组合优化算法-现代优化算法(三）：禁忌搜索算法

浅夏110

1 禁忌搜索算法的相关概念
. ^& u; U. s! G3 D9 O# s7 d7 D3 ?禁忌搜索算法是组合优化算法的一种，是局部搜索算法的扩展。禁忌搜索算法是人 工智能在组合优化算法中的一个成功应用。禁忌搜索算法的特点是采用了禁忌技术。所 谓禁忌就是禁止重复前面的工作。禁忌搜索算法用一个禁忌表记录下已经到达过的局部最优点，在下一次搜索中，利用禁忌表中的信息不再或有选择地搜索这些点。 禁忌搜索算法实现的技术问题是算法的关键。禁忌搜索算法涉及侯选集合、禁忌 对象、评价函数、特赦规则、记忆频率信息等概念。
' ?/ j" t. T. ~6 y0 Q. g
（1）邻域
在组合优化中，距离的概念通常不再适用，但是在一点附近搜索另一个下降的点仍 然是组合优化数值求解的基本思想。因此，需要重新定义邻域的概念。

* S1 d# Z6 T: p+ @+ f

/ D( z, M9 ?9 D! y; N! ^' T- ~
% \: [. ^- {. F" d: C, _7 L: G- N6 U（2）侯选集合
. T+ O/ X+ n& @$ I2 h$ u侯选集合由邻域中的邻居组成。常规的方法是从邻域中选择若干个目标值或评价 值最佳的邻居入选。

（3）禁忌对象和禁忌长度
5 O. ^" \# j% ]0 D3 g4 W禁忌表中的两个主要指标是禁忌对象和禁忌长度。禁忌算法中，由于我们要避免 一些操作的重复进行，就要将一些元素放到禁忌表中以禁止对这些元素进行操作，这些元素就是我们指的禁忌对象。禁忌长度是被禁对象不允许选取的迭代次数。一般是给被禁对象 x 一个数（禁忌长度） t ，要求对象 x 在 t 步迭代内被禁，在禁忌表中采用 tabu(x) = t 记忆，每迭代一步，该项指标做运算 tabu(x) = t −1，直到 tabu(x) = 0时 解禁。于是，我们可将所有元素分成两类，被禁元素和自由元素。禁忌长度t 的选取可以有多种方法，例如t = 常数，或t = [  ]，其中 n 为邻域中邻居的个数；这种规则容易在算法中实现。

/ t" ?' ^" y* @. o（4）评价函数
评价函数是侯选集合元素选取的一个评价公式，侯选集合的元素通过评价函数值 来选取。以目标函数作为评价函数是比较容易理解的。目标值是一个非常直观的指标， 但有时为了方便或易于计算，会采用其他函数来取代目标函数。

（5）特赦规则
在禁忌搜索算法的迭代过程中，会出现侯选集中的全部对象都被禁忌，或有一对 象被禁，但若解禁则其目标值将有非常大的下降情况。在这样的情况下，为了达到全局 最优，我们会让一些禁忌对象重新可选。这种方法称为特赦，相应的规则称为特赦规则。

  W3 o" M# Q1 F+ O5 R" R（6）记忆频率信息
$ Q9 E( v, \5 W! i6 t在计算的过程中，记忆一些信息对解决问题是有利的。如一个最好的目标值出现 的频率很高，这使我们有理由推测：现有参数的算法可能无法再得到更好的解。根据解 决问题的需要，我们可以记忆解集合、被禁对象组、目标值集合等的出现频率。 频率信息有助于进一步加强禁忌搜索的效率。我们可以根据频率信息动态控制禁 忌的长度。一个最佳的目标值出现的频率很高，有理由终止计算而将此值认为是最优值。
. c$ i7 P, O# u' p' M7 |
2 模型及求解
我们用禁忌搜索算法研究如下的两个问题：

2 J% G6 x. z% {（1）研究 1.2 中同样的问题。

4 s4 F7 z# c5 h, b" u1 x: W
0 L$ c; @. M6 n5 A9 D



2 @4 ~( C& N0 D; b9 e+ V/ ]我方有一个基地，经度和纬度为（70,40）。假设我方飞机的速度为 1000 公里/小时。 我方派一架飞机从基地出发，侦察完敌方所有目标，再返回原来的基地。在敌方每一目 标点的侦察时间不计，求该架飞机所花费的时间（假设我方飞机巡航时间可以充分长）。
4 V# M0 q1 O+ C# p

, G8 d8 L# x/ c  K
（2）我方有三个基地，经度、纬度分别为（70,40），（72,45），（68,48）。假设我方 所有无人侦察机的速度都为 1000 公里/小时。三个基地各派出一架飞机侦察敌方目标， 怎样划分任务，才能使时间最短，且任务比较均衡。

2.1 问题（1）的求解
" W' {1 Q: X# L$ j# v7 e" x6 q求解的禁忌搜索算法描述如下： （1）解空间
; f; J+ ^8 ~' ?" _- s
/ F8 ~+ K0 Z" x6 P3 T' _/ n" p5 s

（2）目标函数

目标函数为侦察所有目标的路径长度。我们要求

# T! }1 I7 c% e" I5 ~3 y. X
5 k/ k5 S9 z) A! Q" ?+ E（3）候选集合


' G2 ], ?' L/ n# w& x
8 w. L6 s, X( i/ Q  M5 i

如果要考虑当前解的全部二邻域（或三邻域）的邻居，将面临着太大的工作量。 因此我们用随机选取的方法每次选取50个邻居组成的集合作为侯选集合。而将省下的 时间作更多次搜索，这样做同样可以保证较高的精确度，同时可以大大提高算法的效率。

（4）禁忌长度及禁忌对象

7 [% m; d/ j1 W. H
我们把禁忌表设计成一个循环队列，初始化禁忌表 H = Φ 。从候选集合C 中选出 一个向量 x ，如果 x ∉ H ，并且 H 不满，则把向量 x 添加到禁忌表中；如果 H 已满， 则最早进入禁忌表的向量出列，向量 x 进入到出列的位置。

: g" L5 G! |# ~1 k( _' C( w（5）评价函数

( I# J3 A1 I3 n  G0 \4 g  Y6 c  ]可以用目标函数作为评价函数，但是这样每选取一个新的路径都得去计算总时间， 计算量比较大。对于上述二邻域中的邻居作为侯选集合，每一个新路径中只有两条边发 生了变化，因此将目标函数的差值作为评价函数可以极大地提高算法的效率。评价函数 取为
! u$ g/ J3 L7 n/ {6 \+ U
" o8 @* e5 M9 N, _  N9 `: l

) J7 B) {& R& {! E% R$ m5 _" ^禁忌搜索算法的流程

禁忌搜索算法的流程如下：

1 O8 q% g& Z! }; d) q1 b. g

& |1 y# v+ a' T9 V, X" E
- i; l, T8 h2 Z% i# p0 X) M, {* X
利用 Matlab 程序求得，我们的巡航时间大约在 41 小时左右，其中的一个巡航路径 如下图所示

: ]% v3 E- S. X2 s# {" q
( R' v7 w( [) Z* k! N( i
2.2 问题（2）的求解

对于这个问题，我们的基本想法是，先根据敌方基地的分布特点将敌方的基地大体 划分在三个区域之内，并使三架侦察机分别对这三个区域的敌军基地进行侦察，求取各 自的最短时间。然后对任务不均衡区域之中的点做适当调整。 我们解决问题的步骤如下：

% W/ Q" _7 Y) U+ M/ a( E' X
# `: }$ T, y7 l; M% F1 F, O: t& p

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