数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
: d, D- @$ V6 U* X医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。

% I& t& j$ m9 B% H0 e; z0 }指数模型
0 r5 R2 ?0 u9 a定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
8 \! g* [# ~. l$ Q9 i6 pi(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt

将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt

6 z. [: G, P3 ?1 }2 x0 C, B. e- f: X以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。

) G, [* m  g7 [% z! m" R$ zimport matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
3 ]$ r4 f0 |+ F- ~/ ddeltaT = 0.01
7 E; n% `% n; B$ ?8 l% M* V' P/ blamb = 2
i_list = []
' `9 N# K% o+ g; Y( ]: ai0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
% _( J( K8 }$ G/ o$ h, \i_list.append(i0)
Tot_Time = 10
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
  O/ b' r" a: c' `# o, ]##
for i in range(TotStep):
; b# O9 A1 I$ m    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
- B7 C2 D* W. I2 }5 F: e    i_list.append(i_new)
5 ]" ]0 c: q- A1 Z1 C* vplt.plot(i_list)
* w, _  ?5 i/ K  }- C6 q9 g1 M
将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
4 m9 q: ]. F0 E( I" V3 M

/ D7 H( R- ]; b5 N3 ]. p5 J实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。

0 y3 c: e6 B+ o$ B7 y9 d3 \SI模型
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：

3 D; U. i* J- f! B) I在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
- v( |; R$ I7 [每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
% E% H# d5 Z2 h5 \
! t' c/ ^' `3 n( f5 V7 I1 [N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt

消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt
0 U+ q. q; }4 t3 {" \
3 t) ?- @8 f1 c: f& Y+ c, P同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：
( V5 N& O2 S! z; k& y* ]
( ?8 `1 C1 l3 w7 _1 Q+ qimport matplotlib.pyplot as plt
4 ?9 E, v3 G* o3 K! w# [7 d%matplotlib inline
. N4 J2 x2 N/ N, K0 {8 y3 R9 MdeltaT = 0.01
* m% `& H* U5 Olamb = 2
i_list = []
s_list = []
( A3 B, l, L' k' z- L, Oi0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
# q" [3 R7 z( b. Q. bs_list.append(1 - i0)
3 v  {$ n4 i% N/ P/ e6 ATot_Time =5
! A* A( W& I$ A0 V- F  vTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
for i in range(TotStep):
" J7 ^% T- t: I. C1 ^6 R$ y9 r    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
    i_list.append(i_new)
1 j" s6 n! u/ c2 C    s_list.append(1- i_new)
, Z! p5 e! l2 p4 zTime = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
plt.plot(Time,i_list)
plt.plot(Time,s_list)
1 A4 B: a6 q- i' @2 D4 }plt.title("SI",fontsize = 20)
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel('i(t)')

从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。
" v( x0 `5 T+ E! [
  A% a/ b- T- s  e2 A3 `然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
; ]! f, w" b1 l9 Q0 y————————————————
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