【数学建模】备战美赛之传染病模型

杨利霞

【数学建模】备战美赛之传染病模型

传染病模型

放一个链接：[关于传染病][ https://www.zhihu.com/question/367466399 ]

传染病初期

特点：

没有考虑接触到的人中还有一部分病人，所以并不会全部被感染

已感染人数（病人）

i(t),i(0)=i0(1) i(t),i(0)=i_0\tag1

i(t),i(0)=i

0

​         

(1)

每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数为

λ(2) \lambda\tag2

λ(2)

根据(1)(2)可以建立模型：

i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt其中Δt为时间段(3)i(t+\Delta t)-i(t)=\lambda i(t)\Delta t\tag3\\其中\Delta t为时间段

i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt

其中Δt为时间段(3)

等式两边同时除以\Delta t

i(t+Δt)−i(t)Δt=λi(t)(4)\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}=\lambda i(t)\tag4

Δt

i(t+Δt)−i(t)

​         

=λi(t)(4)

由导数定义有

i′(t)=didt=limt→Δti(t+Δt)−i(t)Δti'(t)=\frac{di}{dt}=lim_{t\to \Delta t}\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}

i

′

(t)=

dt

di

​         

=lim

t→Δt

​         

  

Δt

i(t+Δt)−i(t)

​         

同时，取\Delta t = 1天

didt=λi(5)\frac{di}{dt}=\lambda i\tag{5}

dt

di

​         

=λi(5)

由(1)(5)两式可得最终的模型：

i(t)=i0eλt(6)i(t)=i_0e^{\lambda t}\tag6

i(t)=i

0

​         

e

λt

(6)

logistic模型

特点：

区分已感染者（病人）和未感染者（健康人），但没有考虑病人可以治愈。

假设有

总人数:N病人比例:i(t)健康人比例:s(t)被传染概率为:k存在初始条件:s(t)+i(t)=1(1) 总人数:N\\病人比例:i(t)\\健康人比例:s(t)\\被传染概率为:k\\存在初始条件:s(t)+i(t)=1\tag1

总人数:N

病人比例:i(t)

健康人比例:s(t)

被传染概率为:k

存在初始条件:s(t)+i(t)=1(1)

每个病人每天有效接触人数为

λ(2) \lambda \tag2

λ(2)

建模得到

N[i(t+Δt)−i(t)]=k[λs(t)]Ni(t)Δt(3)N[i(t+\Delta t)-i(t)]=k[\lambda s(t)]Ni(t)\Delta t\tag3

N[i(t+Δt)−i(t)]=k[λs(t)]Ni(t)Δt(3)

两边同时除\Delta t可以得到

didt=limt→Δti(t+Δt)−i(t)Δt=kλs(t)i(t)(4)\frac{di}{dt}=lim_{t\to \Delta t}\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}=k\lambdas(t)i(t)\tag4

dt

di

​         

=lim

t→Δt

​         

  

Δt

i(t+Δt)−i(t)

​         

=kλs(t)i(t)(4)

由(1)(4)式可得

{didt=λi(1−i)i(0)=i0\begin{cases}\frac{di}{dt}=\lambda i(1-i)\\i(0)=i_0\end{cases}

{

dt

di

​         

=λi(1−i)

i(0)=i

0

​         

​         

最终得到模型（logistic模型）

i(t)=1a+(1i0−1)e(−λt)i(t)=\frac{1}{a+(\frac{1}{i_0}-1)e^{(-\lambda t)}}

i(t)=

a+(

i

0

​         

1

​         

−1)e

(−λt)

1

​         

传染病高潮到来的时刻t_m

tm=λ−1ln(1i0−1) t_m=\lambda^{-1}ln(\frac{1}{i_0}-1)

t

m

​         

=λ

−1

ln(

i

0

​         

1

​         

−1)

SIS模型

特点：

病人治愈为健康人，但可再次被感染。

假设有

总人数:N病人比例:i(t)健康人比例:s(t)被传染概率为:k存在初始条件:s(t)+i(t)=1病人每天治愈的比例为:μ(1) 总人数:N\\病人比例:i(t)\\健康人比例:s(t)\\被传染概率为:k\\存在初始条件:s(t)+i(t)=1\\病人每天治愈的比例为:\mu\tag1

