匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
3 B' y) S' G& y: x4 b1 g4 j  n0 U若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。
" {& }0 e7 ?  D& C0 j& h" p
若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：

【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。

; _6 g: p- ]5 I5 ]/ ]8 ]3 O1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：

' e( w! L" {5 E5 N. a7 L- }# @, h# m【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：

∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。

由上述定理可以得出：
8 h2 Y5 c# j7 U3 _5 |; F' g" ^
) K4 O" I+ N. A【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。

由此推论得出下面的婚配定理：

# i& x  E" H8 c4 q【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。
# X; ]0 X! N0 q+ j2 Y* G
人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。


) \* N: {6 G9 {7 |
解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。

, \1 u* m6 v2 r5 j, ~' @' q1 n* A( x匈牙利算法
. T3 Y9 o  r- w

把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。
( a6 J. v9 `9 q& G% X7 ~
最优分派问题
7 |3 f$ `- ?5 K7 @4 h在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。

: U. \6 l) s4 V0 g: X可行顶点标号、相等子图
# {% z. ~" i& n7 k- Q4 }& L7 P7 j" k

【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。
4 c* c. ^2 @; x- I/ F  ]3 P
2 z& ]# Z7 [0 h9 k! i4 V6 l库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

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