组合优化算法-现代优化算法 （一）：模拟退火算法 及应用举例

浅夏110

一些用于模型求解的启发式算法，主要针对很难求解的NP问题。
现代优化算法是 80 年代初兴起的启发式算法。这些算法包括禁忌搜索（tabu search），模拟退火（simulated annealing），遗传算法（genetic algorithms），人工神经网 络（neural networks）。它们主要用于解决大量的实际应用问题。目前，这些算法在理论 和实际应用方面得到了较大的发展。无论这些算法是怎样产生的，它们有一个共同的目 标－求 NP-hard 组合优化问题的全局优解。虽然有这些目标，但 NP-hard 理论限制它 们只能以启发式的算法去求解实际问题。

启发式算法包含的算法很多，例如解决复杂优化问题的蚁群算法（Ant Colony Algorithms）。有些启发式算法是根据实际问题而产生的，如解空间分解、解空间的限 制等；另一类算法是集成算法，这些算法是诸多启发式算法的合成。

现代优化算法解决组合优化问题，如 TSP（Traveling Salesman Problem）问题，QAP （Quadratic Assignment Problem）问题，JSP（Job-shop Scheduling Problem）问题等效 果很好。
2 U' j0 Z- l$ s! X1 E9 x8 `; {6 g0 Y
0 n2 a2 w) @  K" k' V. L* y模拟退火算法简介
. A; x1 E  y+ E4 |" W0 K- m模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。统计力学表明材料中粒子的不 同结构对应于粒子的不同能量水平。在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和 重新排列。在低温条件下，粒子能量较低。如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过 程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。当系统完全被冷却时，终形 成处于低能状态的晶体。
. f- O& H9 ?0 Y



1 c% D8 H- A& @8 G' Y+ v: n
  k& k6 X, |8 L9 y
/ u# t; ~1 y1 c1 G2 [( O


; s+ a( N+ C* W0 `% u在模拟退火算法中应注意以下问题：
( g) y3 g/ H; g0 W2 b
（1）理论上，降温过程要足够缓慢，要使得在每一温度下达到热平衡。但在计算 机实现中，如果降温速度过缓，所得到的解的性能会较为令人满意，但是算法会太慢， 相对于简单的搜索算法不具有明显优势。如果降温速度过快，很可能终得不到全局 优解。因此使用时要综合考虑解的性能和算法速度，在两者之间采取一种折衷。
5 Z9 |5 S7 _. H) T2 J
（2）要确定在每一温度下状态转换的结束准则。实际操作可以考虑当连续m 次的 转换过程没有使状态发生变化时结束该温度下的状态转换。终温度的确定可以提前定 为一个较小的值  ，或连续几个温度下转换过程没有使状态发生变化算法就结束。
7 c8 W( G8 u; n! A( ~2 n
（3）选择初始温度和确定某个可行解的邻域的方法也要恰当。

1.2  应用举例
8 }  U  Y! d( T5 b例  已知敌方 100 个目标的经度、纬度如表 1 所示。

. ~" t: z2 Z6 R% ~6 Z

0 x% F% f' w/ I/ l" \, _
8 Q/ L2 w2 v6 e0 E! [1 a2 y
- V; E3 M( J3 b2 }9 f. X9 N- |
! s. h6 n8 L) j# C- _) r* e3 t


! z3 C% A  c: m1 u我们编写如下的 matlab 程序如下：

& o7 w# t) W7 b& Z+ c7 N, f2 |
0 `- B$ `, S7 v- U+ u. Kclc,clear
load sj.txt    %加载敌方 100 个目标的数据，数据按照表格中的位置保存在纯文本 文件 sj.txt 中
x=sj(:,1:2:8);x=x(;
: f" K1 l! B% L6 v. J+ z7 oy=sj(:,2:2:8);y=y(;
+ [, ?# E1 d( p' V1 Xsj=[x y];
3 t9 j+ k9 ^* {d1=[70,40];
, U+ B( ]- c9 S* s* [9 Q1 E' B: c( Csj=[d1;sj;d1];
0 S3 J: c! U4 H, O/ T2 a% b7 Fsj=sj*pi/180; %距离矩阵
d
: q; e8 E& T5 ^$ c- ~d=zeros(102);
# a- y% _  C: f  V& L, tfor i=1:101     
    for j=i+1:102         
        temp=cos(sj(i,1)-sj(j,1))*cos(sj(i,2))*cos(sj(j,2))+sin(sj(i,2))*sin(sj(j,2));
        d(i,j)=6370*acos(temp);     
    end
end
d=d+d';
: J0 d/ n  L0 |  L, uS0=[];Sum=inf;
rand('state',sum(clock));
9 y8 f3 E+ q1 ^, ?6 C7 z1 Rfor j=1:1000     
    S=[1 1+randperm(100),102];     
5 y( }# v6 i, t    temp=0;
5 e7 K" C5 g+ E    for i=1:101         
, d# Z; U' y/ z. O3 Q& c* O        temp=temp+d(S(i),S(i+1));     
    end     
    if temp<Sum         
! \) i) S. n6 y        S0=S;Sum=temp;     
    end
; N0 U1 g2 n: _! w" send
e=0.1^30;L=20000;at=0.999;T=1;
%退火过程
for k=1    %产生新解
    c=2+floor(100*rand(1,2));
7 U" Z* [- ]  C: G7 a; f8 R9 R    c=sort(c); c1=c(1);c2=c(2);   %计算代价函数值   
) _7 C& u5 D/ }) w; t4 S    df=d(S0(c1-1),S0(c2))+d(S0(c1),S0(c2+1))-d(S0(c1-1),S0(c1))-d(S0(c2),S0(c2+1)); %接受准则   
    if df<0   
        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];         
: m2 t% y7 Q) q' {- Y9 f        Sum=Sum+df;   
    elseif exp(-df/T)>rand(1)   
        S0=[S0(1:c1-1),S0(c2:-1:c1),S0(c2+1:102)];   
        Sum=Sum+df;   
4 `6 [/ z: l/ @! t% N/ t( c; E    end   
    T=T*at;   
" {; W% K% }4 e    if T<e        
4 _  `0 |8 g$ D$ \7 B        break;   
! N  u1 O: L5 p' @    end
5 F/ s6 y, a% X  Yend  
% 输出巡航路径及路径长度
S0,Sum
! `1 H! T2 t: O% K; d
0 L/ |% {  w! @# p* A1 B6 I3 v7 k
5 V8 ?1 W* k) {8 G7 h7 W$ ^
计算结果为 44 小时左右。其中的一个巡航路径如图 1 所示。
8 z4 g  g2 F" p7 k8 N
# b4 `  H" O  n0 n; p

: {) b% o; \9 B8 r. k+ P/ B————————————————
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. e6 a% J) w1 W7 n