组合优化算法-现代优化算法(三）：禁忌搜索算法

浅夏110

1 禁忌搜索算法的相关概念
禁忌搜索算法是组合优化算法的一种，是局部搜索算法的扩展。禁忌搜索算法是人 工智能在组合优化算法中的一个成功应用。禁忌搜索算法的特点是采用了禁忌技术。所 谓禁忌就是禁止重复前面的工作。禁忌搜索算法用一个禁忌表记录下已经到达过的局部最优点，在下一次搜索中，利用禁忌表中的信息不再或有选择地搜索这些点。 禁忌搜索算法实现的技术问题是算法的关键。禁忌搜索算法涉及侯选集合、禁忌 对象、评价函数、特赦规则、记忆频率信息等概念。
0 b. X, l; z8 x0 F& y+ b. n
; Z/ ]0 ]7 H+ L7 n! L（1）邻域
! O, A# \% r. ~6 o3 }在组合优化中，距离的概念通常不再适用，但是在一点附近搜索另一个下降的点仍 然是组合优化数值求解的基本思想。因此，需要重新定义邻域的概念。


7 Y9 w: g) s- k4 B! M

（2）侯选集合
% z8 [; {$ b( f: z侯选集合由邻域中的邻居组成。常规的方法是从邻域中选择若干个目标值或评价 值最佳的邻居入选。

（3）禁忌对象和禁忌长度
/ E: d+ x& S6 d, t  K禁忌表中的两个主要指标是禁忌对象和禁忌长度。禁忌算法中，由于我们要避免 一些操作的重复进行，就要将一些元素放到禁忌表中以禁止对这些元素进行操作，这些元素就是我们指的禁忌对象。禁忌长度是被禁对象不允许选取的迭代次数。一般是给被禁对象 x 一个数（禁忌长度） t ，要求对象 x 在 t 步迭代内被禁，在禁忌表中采用 tabu(x) = t 记忆，每迭代一步，该项指标做运算 tabu(x) = t −1，直到 tabu(x) = 0时 解禁。于是，我们可将所有元素分成两类，被禁元素和自由元素。禁忌长度t 的选取可以有多种方法，例如t = 常数，或t = [  ]，其中 n 为邻域中邻居的个数；这种规则容易在算法中实现。

（4）评价函数
评价函数是侯选集合元素选取的一个评价公式，侯选集合的元素通过评价函数值 来选取。以目标函数作为评价函数是比较容易理解的。目标值是一个非常直观的指标， 但有时为了方便或易于计算，会采用其他函数来取代目标函数。
0 m- s) v5 E- H( Y
（5）特赦规则
* `6 o$ ^" h! t, v/ ~在禁忌搜索算法的迭代过程中，会出现侯选集中的全部对象都被禁忌，或有一对 象被禁，但若解禁则其目标值将有非常大的下降情况。在这样的情况下，为了达到全局 最优，我们会让一些禁忌对象重新可选。这种方法称为特赦，相应的规则称为特赦规则。

: a9 }$ g9 q  j- `- C9 ~（6）记忆频率信息
在计算的过程中，记忆一些信息对解决问题是有利的。如一个最好的目标值出现 的频率很高，这使我们有理由推测：现有参数的算法可能无法再得到更好的解。根据解 决问题的需要，我们可以记忆解集合、被禁对象组、目标值集合等的出现频率。 频率信息有助于进一步加强禁忌搜索的效率。我们可以根据频率信息动态控制禁 忌的长度。一个最佳的目标值出现的频率很高，有理由终止计算而将此值认为是最优值。
5 ~: A0 C7 e3 }8 o5 v5 i, N
, e! E. H4 P: _% Z. e. L2 模型及求解
5 p4 a% Q6 g5 A' ]" f% t5 c3 s我们用禁忌搜索算法研究如下的两个问题：
' j* J3 o9 i. p3 q( R2 @
（1）研究 1.2 中同样的问题。
' [9 z$ n; Y; T/ r
8 q# F8 [4 V: D# ^5 U) F
. J1 o8 C) c/ m' ^. c7 i& ]

