组合优化算法-现代优化算法 （一）：模拟退火算法 及应用举例

浅夏110

一些用于模型求解的启发式算法，主要针对很难求解的NP问题。
  o+ L! q$ {5 j7 h& P# k现代优化算法是 80 年代初兴起的启发式算法。这些算法包括禁忌搜索（tabu search），模拟退火（simulated annealing），遗传算法（genetic algorithms），人工神经网 络（neural networks）。它们主要用于解决大量的实际应用问题。目前，这些算法在理论 和实际应用方面得到了较大的发展。无论这些算法是怎样产生的，它们有一个共同的目 标－求 NP-hard 组合优化问题的全局优解。虽然有这些目标，但 NP-hard 理论限制它 们只能以启发式的算法去求解实际问题。
: e/ o$ R7 R7 z& J  i
, u1 ]5 g5 S2 e/ G" v8 _: q启发式算法包含的算法很多，例如解决复杂优化问题的蚁群算法（Ant Colony Algorithms）。有些启发式算法是根据实际问题而产生的，如解空间分解、解空间的限 制等；另一类算法是集成算法，这些算法是诸多启发式算法的合成。
* Q  a+ Z, e% C+ G& f
现代优化算法解决组合优化问题，如 TSP（Traveling Salesman Problem）问题，QAP （Quadratic Assignment Problem）问题，JSP（Job-shop Scheduling Problem）问题等效 果很好。

模拟退火算法简介
' n" G$ H; j/ `1 M1 R模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。统计力学表明材料中粒子的不 同结构对应于粒子的不同能量水平。在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和 重新排列。在低温条件下，粒子能量较低。如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过 程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。当系统完全被冷却时，终形 成处于低能状态的晶体。
8 A0 R# |1 t# X/ b% _9 t( {/ G
" x: n+ T7 k$ @





% G% [  [% n% i0 l+ U! O2 D7 Q

5 V1 o* f( B, m  J- P在模拟退火算法中应注意以下问题：
3 F; J. u  r6 H2 `7 H' i
（1）理论上，降温过程要足够缓慢，要使得在每一温度下达到热平衡。但在计算 机实现中，如果降温速度过缓，所得到的解的性能会较为令人满意，但是算法会太慢， 相对于简单的搜索算法不具有明显优势。如果降温速度过快，很可能终得不到全局 优解。因此使用时要综合考虑解的性能和算法速度，在两者之间采取一种折衷。
) N; f, K/ h* P/ G
（2）要确定在每一温度下状态转换的结束准则。实际操作可以考虑当连续m 次的 转换过程没有使状态发生变化时结束该温度下的状态转换。终温度的确定可以提前定 为一个较小的值  ，或连续几个温度下转换过程没有使状态发生变化算法就结束。

# X! Q( |0 x, t% w. b（3）选择初始温度和确定某个可行解的邻域的方法也要恰当。
8 m2 Q2 R7 I: a1 m; Y( y
1.2  应用举例
6 h9 k' Z; R0 k6 e# w- F7 _* W例  已知敌方 100 个目标的经度、纬度如表 1 所示。

1 E& h2 J1 o, l9 F/ w
6 Z! N  M1 x5 q+ ?5 M+ R8 j( V


7 E7 y0 ?  Q; n
# K7 W0 c& K6 U  r% \8 Q3 ]$ a: J
% Z7 M3 i& x! C+ e& C2 a" @
% _  M" j: l* _$ ]
我们编写如下的 matlab 程序如下：

0 ]2 U& _+ I( F& K9 G6 v+ C9 b
- a$ k* M+ \8 Pclc,clear
( u% P7 V7 L. ]9 e% I6 ?+ m5 |load sj.txt    %加载敌方 100 个目标的数据，数据按照表格中的位置保存在纯文本 文件 sj.txt 中
x=sj(:,1:2:8);x=x(;
y=sj(:,2:2:8);y=y(;
' A+ a9 n+ Q! vsj=[x y];
d1=[70,40];
, p* }9 o: x( v, wsj=[d1;sj;d1];
3 v5 r% S5 ~1 ^sj=sj*pi/180; %距离矩阵
d
d=zeros(102);
4 f$ f( f# s0 P  Nfor i=1:101     
    for j=i+1:102         
        temp=cos(sj(i,1)-sj(j,1))*cos(sj(i,2))*cos(sj(j,2))+sin(sj(i,2))*sin(sj(j,2));
        d(i,j)=6370*acos(temp);     
    end
# H- q. z: B. g- r  yend
5 Y9 p! ]' p7 ?d=d+d';
S0=[];Sum=inf;
6 h# Y- p: Z" A9 M$ d: C% @* Crand('state',sum(clock));
for j=1:1000     
    S=[1 1+randperm(100),102];     
    temp=0;
: l" B. G& E2 z* }    for i=1:101         
        temp=temp+d(S(i),S(i+1));     
    end     
1 e$ l$ J7 [( \: u! C" J    if temp<Sum         
$ [' d7 [; ]" |( r5 u6 Y        S0=S;Sum=temp;     
2 M' D6 g4 V& k" @5 s    end
2 ~1 D* q3 }6 e: ~8 ~9 S. Tend
( i2 n) Y  i* D7 l8 E1 b" ye=0.1^30;L=20000;at=0.999;T=1;
& }9 N8 A4 a2 k( ^+ H- A4 |%退火过程
for k=1    %产生新解
. h$ O( T- b6 Y" i8 _    c=2+floor(100*rand(1,2));
+ C/ H9 V) g& c: O- |4 s, n    c=sort(c); c1=c(1);c2=c(2);   %计算代价函数值   
    df=d(S0(c1-1),S0(c2))+d(S0(c1),S0(c2+1))-d(S0(c1-1),S0(c1))-d(S0(c2),S0(c2+1)); %接受准则   
    if df<0   
4 b0 q) ^% C- s4 _8 P        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];         
        Sum=Sum+df;   
    elseif exp(-df/T)>rand(1)   
* w) U3 V5 n* T+ I: D2 E/ v; z        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];   
# J3 ]& w* X4 `& K7 N7 F6 \7 n4 g        Sum=Sum+df;   
    end   
    T=T*at;   
    if T<e        
        break;   
    end
end  
% 输出巡航路径及路径长度
2 J+ i  P1 K! ?S0,Sum
4 c: {8 Y2 }  S+ f% C


计算结果为 44 小时左右。其中的一个巡航路径如图 1 所示。
8 {; j2 \; D% `! l  F' h! S6 w' g
# T" R! e4 A% P3 H8 s' y

9 a  D/ P$ {8 w# F————————————————
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