数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
* Q0 r4 ~4 {1 e3 u( E3 N
8 i; z3 }* z$ X3 y指数模型
定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt

/ Z/ }5 t1 j4 c9 @) U& F) c将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
2 w/ a% P. o  D" hi(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
' P; E! n4 n8 k+ }7 li(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt

% n- B7 H$ ]3 O; K6 _以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
' t$ v& t  C" O/ cdeltaT = 0.01
& M  u, B/ F! C7 i/ `6 @8 U9 Rlamb = 2
i_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
; C; l1 V& ?- e8 P' y, r0 @i_list.append(i0)
Tot_Time = 10
# f8 _3 V. d1 i# ]; Q9 vTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
: p$ \; v3 |$ b$ s##
5 m4 n8 S" D8 E0 [3 xfor i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
    i_list.append(i_new)
5 ~$ x. G4 ~7 W* i9 `plt.plot(i_list)

将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
& d6 U# ^8 }# z2 {
% w  F% r, V1 W4 J, S6 G/ v# H
& \- d9 b' f2 _* u1 C, d实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。
+ A3 |: N" `6 S6 M7 _4 i8 n
SI模型
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：
. u0 G7 ]0 q7 ~0 G5 A
在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
7 r' L$ H# ^8 S4 _$ \0 {每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
2 J- K4 J. e, D" T5 Y5 W% [
7 Z; K% O! i( `N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt

, _0 W" \4 {+ D消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
, ~# v) U/ j% v7 Pi(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
0 q) d: i- V2 w; y. z* \) R# Li(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt

0 ^0 X2 E! u" p4 O$ E" p同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：

/ f2 \! \+ Q; t, ?+ R/ h/ ^9 rimport matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
deltaT = 0.01
' J. n* f2 o/ W- ]! k7 q: Mlamb = 2
i_list = []
  `8 {) s' g8 y/ ^+ @" V# ns_list = []
3 ]1 M& q7 C" k4 j& `i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
1 f8 ~5 l; ~: c# Mi_list.append(i0)
s_list.append(1 - i0)
+ ]; J3 g4 e0 U( m! oTot_Time =5
$ X6 L3 }/ S3 n$ VTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
7 |7 Y* ?9 \" `4 F# ^8 n9 b! D4 L##
, M- U2 w; T( c0 zfor i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
1 Y8 {; G5 R+ {( o0 H    i_list.append(i_new)
    s_list.append(1- i_new)
1 ~) D5 Y* y4 w- Q3 bTime = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
3 k, `$ r+ ?( Yplt.plot(Time,i_list)
0 g9 m7 g) r0 y/ P( x4 wplt.plot(Time,s_list)
0 e. |2 ?2 @( ^2 Y0 r% aplt.title("SI",fontsize = 20)
plt.xlabel("Time")
9 v, q3 M: L/ [; m! H. Q6 V; `plt.ylabel('i(t)')
- s' s7 N5 ?% v7 F
! }' ~3 c$ S' R- w' ^; A从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。

然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
5 |- x9 E4 I/ B6 l+ M. ^0 H————————————————
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