模糊聚类分析方法

浅夏110

在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲 疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质 对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像 识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观 事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分， 边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。

1 预备知识
4 |0 E: o. j/ p# Z1.1 模糊等价矩阵
& g: T" J# n, f" V% m0 v( e( Y
( C' v1 \. s# n; V( u7 m* r
; ]* s. g6 Y/ y* }
* e  _6 r+ C# e# p, j  j
n 阶等价布尔矩阵
) [0 ]# ]' f9 a' H3 b$ a/ W/ Q5 J  k
& K6 f- E* Q0 V& x9 \. k0 W* ]& U

! P  O  h* r  N2 f4 r模糊分类
" {& e' C# ]; }& j
4 T/ h; b3 u6 k( q1 {
) R) h. R0 j- i$ j' i% F5 Q9 _& x$ h
' J/ Y: W8 Y9 q) r( y" H

% I9 d8 B" l* B2 E, [+ o) l


# T. a6 N) H+ i6 U5 @) S
6 V% G9 ]' m& W' i3 ]
1.2 模糊相似矩阵

% G- K4 ^- ?! [$ `% m

9 Y" @) J4 ?) y

9 d( N& j4 A2 Y

, W4 k; c6 k. B7 O2 x) x- e$ q. n
2 模糊聚类分析法的基本步骤
Step1: 数据标准化

" i* P* M% T7 k) T* _; I- Z3 S(1) 获取数据

* K% r' B) U  e' T: ]; F: O- R

) Z- B  E* I9 K6 H* v( G. n(2) 数据的标准化处理
( v% d/ S+ [" R3 ]6 H在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够 适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵 A 作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：
/ l# U$ ~4 d. Y0 W
① 平移—标准差变换



② 平移—极差变换
2 F4 U% k7 w5 i. L+ S" i, k
9 u& Y9 h  T9 N% t8 t$ M0 N5 x

8 \1 G0 M' B) c4 T3 Q7 GStep2: 建立模糊相似矩阵
# e& m, e! ?0 e3 k. ~0 H
( @2 z, b# ], D
6 h, n/ u0 ]% m5 i3 W% ?3 V
7 l. z4 W8 L4 ]2 J* i6 ^; Q' p9 V(1) 数量积法



6 I/ U; V! ~6 ?  H* B+ y) l
- [* k0 f7 _/ e: f" x- \$ Y(2) 夹角余弦法
- ^1 ~) F; e6 z7 ^" k
) n, r% s3 B. W, W3 B

) o$ Y8 n0 Y* a3 C. Y# l(3) 相关系数法
( v+ e, |+ S) K, b5 p, n( Q  ]


(4) 指数相似系数法

: ?$ Y' P) V+ O- @: M1 e, ^1 m

: f/ y3 Q6 \3 j! k$ n  I(5) 最大最小值法
                  式中 ∧ 为取小运算min，∨ 代表取大运算max
/ u8 U; w* D! _3 g0 |

1 `% R' b1 P( j( a1 d8 d; X
(6) 算术平均值法
* p6 V! [7 W3 J% N; s: x% S

# J7 g# j: @" ]. F& a' d5 ~
(7) 几何平均值法
7 i' V1 }$ F, i# t" l, o


(8) 绝对值倒数法


* u/ M  w' k/ {+ e9 S
5 [/ ]6 T5 |$ G& i( j% M7 U(9) 绝对值指数法

; o  a- p' R1 T, l8 J* u+ Z  P. Q

(10) 海明距离法



  n" p5 [; m/ V' J& C% n( }(11) 欧氏距离法
5 M, M; F7 O( Q) I% O" `
5 `3 K- ^1 S0 A# E. X9 k3 v
9 q0 N; H' C. t
(12) 切比雪夫距离法
* a3 s& I6 U0 [( ?

- x; Q4 B( O  k7 g- p% i
. J4 v* K  g6 _9 j(13) 主观评分法
1 l. X& z2 r, y/ N: d  [# ~0 f

0 N2 j! C" p/ Z0 B( G% f
+ [; Y5 i1 ^: C- r5 y$ o2 `Step3: 聚类
1 O- c$ A# B3 B* E1 `( t# n2 |所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信 水平λ ∈[0,1]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：

(1) 传递闭包法
从 Step2 中求出的模糊相似矩阵 R 出发，来构造一个模糊等价矩阵  。其方法就 是用平方法求出 R 的传递闭包t(R) ，则  t(R) =  ；然后，由大到小取一组λ ∈[0,1] ， 确定相应的λ 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。

