模糊聚类分析方法

浅夏110

在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲 疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质 对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像 识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观 事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分， 边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。
. {( n3 r- v# O
) _. S/ F' n  V' k2 X* B3 q- r; o1 预备知识
1.1 模糊等价矩阵
' `, H% |1 p/ f3 D$ I. e4 p. e- a- M
' @9 T. i1 N7 w8 u* g
! h; ?4 O% e/ M! i4 S

n 阶等价布尔矩阵
! Z/ C. I3 p* d4 H
6 p0 }+ R: h+ y- W( x& U
+ r" @0 S7 a9 K8 q
模糊分类

' T; g& m2 y' ^) P7 Q
  h  W# G3 p4 Q! m, S
: h* U& j( G) w# j; P* [; a' k




4 {/ i! b( P8 i5 f

1.2 模糊相似矩阵
3 E' H) V, s6 y5 z3 h/ }" H

; d+ j' q4 r4 v3 S; B


7 u3 `$ K; W8 E# _) s/ J% C
# Y: T  C; y* w
7 x- z! r9 K+ ]1 a; y$ X
6 w3 L0 a* A0 i; L6 [2 模糊聚类分析法的基本步骤
Step1: 数据标准化
' j, K) a" u0 Z- R/ U
# i' [9 x0 a0 A! `) _- Q(1) 获取数据


* c4 v" M3 g/ y0 J% u
(2) 数据的标准化处理
在实际问题中，不同的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够 适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵 A 作标准化处理，即通过适当的数据变换，将其转化为模糊矩阵。常用的方法有以下两种：

① 平移—标准差变换
% w0 j+ X  [, R! H# |" X
6 e% `9 @( U+ U7 h% T
# J9 x9 t- B& c8 R8 w
② 平移—极差变换


1 d+ l% {+ a- G7 I5 e
/ v; i  e' V9 E1 k2 T4 g7 ]Step2: 建立模糊相似矩阵
+ P' {- d4 |  t9 b5 g6 C
2 \, W1 {! {4 c- V+ i6 T5 j
$ c+ c4 ^4 v  [6 J' Y
% j+ L9 C+ b* i8 P3 e' o( ~(1) 数量积法

: f4 L- h/ C5 @- m$ ~6 _
" ?8 y. e) `0 k) p% ?! @
6 \5 z* a3 I8 m; V
(2) 夹角余弦法
7 d! T/ `3 {- i+ i- F6 a% ?6 I0 P
* a0 _' `& W( s! J5 s

! ~8 K1 t( W6 T: i( C- U(3) 相关系数法
  H# B. X4 x2 A( a/ s5 o5 N6 C
2 {" U. S1 i7 N: ~( `3 b; S5 V

(4) 指数相似系数法

2 ^* {* A* B4 d- e* _. _5 o

: i2 \& x/ H+ h! R(5) 最大最小值法
                  式中 ∧ 为取小运算min，∨ 代表取大运算max
. p) o6 G5 t5 b0 j9 q$ X

! ^& P) D8 r4 r9 t4 h. a
, O/ z5 R0 ?- W(6) 算术平均值法



(7) 几何平均值法



(8) 绝对值倒数法
0 N, `$ H- s3 c1 T* C
$ d) V& L- N" T  ~0 z# M

(9) 绝对值指数法
0 h. g2 J5 P' f- p

' P5 a" U. U. L# k
(10) 海明距离法


5 P" H" o" d& b$ c7 H
(11) 欧氏距离法
% {, {" y( P  e% {

0 \6 o! o! S* @1 L; |; ]
; ~. t* V" \% \4 A% V/ b6 L(12) 切比雪夫距离法
1 j3 v' M- K/ d
8 M( m- l& s9 \( x! S8 R

* F3 S- V7 U' [) H7 z8 g9 D5 i(13) 主观评分法



Step3: 聚类
所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信 水平λ ∈[0,1]，可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如下：

) Y$ z! X5 x/ t4 ?(1) 传递闭包法
" D3 z. E  ^! `6 P2 I/ a8 [从 Step2 中求出的模糊相似矩阵 R 出发，来构造一个模糊等价矩阵  。其方法就 是用平方法求出 R 的传递闭包t(R) ，则  t(R) =  ；然后，由大到小取一组λ ∈[0,1] ， 确定相应的λ 截矩阵，则可以将其分类，同时也可以构成动态聚类图。
1 f7 N8 Z6 H  F% i6 u
7 ]3 ?( M. V% x, J: y% v, i. H( s(2) 布尔矩阵法
) O7 \2 ^  _8 O: j& J3 z% N
" \1 r5 }' W/ ^8 q) V
- ~* y/ c5 ]0 G/ e" D

. L& z) }9 ?- D6 Z2 g( H
& d: G$ ^, R+ R. K9 f  E, i(3) 直接聚类法
/ W" K% t2 j+ K: g此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具体步骤如下：


/ }* D7 I0 g, J- t$ ^( @6 Z. ~
3 模糊聚类分析应用案例
例 15 某地区内有 12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表 3 所示。 为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量 信息仍然足够大？
$ M/ H- \0 Z2 L7 x# @




解 我们把 12 个气象观测站的观测值看成 12 个向量组，由于本题只给出了 10 年 的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则 该向量组必然线性相关。于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所 含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。由于向量组中的其余向量都可由极 大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。
  p4 l$ u4 b; Q# `) I
7 ~; [8 m! ^' {, s2 F2 [
& |! ^: a- \7 |* p" k7 y) U
到目前为止，问题似乎已经完全解决了，可其实不然，因为如果上述观测站的数 据不是 10 年，而是超过 12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的 向量组未必线性相关。故上述的解法不具有一般性，下面我们考虑一般的解法，首先， 我们利用已有的 12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉 几个观测站。
, ~! {( H# _& j  _* ]% y
4 b/ s# u% \& T& t; n% [5 Z9 [（1）建立模糊集合
& Q+ r2 M3 \( q# H0 |
. q: ]8 d* d* ^, a) `
' p5 P7 [  @* H/ U
  A# C6 V) h) a+ Z' y