总人数:N

病人比例:i(t)

健康人比例:s(t)

被传染概率为:k

存在初始条件:s(t)+i(t)=1

病人每天治愈的比例为:μ(1)

特殊定义，接触数\sigma：一个感染期内每个病人的有效接触人数。

接触数:σ=λμ接触数:\sigma = \frac{\lambda}{\mu}

接触数:σ=

μ

λ

​         

建模得到

N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)Δt(2)N[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t \tag2

N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)Δt(2)

化简

N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)ΔtN[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t

N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)Δt

i(t+Δt)−i(t)=λs(t)i(t)Δt−μi(t)Δt\\i(t+\Delta t)-i(t) =\lambda s(t)i(t)\Delta t-\mu i(t)\Delta t

i(t+Δt)−i(t)=λs(t)i(t)Δt−μi(t)Δt

i(t+Δt)−i(t)Δt=λs(t)i(t)−μi(t)\\\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t} = \lambda s(t)i(t)-\mu i(t)

Δt

i(t+Δt)−i(t)

​         

=λs(t)i(t)−μi(t)

didt=λs(t)i(t)−μi(t)\\\frac{di}{dt}= \lambda s(t)i(t)-\mu i(t)

dt

di

​         

=λs(t)i(t)−μi(t)

最终得到

{didt=λi(t)(1−i(t))−μi(t)i(0)=i0\begin{cases}\frac{di}{dt}= \lambda i(t)(1-i(t))-\mu i(t)\\ i(0)=i_0\end{cases}

{

dt

di

​         

=λi(t)(1−i(t))−μi(t)

i(0)=i

0

​         

​         

SIR模型

特点：

传染病有免疫性，病人治愈后即移出感染系统，称为移出者

假设

总人数:N,病人比例:i(t),健康人比例:s(t),移出者比例:r(t),病人日接触率:λ,日治愈率:μ,接触数:σ=λμ(1) 总人数:N,病人比例:i(t),健康人比例:s(t),移出者比例:r(t),\\病人日接触率:\lambda,日治愈率:\mu,接触数:\sigma=\frac{\lambda}{\mu}\tag1

总人数:N,病人比例:i(t),健康人比例:s(t),移出者比例:r(t),

病人日接触率:λ,日治愈率:μ,接触数:σ=

μ

λ

​         

(1)

存在初始条件

s(t)+r(t)+i(t)=1i0+s0=1(2)s(t)+r(t)+i(t)=1\\i_0+s_0=1\tag2

s(t)+r(t)+i(t)=1

i

0

​         

+s

0

​         

=1(2)

建立模型

{N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)ΔtN[s(t+Δt)−s(t)]=−λNs(t)i(t)Δt(3)\begin{cases}N[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Deltat\\N[s(t+\Delta t)-s(t)]=-\lambda Ns(t)i(t)\Delta t\end{cases}\tag3

{

N[i(t+Δt)−i(t)]=λNs(t)i(t)Δt−μNi(t)Δt

N[s(t+Δt)−s(t)]=−λNs(t)i(t)Δt

​         

(3)

第一个方程：病人在\Delta t时间段的增加数=\Delta t时间段被感染人数-\Delta t时间段治愈的病人数（移出者数）。

第二个方程：健康人在\Delta t时间段的增加数= - \Delta t时间段被感染人数（新治好的变成了移出者）。

最终得到得到

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪didt=λsi−μidsdt=−λsii(0)=i0,s(0)=s0 \begin{cases}\frac{di}{dt}=\lambda si-\mui\\\frac{ds}{dt}=-\lambda si\\i(0)=i_0,s(0)=s_0\end{cases}

⎩

⎪

⎨

⎪

⎧

​         

  

dt

di

​         

=λsi−μi

dt

ds

​         

=−λsi

i(0)=i

0

​         

,s(0)=s

0

​         

​         

还可以添加隔离等变量。

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