(2) 布尔矩阵法

/ S: R7 }  a5 Z5 z# Q  z& n
! |0 B) p) u/ \' f# z- }
3 _" T  C1 ~/ c& \9 u' v

8 _; B; b# Y+ F- j% K(3) 直接聚类法
* O6 I0 R) J* P" i$ y. y/ c此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：
# h5 Z  B# [5 s


; `) t- F# k. h3 模糊聚类分析应用案例
4 X& q; U% x7 h8 B8 {. D例 15 某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。 为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量 信息仍然足够大？

. o0 D, ]3 ^5 q% V
; X$ l* e5 e# Z. ~6 q4 n


1 k# L& k7 ]+ s6 Y" _解 我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年 的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则 该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所 含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极 大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。
' \; e5 O* e" U) p+ V1 H& c


到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数 据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的 向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉 几个观测站。

（1）建立模糊集合
' B3 D# Z6 `  K9 d% |( g3 H

3 x/ c! M* F5 p5 R6 A



（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵
- ?/ G# }( n2 G" X9 o! `

8 D/ ^) l& J. y
$ \7 J" x& i$ c（3）求 R 的传递闭包



# r" z6 \; {0 V其余观测站属于中间水平。
) B4 h/ ^2 H* z6 ]$ h- v' O& D& R
（4）选择保留观测站的准则
显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测 站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为 4 类，且第 4 类只含有一个观测站，因此，我们从前 3 类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：

2 T3 {! s8 @; _3 V" C
* R$ U9 q0 h5 l- Q2 E6 x, ^

  z4 b- _' d5 Y


2 h9 g# W& E* P8 X; A9 [. L+ \（5）求解的 MATLAB 程序如下：
, t5 ?' N, i: C) ]: Y, ~& c
i）求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序
/ \) i- p  H7 s
, |/ T9 ~/ ~0 L- Ka=[276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2
8 C  f; a6 w4 l$ C6 S251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1
# ]* ^6 y  h$ i' L192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2
246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0
6 s& n7 d2 D1 M/ b291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1
) v5 e* S& B- `# b9 u" X/ F6 C. `466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7
258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6
2 M8 x; g' A9 d6 n- B$ R! t453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2
  S4 }+ W/ A! t! ~158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7
324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1];
mu=mean(a),sigma=std(a)
: y" j# _% O6 Y0 T: `) _/ Vfor i=1:12
    for j=1:12
. B! L2 I* N- j$ B" Z+ i        r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))^2/(sigma(i)+sigma(j))^2);
' s. B6 A' ~5 @0 C$ j* Z- c+ L    end
- i+ z4 ?) {- x, M( j7 ?end
r
save data1 r a
6 C! B6 G, m$ o$ ?( h# ^2 A
+ M/ r( e6 J% y5 Q8 p: Aii）矩阵合成的 MATLAB 函数

% E" Q# c* k- b( v  ], Cfunction rhat=hecheng(r);
n=length(r);
for i=1:n
    for j=1:n
" g+ L& {! u, D! y4 ~' Y        rhat(i,j)=max(min([r(i,;r(:,j)']));
    end
+ v* c6 ~4 k8 W# Y3 i+ Dend

iii）求模糊等价矩阵和聚类的程序
  A: |" ]/ ]% e+ C
load data1
r1=hecheng(r)
r2=hecheng(r1)
r3=hecheng(r2)
bh=zeros(12);
bh(find(r2>0.998))=1

iv)计算表6的程序  编写计算误差平方和的函数如下：
6 ^" y. z) E3 [6 N4 o: q
5 ^) n6 Y) z- q6 Ffunction err=wucha(a,t);
b=a;b(:,t)=[];
mu1=mean(a,2);mu2=mean(b,2);
err=sum((mu1-mu2).^2);

' L/ H* N; t# p0 w2 ~
计算28个方案的主程序如下：

load data1
ind1=[1,5];ind2=[2:3,6,8:11];ind3=[4,7];
so=[];
for i=1:length(ind1)
    for j=1:length(ind3)
        for k=1:length(ind2)
) Q: N* R9 I0 _% ]; L            t=[ind1(i),ind3(j),ind2(k)];
            err=wucha(a,t);
            so=[so;[t,err]];
        end
    end
end
so
/ Y) k3 |1 Q7 _0 Jtm=find(so(:,4)==min(so(:,4)));
shanchu=so(tm,1:3)



3 |4 ]# `7 G7 i, h& L————————————————
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% W4 g  m& K! `. q
0 }; r; o! U* ]) Q$ T: P: I