匹配问题： 匈牙利算法 、最优指派、相等子图、库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法

浅夏110

定义
, f& i- _) m' R' A9 }若 M ⊂ E(G) ，∀  ∈ M ，   与  无公共端点（i ≠ j ），则称 M 为图 G 中的一个对集；M 中的一条边的两个端点叫做在对集 M 中相配；M 中的端点称为 被 M 许配；G 中每个顶点皆被 M 许配时，M 称为完美对集；G 中已无使| M '|>| M | 的对集 M ' ，则 M 称为最大对集；若G 中有一轨，其边交替地在对集 M 内外出现，则 称此轨为 M 的交错轨，交错轨的起止顶点都未被许配时，此交错轨称为可增广轨。
0 u' S3 h& P3 j$ u* J3 M' U( @; K
$ r! o5 R2 C/ b& w" u, w: o( C( M若把可增广轨上在 M 外的边纳入对集，把 M 内的边从对集中删除，则被许配的 顶点数增加 2，对集中的“对儿”增加一个。 1957 年，贝尔热(Berge)得到最大对集的充要条件：
& B. j3 r4 i" y) T0 M) @0 {
【定理 2 】M 是图G 中的最大对集当且仅当G 中无 M 可增广轨。
1 i0 f) `  @. m( t% u1 q! E. D
1935 年，霍尔(Hall)得到下面的许配定理：
0 K; V, D) V" x8 ~7 u
【定理 3】 G 为二分图， X 与Y 是顶点集的划分，G 中存在把 X 中顶点皆许配的对集的充要条件是：
" d9 x9 r; v! ^, T
. z4 k: u& }5 x8 k( m∀S ⊂ X ，则| N(S) | ≥| S |，其中 N(S) 是 S 中顶点的邻集。
0 f& v8 v% J2 X/ C! |  e
由上述定理可以得出：
0 d( y; e4 g, ^- M3 V; W: [
【推论 1】若G 是k 次（k > 0) 正则 2 分图，则G 有完美对集。 所谓k 次正则图，即每顶点皆k 度的图。

由此推论得出下面的婚配定理：
! l. ~1 [$ s1 `$ o1 w% I4 l  _# d
8 _) ^- w- z+ [- O6 I【定理 4 】每个姑娘都结识k (k ≥ 1) 位小伙子，每个小伙子都结识k 位姑娘，则每位 姑娘都能和她认识的一个小伙子结婚，并且每位小伙子也能和他认识的一个姑娘结婚。

人员分派问题等实际问题可以化成对集来解决。
* X- X. X# }& o! B! ]9 N


解决这个问题可以利用 1965 年埃德门兹(Edmonds)提出的匈牙利算法。

1 T6 q; A- d4 ~* v2 |) m7 ?匈牙利算法
' X2 z. r8 c/ x9 ^
5 k$ @; D5 A& |; y; l- O
把以上算法稍加修改就能够用来求二分图的最大完美对集。

最优分派问题
% v0 k) M' P0 q( X! e- e6 n! Z在人员分派问题中，工作人员适合做的各项工作当中，效益未必一 致，我们需要制定一个分派方案，使公司总效益最大。 这个问题的数学模型是：在人员分派问题的模型中，图 G 的每边加了权   ≥ 0 ，表示  做  工作的效益，求加权图G 上的权最大的完美对集。 解决这个问题可以用库恩—曼克莱斯（Kuhn-Munkres）算法。为此，我们要引入 可行顶点标号与相等子图的概念。

可行顶点标号、相等子图
8 [- F. R* ~/ N, }
* v5 a' |* D3 M
【定理 5】   的完美对集即为G 的权最大的完美对集。
1 R& a( r% b/ y( Z
库恩—曼克莱斯 (Kuhn-Munkres) 算法


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