数学建模中的传染病模型及其编程求解

浅夏110

问题的提出
医生们发现，在一个民族或地区，当某种传染病流传时，波及到的总人数大体上保持为一个常数。即既非所有人都会得病也非毫无规律，两次流行（同种疾病）的波及人数不会相差太大。如何解释这一现象呢？试用建模方法来加以证明。
8 a- }* ]. Q6 h$ x
) d( t9 u$ t( t( Y  i  g指数模型
/ f2 l- J9 \/ t  u# @/ D# c) ]& Z定义已感染人数为i(t) i(t)i(t)，假设每个病人单位时间有效接触（足以使人致病）的人数为λ \lambdaλ，那么，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt i(t+\Delta t) - i(t) = \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)−i(t)=λi(t)Δt
3 y, N; q# |; [2 N0 ]$ ~
7 y5 J! D" c9 N. x将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)\Delta t
i(t+Δt)=i(t)+λi(t)Δt

以上递推公式意味着，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下。

+ A% Y2 {- A4 A; y. o9 D/ u% Nimport matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
deltaT = 0.01
lamb = 2
i_list = []
4 }/ ?/ K7 D: |+ h0 ji0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
i_list.append(i0)
6 N3 Z" P  [" B+ zTot_Time = 10
TotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
for i in range(TotStep):
    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT
0 H! [6 a# J' y- L6 p    i_list.append(i_new)
plt.plot(i_list)

将以上代码在Jupyter Notebook中运行，得到病人人数的变化趋势见下图，从中我们可以看到病人的增长是指数级的，在短短十天后，已经有3000万人患病！这显然不符合实际情况的，那么问题出在哪里了呢？
/ Z0 o) N8 \: R+ V. l3 D& o6 |& i
  N, Z) v$ P9 a2 p4 r9 X+ B  u
( R; ?( g- z- {) V: W1 w实际上，若病人解除的是病人，并不能够使病人再次患病，实际上以上的算法导致了重复计数现象的发生。解决办法：必须区分已感染者和未感染者。
0 c* z% a) K) I, T9 @
SI模型
现在我们将人群分成两个群体：已感染者（病人，Infected）和未感染者（健康者，Suspect），该模型称为SI模型，模型假设：

' _4 N7 |5 ?5 T$ @! k/ ]在研究时间内，不考虑死亡率和出生率，即总人数N NN不变，病人和健康人的比例分别为i(t) i(t)i(t)和s(t) s(t)s(t)
每个病人在单位时间内有效接触并致病的人数为λ \lambdaλ，且只有接触健康人才会致病，称λ \lambdaλ为日接触率
仿照指数模型里面的建模方法，在时间段Δt \Delta tΔt内，病人的增量可以用如下的公式进行计算

N[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt N[i(t+\Delta t)-i(t)]=[\lambda s(t)] N i(t) \Delta t
5 i6 B7 e, C4 }) a; u: GN[i(t+Δt)−i(t)]=[λs(t)]Ni(t)Δt
6 k1 Z' Z: L; O3 }& p/ ]3 K" n
( n. A; [3 i, A: L消去N NN，再将i(t) i(t)i(t)移到等式的右边，我们得到如下的递推公式
6 w& F' L, w* A" H7 `0 o) Ui(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt i(t+\Delta t) = i(t) + \lambda i(t)s(t)\Delta t
- T/ m5 G/ i0 S  {$ B* c' x5 Ui(t+Δt)=i(t)+λi(t)s(t)Δt
  h- H( s4 ~5 k5 d& P. S9 n2 q
同样地，我们可以通过当前时刻的病人人数和致病参数λ \lambdaλ，计算得到Δt \Delta tΔt时间后的病人人数，将以上思想在Python中进行实现，代码如下：
9 R7 I1 c% u8 A$ x  J
( h+ ?9 m, c: U  G. V: N7 \  Dimport matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
+ _/ q6 t0 q3 h& e2 [8 z) BdeltaT = 0.01
lamb = 2
) ]1 W/ l; k/ q5 ii_list = []
s_list = []
; Z# K! F5 I  n: Li0 = 0.08; # 初始有8%的人患病
  O2 ]' Z# P, u2 c* w- Hi_list.append(i0)
s_list.append(1 - i0)
Tot_Time =5
' c' B, W- x) c0 o" S% N5 uTotStep = int(Tot_Time/deltaT)
##
8 d6 T6 T4 j6 Qfor i in range(TotStep):
' j8 F" y8 C1 W  o    i_new = i_list[-1] + lamb * i_list[-1] * deltaT * s_list[-1]
8 D. V# m& V( k, t: n5 J. n    i_list.append(i_new)
    s_list.append(1- i_new)
5 M8 C4 B$ [6 r" j0 w- }Time = [i * deltaT for i in range(TotStep + 1)]
, @5 B/ i6 a5 u! q9 F1 L# Fplt.plot(Time,i_list)
) g! M. ^1 j4 b$ E0 R: Xplt.plot(Time,s_list)
1 T4 D& ?$ D4 ]1 d+ W) f$ splt.title("SI",fontsize = 20)
plt.xlabel("Time")
plt.ylabel('i(t)')
$ t0 E: ?: c. V9 n! S
从SI模型我们可以看到，病人比例不再会出现"指数爆炸"的情况，在t→∞ t \rightarrow \inftyt→∞时最大患病比例为1。在SI模型中，病人数量的增长曲线是一个典型的S型曲线，又称为Logistic曲线，该曲线在生物学上经常被用来描述物种的增长模。
9 |  W6 {2 \8 j' B! V
' @' i. ~6 g8 j. g% n# d然后，SI模型的结论告诉我们，无论λ \lambdaλ多么小，最终人群都会患病，这显然也是不符合实际情况的。
% x4 }4 Z# F! E" g' y+ W' @/ J————————————————
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