/ J& F8 G) f7 K& c. Y" J3 ~
, X; b+ q& ?* n- v3 b' o  {
: G/ k3 g0 g8 t2 W  V我方有一个基地，经度和纬度为（70,40）。假设我方飞机的速度为 1000 公里/小时。 我方派一架飞机从基地出发，侦察完敌方所有目标，再返回原来的基地。在敌方每一目 标点的侦察时间不计，求该架飞机所花费的时间（假设我方飞机巡航时间可以充分长）。
& N" G6 p4 t3 _
' h  O$ L( X3 N4 E& m# b

- i5 I( D. }2 y1 g$ f* u! F& M（2）我方有三个基地，经度、纬度分别为（70,40），（72,45），（68,48）。假设我方 所有无人侦察机的速度都为 1000 公里/小时。三个基地各派出一架飞机侦察敌方目标， 怎样划分任务，才能使时间最短，且任务比较均衡。

2 m# [7 o& U0 A1 t' ~4 m2.1 问题（1）的求解
求解的禁忌搜索算法描述如下： （1）解空间
7 z0 u; B5 ?. t: a. o" x
( {7 t) o9 D4 j7 `) y, F7 V

（2）目标函数

目标函数为侦察所有目标的路径长度。我们要求

+ A) L3 r8 p7 O% f* a0 s
: i5 T  {$ N0 q7 e2 M8 W% {0 V（3）候选集合

1 w* ^5 L9 N1 _0 ?
. ~1 N, s$ Y/ d4 X! t

如果要考虑当前解的全部二邻域（或三邻域）的邻居，将面临着太大的工作量。 因此我们用随机选取的方法每次选取50个邻居组成的集合作为侯选集合。而将省下的 时间作更多次搜索，这样做同样可以保证较高的精确度，同时可以大大提高算法的效率。

（4）禁忌长度及禁忌对象

1 V  A1 l" F: Y
+ l: ~3 [: g+ L5 B
: u! M7 l, ~6 B我们把禁忌表设计成一个循环队列，初始化禁忌表 H = Φ 。从候选集合C 中选出 一个向量 x ，如果 x ∉ H ，并且 H 不满，则把向量 x 添加到禁忌表中；如果 H 已满， 则最早进入禁忌表的向量出列，向量 x 进入到出列的位置。

7 o# [6 f5 @* s: C2 p2 A/ k  \8 E（5）评价函数

9 H8 H8 B& |7 v0 T8 M可以用目标函数作为评价函数，但是这样每选取一个新的路径都得去计算总时间， 计算量比较大。对于上述二邻域中的邻居作为侯选集合，每一个新路径中只有两条边发 生了变化，因此将目标函数的差值作为评价函数可以极大地提高算法的效率。评价函数 取为
8 I* K6 w1 M% A& x
6 O8 G6 C' z$ N+ M0 I8 u, i" }6 i

5 P; p& Q2 n1 K& H禁忌搜索算法的流程

禁忌搜索算法的流程如下：

# A7 L2 |# F- Y/ y3 f- w# m

0 w/ q; N) ^! h0 F4 \, R+ x
  r1 g5 r% p; G5 P9 I  O利用 Matlab 程序求得，我们的巡航时间大约在 41 小时左右，其中的一个巡航路径 如下图所示

! k6 `4 ]% d- V9 t# E8 M2 ~
5 N3 d/ n  @, d: @, z7 V  D; j6 C
3 B' }% d0 A  N2 N2.2 问题（2）的求解

对于这个问题，我们的基本想法是，先根据敌方基地的分布特点将敌方的基地大体 划分在三个区域之内，并使三架侦察机分别对这三个区域的敌军基地进行侦察，求取各 自的最短时间。然后对任务不均衡区域之中的点做适当调整。 我们解决问题的步骤如下：

, f! u8 N* ^  S, _" s

6 c6 t( s7 b; L4 f* r/ K5 }' r4 S————————————————
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8 x+ k. z9 [- [) G: u1 l; K