数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
6 o% j; A6 q! u
指数模型
0 s7 _7 d1 [0 i5 h定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt

将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
8 |7 N& L! ~% ?# H& pi(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt

1 A/ c8 t+ N+ E6 o% Z! k, P以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。
0 c4 L% ^5 B: y5 j
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
# ~. v% m  l& q4 [4 ^6 f' o7 l( c. OdeltaT = 0.01
lamb = 2
i_list = []
i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
3 c& h3 t& D8 I: O$ g/ Vi_list.append(i0)
Tot_Time = 10
) j  [1 H$ v* O. d# STotStep = int(Tot_Time/deltaT)
3 C' T& F+ i' K3 G9 a. s##
! b  n7 {( A: H$ j6 Vfor i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
) w2 ?% i3 \& T    i_list.append(i_new)
plt.plot(i_list)

将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
+ ^& {0 O( F/ {3 B( H! M$ u7 d
" y/ r3 A1 v  r- x- F, Q
& A+ z( m) S2 ?. I4 [' R+ d, }实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。

SI模型
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：

5 z0 |) l) T) S( A! d" M在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
# T+ E' R" \3 r; Q) C每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
0 V, d( y0 U5 l2 w/ g8 a
6 ~+ [4 g- }9 }% j3 ?. x  K% }+ oN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
) b& z+ R; G1 k& ^# Y, uN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt

4 C& E# S2 |! v消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
$ [3 d0 \7 h3 \. _; [% Pi(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt

同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：

" d7 O5 I8 R6 T+ a$ Bimport matplotlib.pyplot as plt
7 y8 j+ @9 _% _2 O& c%matplotlib inline
deltaT = 0.01
- ~  I6 V& _( p- o+ E6 Y# t1 x* plamb = 2
i_list = []
s_list = []
3 y! ~; B% ]4 f# r/ l8 q( [i0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
s_list.append(1 - i0)
Tot_Time =5
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
  n+ \% E' f' Y4 u# c" p' P9 Y" ]for i in range(TotStep):
7 t# D1 {% a: s' b: H1 a    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
    i_list.append(i_new)
* ?( E7 }9 D' v8 o- g    s_list.append(1- i_new)
Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
plt.plot(Time,i_list)
2 ]9 J8 w3 {2 U+ h- A7 ?! m5 _plt.plot(Time,s_list)
plt.title("SI",fontsize = 20)
# O5 A& _( Q8 d2 r. gplt.xlabel("Time")
plt.ylabel('i(t)')
) A# Y* U2 \0 ~" R. u
, m7 @* H$ _8 n8 A& f从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。

然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
. A8 F' M' m1 @————————————————
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+ Y7 A- S7 K+ q1 s4 G7 J9 s7 L原文链接：https://blog.csdn.net/baidu_26746963/article/details/93918383
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