的平面方程就是 a x+b y+ c z = ±1。

利用 PolyhedronData 可定义求各种多面体法向量的函数如下：

6 @5 k  k4 p. G( w: R) W
; X: y+ N  b3 r' }* \; s. I* i接下来就让我们用实际计算来验证一下这个猜测吧：
' \/ D; O; [* \. h* Z. z/ p) ]

正八面体

求正八面体的法向量：

0 q3 N; _, ?  x" X9 m( m化简并去除方向刚好相反的法向量，因为之前方程的常数项 ±1 可以由一个法向量得到两个相对的面的方程：
  @/ N& b3 o0 n6 x2 W6 D- d
! `8 ?+ }0 F, K. p8 V0 Q) z) n( @: Z然后就可以根据这个求八面体渐近方程了：

正十二面体

' G3 v1 K' m2 i# ]. l. r3 g

正十二面体的法向量：

9 \) _. Z1 J( `* v" w* k
化简并去除方向刚好相反的：

隐函数表达式：
) z  _) {* ?; h! V* m' |& x( S

为了计算方便，我们用数值近似取代根号形式： 绘制图形，可以看到，随着次数 n 的不断升高，图形越来越接近正十二面体：
! L- Q) x* ]5 s8 ~. Z. f5 D% G
- s  O) N3 q: K* F. I' k4 Y

十二面体

0 r+ U9 U% O. p6 b  k5 M0 ?9 q计算各个面的法向量：
1 W  r- \( `) O/ ]5 K7 x
; e5 h( X4 i9 o0 ]  ?6 t( v) b

化简并去除方向相反的：

( f" L- c( J0 J0 K7 f3 i2 f4 u5 p6 Z
得到方程左侧表达式：
) v1 @2 A  x( a0 Q- Y6 v; K* t为了计算方便，取近似值：

6 J, ~* c. y3 {% G8 N% W0 p

绘制正二十面体的曲面方程：

绘制正二十面体的曲面方程：

  d& L2 s- _7 s- Z% ~/ F3 k

复合多面体

从上面的计算可以看到，根据猜测做的推论基本上是对的：确实据此得到了各种正多面体的渐近方程并成功绘制了出来。但同时也可以看到，这种方法有很多局限性。首先，所生成的多面体必须有平行的相对的面，这样采用的法向量才能一个顶俩，发挥应有的作用得到对应的多面体。五种正多面体里，只有四种满足这个条件，还剩下一个正四面体不能用这种方法表示。其次，用这种方法只能表示凸多面体，所谓凸多面体，就是内部任意两点的连线仍然落在内部的多面体。这两个问题都是可以解决的，解决方法是引入指数函数。
( z- j  R% x. y$ \

正四面体

计算正四面体的法向量：
7 `* }( @8 j) O# j

化简：

如果用之前的高次方程的方法，那么只能得到一个朝向比较特别的正八面体，因为每个法向量都生成了两个平面：
" H# Y5 N6 S1 \1 c
# v* Q; W. L2 V$ z而改用指数，则可得到如下表达式：
/ \: \  X3 t& H/ _4 g% ?. ?1 v' s
3 Y$ _$ y+ }. a  y" c3 k以此作为隐函数果然可以画出正四面体：
/ g2 m9 @  N, E

为什么这样可行？我也只能给个近似的猜测：对 E^(a x + by + c z)==C 这样的方程，两边取对数就是 a x+ b y+ c z==log C 这就是一个平面的方程，把几个这样的平面方程加起来，就"围成"了一个多面体。而指数的增长保证了每个方向上不会受其它项的影响，保持大体是个平面。

" y( s/ L% I, }! ~  e% n& B7 M2 K

另外还值得指出的是，可以在指数上再加次数，让这样生成的多面体的边缘更加"锐利"：

7 d2 d) I$ }; d
3 B7 F0 c& k/ `" R5 y5 E+ O) M8 \( N6 q# H* D

星形八面体

在各种各样的多面体中，有一类多面体可以看作是若干基本的多面体彼此叠合组成，我们称之为复合多面体。比如下图所示的星形八面体，就可以看作两个正四面体彼此叠合而成。
6 P# h; d- m" z, t; ^2 h
4 l" \& p6 U& B2 n观察这个复合多面体的面的组成指标可以发现，前四组只包含顶点 2、4、5、8，后四组只包含顶点 1、3、6、7。这恰好是各自组成两个正四面体。我们可以照样算出这八个面的法向量，然后分组各自生成两个正四面体曲面：
# s% w, l3 r2 I$ J% o8 v1 C
& f. {8 `* [' o& `2 }# s9 Q求法向量，化简并分组：

得到两个指数和的表达式：

& j1 }7 K" p9 g8 B- [8 P( j分别绘制可以看到两个正四面体：

6 Y; B; D. H1 W2 [! ~- J: V如何从这两个四面体得到想要的星形八面体呢？直接相加肯定是不行的，那样得到的就是正八面体了。这里我们采用 The Nature of Mathematics and the Mathematics of Nature 一书中提到的一个小技巧：把两个方程表达式再次放到指数上。这个技巧称为 Exponential Scale：
- M* m' Z& }, s3 h! R
可以看到，这个方程确实可以绘制出星形八面体：
7 I' k0 G0 {' @+ C" a' a/ v
可以把旋转观察这个星形八面体曲面的过程输出为动画：

; u8 G3 L, F2 R: K

五复合正四面体

我们可以再举一个例子，五复合正四面体，这是由五个正四面体内接于一个正十二面体形成的复合多面体：

, X' ~9 D/ B! F9 [% L

照例求面法向量，化简并分组：

( N& A+ ?/ \  l% K4 |6 z
; x( |, L; \& R7 E得到方程：
3 ], k$ K0 ~+ Q9 G

绘制可以得到五复合正四面体的近似曲面（警告：由于项数太多，运行绘制速度很慢，运行时请耐心等待）：

0 ]4 u9 p2 d* @9 ~

我们也用它生成一个旋转观察的动图：

! A- @* e' t8 r
& i/ }- [, _* s3 x9 o

更多的复合多面体

只要是由凸多面体组成的复合多面体，理论上都可以用上面的方法，先求得各个多面体的方程，然后“抬升”到指数位置，得到复合多面体的方程。Mathematica 提供的PolyhedronData 函数里有许多复合多面体，我全部列在下面，感兴趣的读者可以自己实验生成想要的复合多面体曲面。
. z$ S  i& L+ E4 P6 c" R
) d: A) W. ]. u( Z# v
4 j4 D9 L& K: v1 |/ i对此有兴趣的，欢迎联系我们共同探讨。
$ ?1 m5 y* c1 J  m+ {market@asdoptics.com
& X% O% ?8 `) l; [& I" [9 {3 ^www.asdoptics.com
4 x& y" E5 q: O: N1 V1 K) `2 l

宏心

变幻无穷，无穷