( [  x9 F. q4 d1 ~; L6 \
（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵
$ w0 Y$ c+ y4 Q8 F
4 O' m  W2 }  _5 Y
! p6 c* y( Y. T6 m- |6 P
- K! t% f$ N. t- \7 L) z; d, |（3）求 R 的传递闭包
) A" b3 G4 ^9 e+ D1 ]) k
  f4 D3 `5 Y# |) h
+ Y& t& y7 n9 C
) l2 F  W. J1 {2 n3 z1 O其余观测站属于中间水平。
: \6 N% ~1 X6 r) X
（4）选择保留观测站的准则
, N( u& y5 U. @( P- _显然，去掉的观测站越少，则保留的信息量越大。为此，我们考虑在去掉的观测 站数目确定的条件下，使得信息量最大的准则。由于该地区的观测站分为 4 类，且第 4 类只含有一个观测站，因此，我们从前 3 类中各去掉一个观测站，我们的准则如下：


0 [9 F% J9 d- c
# ]  Q( o6 U: B! f9 L3 \+ M


; N! e" Z" n4 J2 J0 W
+ a2 p8 \0 Y1 H  ~2 n（5）求解的 MATLAB 程序如下：
# q. ]: }/ ^7 v
i）求模糊相似矩阵的 MATLAB 程序
# f; D  f& F+ A/ A/ }  I
5 g- H0 Z% V) e/ u: I9 ~a=[276.2 324.5 158.6 412.5 292.8 258.4 334.1 303.2 292.9 243.2 159.7 331.2
251.5 287.3 349.5 297.4 227.8 453.6 321.5 451.0 466.2 307.5 421.1 455.1
192.7 433.2 289.9 366.3 466.2 239.1 357.4 219.7 245.7 411.1 357.0 353.2
246.2 232.4 243.7 372.5 460.4 158.9 298.7 314.5 256.6 327.0 296.5 423.0
291.7 311.0 502.4 254.0 245.6 324.8 401.0 266.5 251.3 289.9 255.4 362.1
& E+ r! D7 N& w* I# z466.5 158.9 223.5 425.1 251.4 321.0 315.4 317.4 246.2 277.5 304.2 410.7
258.6 327.4 432.1 403.9 256.6 282.9 389.7 413.2 466.5 199.3 282.1 387.6
* n1 L5 v! a) F: _: P( G453.4 365.5 357.6 258.1 278.8 467.2 355.2 228.5 453.6 315.6 456.3 407.2
& Z4 f. Y- @1 s/ \% |158.2 271.0 410.2 344.2 250.0 360.7 376.4 179.4 159.2 342.4 331.2 377.7
324.8 406.5 235.7 288.8 192.6 284.9 290.5 343.7 283.4 281.2 243.7 411.1];
mu=mean(a),sigma=std(a)
$ y, N# @; T2 k- s& }for i=1:12
/ A2 U* ]' o6 f7 T8 ?    for j=1:12
; m  c1 F% i7 u        r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))^2/(sigma(i)+sigma(j))^2);
    end
end
- W: u4 I0 D5 z+ q- d- Dr
" s! K8 b, Z, d; s. W9 H* Hsave data1 r a

ii）矩阵合成的 MATLAB 函数
! J, [* G+ z- W. l) t7 s6 p$ t' S
function rhat=hecheng(r);
6 s9 D, t, V1 F' |- {9 Z: u3 In=length(r);
for i=1:n
    for j=1:n
! t$ k9 J) h( S8 u        rhat(i,j)=max(min([r(i,;r(:,j)']));
    end
, C; W. P& |- w/ j7 o: g% E- S8 w) \end

iii）求模糊等价矩阵和聚类的程序

; Z* W6 m, K+ ^* E# Xload data1
r1=hecheng(r)
2 N( G" S, {1 t- s0 Y5 I. s) Wr2=hecheng(r1)
( L, J3 S) p  a6 E$ ?, xr3=hecheng(r2)
bh=zeros(12);
bh(find(r2>0.998))=1
' }- M4 b( E1 Y
# w( e4 y6 n! z3 _( `- Siv)计算表6的程序  编写计算误差平方和的函数如下：

function err=wucha(a,t);
b=a;b(:,t)=[];
mu1=mean(a,2);mu2=mean(b,2);
err=sum((mu1-mu2).^2);


7 X6 s6 w! _+ D/ Z+ A/ E6 |计算28个方案的主程序如下：
  W$ y" m+ c3 U; f1 l0 r: t
6 L- G& G" |2 _load data1
ind1=[1,5];ind2=[2:3,6,8:11];ind3=[4,7];
so=[];
for i=1:length(ind1)
1 Y$ k+ @0 E1 y! c/ L    for j=1:length(ind3)
        for k=1:length(ind2)
            t=[ind1(i),ind3(j),ind2(k)];
0 Q8 b9 E+ s# u% C3 x            err=wucha(a,t);
            so=[so;[t,err]];
        end
    end
/ H4 r3 k2 u0 Jend
3 A0 w! W5 @: M: l+ i9 R+ rso
tm=find(so(:,4)==min(so(:,4)));
shanchu=so(tm,1:3)
& n5 t" q/ _& Z1 D7 K) S2 A$ S1 Y) b
7 T7 _; Q6 X8 p

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9 `( N& l4 c5 }3 m- ^
  v0 o- k$ T% {
: c$ b+ ]( G% z3 b, H. [