匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
# Z4 ^1 J; v  x1 P7 R$ h若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。
1 ^0 N( B6 F* s5 ^
若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：

) r+ S: L6 W9 p  A【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。

9 ^6 J0 F- g5 r' b9 w- ~1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：
6 @4 W! I' ^6 \7 z+ I7 _+ A. B
$ X0 E+ B$ e" }4 r6 f4 i) Z/ M【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：

( E/ V/ P; w$ K∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。

由上述定理可以得出：
/ O! _1 s. g  ^
【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。
; a  ~% _& Q* o  M- N
由此推论得出下面的婚配定理：
& u- t: S7 D' j, ^# n7 P4 i
【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。
6 j  H8 I8 O5 L! Y, G
( O& f; w7 F" ^- z$ N. K# u( J人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。



; z7 D0 E8 Y3 ]. b3 x解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。
$ M0 Q; [5 d2 P) o0 u) r. v* S
匈牙利算法
7 [# ]. p. Q& h& P
3 r6 m6 G3 R* u& e+ Z4 m
. F4 ?" G! a: D) ?把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。

最优分派问题
在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。

  Q6 `9 ?# i7 C# i- y9 L可行顶点标号、相等子图


【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。
7 s: s9 ~$ c% \# M9 u& \; R
库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法
) S- s* Q9 [7 ~
/ [3 r7 w& f4 |) j% i: T% R' t
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