数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
7 R( ?4 q2 g3 p' o% }医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。

指数模型
定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
7 N3 i, g1 Y: G5 x4 O2 bi(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
- D+ e( P- x/ M$ L" V. |i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt
1 G- d# o  [( w  t- h& t. B2 U
将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
) l* h6 q& B% U) p+ I4 ai(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt
8 v. E9 M3 Y  @
% u% G' v7 ]8 p' \以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。

6 K" `( z5 I. Y' N& S% G2 Timport matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
deltaT = 0.01
9 r* d( r9 V* ?# n9 Wlamb = 2
+ `, n- D% f& Xi_list = []
, n) A; r, A$ v; Q9 O% li0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
8 e  \2 c9 E$ P( Zi_list.append(i0)
Tot_Time = 10
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
6 M$ C: X2 B& R: e: K. [- I% B##
0 [% L/ Y! x, f7 n: G- l- {) }: [for i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
    i_list.append(i_new)
$ w. y2 N+ }  ^% e& c+ k" m/ _plt.plot(i_list)
9 ]/ c  t& A) U9 J: J
! J8 y  ]3 ^: k5 L  A5 ?1 L将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？

, x- v0 M$ L: t
实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。
& J# c, l* [1 j7 n
SI模型
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：

$ A# |9 l; L2 x5 D' W0 ?6 q在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
7 J, s, W3 R: w; `$ J: }6 S0 h6 ?仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
) Q) p* ]3 e8 G1 }" O0 @
/ H1 ~- Q, J# zN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt

消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt

同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：
7 n1 p- ^/ a: t+ i  N) y8 P, E4 T
import matplotlib.pyplot as plt
9 i; g* ^1 ?' ~7 \%matplotlib inline
$ u( S- v4 a- Q# w4 B1 i. d: h+ mdeltaT = 0.01
lamb = 2
5 ~6 O- P1 {: f: n/ yi_list = []
s_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
+ ]3 N7 m2 l7 ~6 t: ~( Z* _i_list.append(i0)
9 U6 ?/ _! c8 o- S; y; y% ws_list.append(1 - i0)
: H' |9 }2 A0 I  }* Q: N% mTot_Time =5
: i: Q2 j5 k. uTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
! z8 \  `: x! z/ Jfor i in range(TotStep):
" q0 R& x0 K0 b! o6 g    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
    i_list.append(i_new)
+ j7 b( x5 H% {& j8 g: ?    s_list.append(1- i_new)
Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
4 e; W5 |& x; d' Mplt.plot(Time,i_list)
' ]& f9 @* `) H4 J' ?- ~plt.plot(Time,s_list)
plt.title("SI",fontsize = 20)
plt.xlabel("Time")
( a* Z6 j% o2 V  P3 tplt.ylabel('i(t)')

从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。

然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
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( N6 {! h  d: W7 P2 I5 c: B