匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。

若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：

  N  D3 ]) k# Z! g- J( f$ x/ i6 f% @【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。

  Q+ k/ `% ^7 ?! `# o1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：
  ^5 q( Q# R) K$ P2 f  S; Y) H" t
【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：
& [5 p/ h' C. ?* M
" A/ f0 R' S$ k∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。

由上述定理可以得出：

& L. a' k" o6 k) U6 F) h9 _! E【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。

由此推论得出下面的婚配定理：

【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。

人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。

* Q+ W5 I- G2 F2 s3 \3 j

; R' c$ m( K6 b6 e. o9 g: D解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。

匈牙利算法
* i' k8 [' ]7 K2 n% l
. P3 O, |+ A  ~/ Z. ?) H
5 V  M$ M" v# U7 [1 {: O  k把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。
0 ?; W4 {! \7 z' z# ^
) t4 Y6 ?4 ^5 I( w) ?7 e, l最优分派问题
. d' ^. U5 n2 S' n1 o! B3 W6 \' M9 N在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。

可行顶点标号、相等子图
; ?0 A. E  w( J7 m# X/ E# r
4 M" C! s- j4 P' `, L$ F2 k
+ y8 {2 Y7 }, L& U9 H【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。
( b, z/ m% s; o
库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法
3 d6 T& T2 V2 r- ^- x

" V2 e, Y: H) d- w3 V+ p0 `, N————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89785987


& p$ @9 {' O6 U2 M# x