组合优化算法-现代优化算法 （一）：模拟退火算法 及应用举例

浅夏110

一些用于模型求解的启发式算法，主要针对很难求解的NP问题。
现代优化算法是 80 年代初兴起的启发式算法。这些算法包括禁忌搜索（tabu search），模拟退火（simulated annealing），遗传算法（genetic algorithms），人工神经网 络（neural networks）。它们主要用于解决大量的实际应用问题。目前，这些算法在理论 和实际应用方面得到了较大的发展。无论这些算法是怎样产生的，它们有一个共同的目 标－求 NP-hard 组合优化问题的全局优解。虽然有这些目标，但 NP-hard 理论限制它 们只能以启发式的算法去求解实际问题。
# v, _; Y2 A- g" G! k; D
6 S) I) |  W- b; z( w! v启发式算法包含的算法很多，例如解决复杂优化问题的蚁群算法（Ant Colony Algorithms）。有些启发式算法是根据实际问题而产生的，如解空间分解、解空间的限 制等；另一类算法是集成算法，这些算法是诸多启发式算法的合成。
1 A1 h, }. n9 I- i. ]0 D0 u7 X2 C% j
$ ?$ |1 n9 ]7 ]6 v' u: d现代优化算法解决组合优化问题，如 TSP（Traveling Salesman Problem）问题，QAP （Quadratic Assignment Problem）问题，JSP（Job-shop Scheduling Problem）问题等效 果很好。

模拟退火算法简介
模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。统计力学表明材料中粒子的不 同结构对应于粒子的不同能量水平。在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和 重新排列。在低温条件下，粒子能量较低。如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过 程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。当系统完全被冷却时，终形 成处于低能状态的晶体。



4 M- ~& }' t7 s  h; V! Z


6 m% {+ f: S  l2 b1 N% @" E
" e) U5 [2 ]' Q  I* G  y
: v. a: S2 G" O0 p1 H8 ]
. C# p( y  i3 ]; b* U* ~  O8 h在模拟退火算法中应注意以下问题：

（1）理论上，降温过程要足够缓慢，要使得在每一温度下达到热平衡。但在计算 机实现中，如果降温速度过缓，所得到的解的性能会较为令人满意，但是算法会太慢， 相对于简单的搜索算法不具有明显优势。如果降温速度过快，很可能终得不到全局 优解。因此使用时要综合考虑解的性能和算法速度，在两者之间采取一种折衷。
: ]( D) k6 i6 H' b% H
（2）要确定在每一温度下状态转换的结束准则。实际操作可以考虑当连续m 次的 转换过程没有使状态发生变化时结束该温度下的状态转换。终温度的确定可以提前定 为一个较小的值  ，或连续几个温度下转换过程没有使状态发生变化算法就结束。

（3）选择初始温度和确定某个可行解的邻域的方法也要恰当。

' w6 G$ _& ~) U7 w& Z1.2  应用举例
例  已知敌方 100 个目标的经度、纬度如表 1 所示。
( e- O  ^; h* i* n* m! f' G
) P  N$ t2 T$ a
4 P/ h5 [& w3 s




# H8 _- [# ^' \, S; a& |
1 {! h9 R6 S  A7 w! ]# n( N8 s
- W  G0 [5 S- l" L我们编写如下的 matlab 程序如下：
9 w  j' b, ]5 z4 h3 @0 j
0 I# s) V& C* e9 e3 T" y& O
clc,clear
load sj.txt    %加载敌方 100 个目标的数据，数据按照表格中的位置保存在纯文本 文件 sj.txt 中
x=sj(:,1:2:8);x=x(;
y=sj(:,2:2:8);y=y(;
sj=[x y];
d1=[70,40];
+ E+ V0 c+ g+ G. Bsj=[d1;sj;d1];
sj=sj*pi/180; %距离矩阵
d
d=zeros(102);
for i=1:101     
6 R. v0 b/ I3 \) f& {2 |    for j=i+1:102         
  \& a9 [; \* L* T! ]4 x( y        temp=cos(sj(i,1)-sj(j,1))*cos(sj(i,2))*cos(sj(j,2))+sin(sj(i,2))*sin(sj(j,2));
9 A7 `1 o$ E* F# U+ R4 _1 ]4 j        d(i,j)=6370*acos(temp);     
( m2 z1 C1 B: r) V; z, m& j    end
/ L, g. }* K' K# G8 |end
' ^& k0 G" j. K" Pd=d+d';
( k4 B- u* M( t5 f# D* ?$ y1 W  b4 zS0=[];Sum=inf;
  B+ _0 [% h" x$ Frand('state',sum(clock));
8 _- y; X& z' U/ f3 ufor j=1:1000     
4 J7 f+ r8 i- t, v) v" m% m    S=[1 1+randperm(100),102];     
; ?3 p: j% h; L  R. k" M" i% h    temp=0;
5 U' u  _$ N3 z  T% U6 o5 C    for i=1:101         
0 f9 U& J4 e+ n: R        temp=temp+d(S(i),S(i+1));     
- Z# b  I2 @' p, e    end     
    if temp<Sum         
. q6 R- z4 g+ m8 w        S0=S;Sum=temp;     
2 E+ ^5 h' k5 e% @8 i    end
6 A( d1 y1 B5 tend
e=0.1^30;L=20000;at=0.999;T=1;
%退火过程
+ A% n1 ?0 o4 r! g1 pfor k=1    %产生新解
    c=2+floor(100*rand(1,2));
    c=sort(c); c1=c(1);c2=c(2);   %计算代价函数值   
& q5 [6 M9 Z& A0 s5 ]    df=d(S0(c1-1),S0(c2))+d(S0(c1),S0(c2+1))-d(S0(c1-1),S0(c1))-d(S0(c2),S0(c2+1)); %接受准则   
    if df<0   
# o# @9 n8 M% A6 H' Q        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];         
% y$ F! X1 E5 N- y        Sum=Sum+df;   
    elseif exp(-df/T)>rand(1)   
1 m9 W, W$ D( n$ S; _) k7 @        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];   
7 |7 ]! D" m/ `$ e: l2 m' q( X        Sum=Sum+df;   
% a6 k) L$ B" A3 R( k6 N2 Z1 y    end   
! j' `: e: B  }9 h0 y    T=T*at;   
    if T<e        
        break;   
    end
0 _! o4 M# y- |% E5 _0 N  }' mend  
/ h& Q+ x# y0 n  t, N% 输出巡航路径及路径长度
S0,Sum
4 |. v% r! Q# X$ c


# j1 m: K% [; t计算结果为 44 小时左右。其中的一个巡航路径如图 1 所示。
/ N# l  h7 k- m5 L' m
7 a9 J: I5 y( N" n: y1 z. u

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