灰色系统理论及其应用 (七) ：道路交通事故灰色 Verhulst 预测模型

浅夏110

灰色预测是通过原始数据的处理和灰色模型的建立，发现和掌握系统发展规律，对 系统的未来状态作出科学的定量预测。目前应用较多的灰色预测模型是 GM(1,1)模型、 灰色马尔可夫预测模型等，可用于预测交通事故发生次数、死亡人数、受伤人数和财产 损失等指标。GM(1,1)模型适用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程。但是道路交通系统是一个动态的时变系统，道路交通事故作为道路系统的行为特征量， 具有一定的随机波动性，它的发展呈现某种变化趋势的非平稳随机过程，因此可建立交 通事故灰色马尔可夫预测模型，以提高预测精度。但灰色马尔可夫预测模型的应用难点 是如何进行状态划分，故对于非单调的摆动发展序列或具有饱和状态的 S 形序列， Verhulst 模型，GM(2,1)模型等更适用。
$ y' w- n! D( m8 u) }9 Q; u/ L
9 L' K1 Z+ s& lVerhulst 模型主要用来描述具有饱和状态的过程， 即 S 形过程，常用于人口预测、生物生长、繁殖预测及产品经济寿命预测等。今年来 中国道路交通事故表现为具有饱和状态的 S 形过程，故可采用 Verhulst 模型对其进行预 测。
2 H  K: {1 L. U) U5 Q. L. m4 [
6 L0 E5 Y6 |' t  l  u0 l1 Verhulst 模型简介
Verhulst 模型的基本原理和计算方法简介图下
" i' `0 I8 p% {5 r% E* U1 @

5 o# \/ P: Z8 ], z4 Q
* o; ~1 a, q9 x+ L( Y+ O  u参数列的最小二乘估计
8 `, S8 {$ R" l) E

2 L6 _, P+ C  U- @; F5 y

  z7 W4 }1 j8 s 定理 2       设灰色 Verhulst 模型如上所述，则白化方程的解（时间响应函数）为

) n. c" M+ y' J

# D# p8 A6 v: A. U4 ~灰色 Verhulst 模型的时间响应序列为
$ B: W& M- r: c* }
( T+ M1 ~% f1 Y( I! z& G$ Y! O
4 {6 u) z0 _& q# b, U( ?4 @
累减还原式为
; E3 l9 k6 O: d/ v

# [2 s/ }$ Y1 y- i0 l
2 道路交通事故 Verhulst 预测模型



1990～2003 年中国道路交通事故死亡人数曲线见图 2，可见曲线呈 S 形，故可建立 Verhulst 模型进行预测，其建模过程如下。
- {; R3 }1 N. Z9 B: w

/ U& `. t7 w( n2 i  D3 P



0 d" D- Z: a( J5 |. W2 c6 F
) m+ E7 @6 R, z% l
0 H9 O  ~% N, _, g, M
（7）模型精度检验。

一个灰色模型要经过检验才能判定其是否合理。只有通过检 验的模型才能用来进行预测。检验方法有以下几种。

' g* O5 A/ H) \7 ?① 残差合格模型

# r) m( c3 Z3 {; B0 z% g

2 l: B2 v4 m4 |4 B! O- |

② 关联度合格模型
9 I4 L; _" R( @/ Q


* z6 K" x6 a4 w0 ?3 L$ f ③ 均方差比合格模型
9 |" x; Q1 \! G0 ~
1 J8 k* s0 U7 f' J: g/ w
+ ^' f! V% j1 t
" Z& z- I) E2 s5 K# E) e$ }④ 小误差概率合格模型



* l& D, o% L9 C  S: [$ B由上可知，给定一组取值，就确定了检验模型精度的一个等级。常用的精度等级见 表 15，可供检验模型参考。一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。
) {+ Z8 ]& J( s! D/ p4 y7 }

+ p* m2 s% h# z1 w  W  y5 O& _; Q. a
由以上检验方法，可得 1990～2003 年中国道路交通事故死亡人数 Verhulst 模型误 差检验值见表 16。
3 L. p* b! e/ D$ P- O

! z2 n- g/ S& l; D( ^
0 M7 y( z8 L/ K9 Y: J. k
3 r! L1 T3 f7 M- }5 o# m
. |6 s6 g# g/ h5 g6 k计算的 MATLAB 程序如下：
4 r6 k3 l& b; C7 e/ l! n1 r2 h, w
+ x* V' R6 U& i2 a" c4 g) Tclc,clear
x1=[4.93 5.33 5.87 6.35 6.63 7.15 7.37 7.39 7.81 8.35
9.39 10.59 10.94 10.44];
5 f  s. K- @4 P2 V5 bn=length(x1);
nian=1990:2003;
+ f. ^; B0 w! _- Wplot(nian,x1,'o-');
. ~# i8 T* t% ~" S7 K% Mx0=diff(x1);
x0=[x1(1),x0]
for i=2:n
" l. ?2 |! ]) N    z1(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));
; S* c: U1 v7 H2 nend
5 T- x& G9 h+ l/ K% Jz1
B=[-z1(2:end)',z1(2:end)'.^2]
Y=x0(2:end)'
  l) }: @( y0 i8 k* Y2 iabhat=B\Y %估计参数 a,b 的值
x=dsolve('Dx+a*x=b*x^2','x(0)=x0'); %求解常微分方程
. W4 p6 i# z; P7 @, T% L3 O9 R" f2 Y$ Nx=subs(x,{'a','b','x0'},{abhat(1),abhat(2),x1(1)}); %代入参数值
! g. c9 o/ O4 o0 ~0 I. t4 Jyuce=subs(x,'t',0:14) %计算预测值
4 o  w" ~: Z/ J; o- Vdigits(6); x=vpa(x) %显示微分方程的解，为了提高计算精度，把该语句放在计算预测值之后，或者不使用该语句
yuce(16)=yuce(15);
, E1 D7 x: t9 L% {) {, _x1_all=[x1,9.92,10.71];
epsilon=x1_all-yuce %计算残差
delta=abs(epsilon./x1_all) %计算相对误差
delta_mean=mean(delta) %计算平均相对误差
x1_all_0=x1_all-x1_all(1); %数据列的始点零化像
yuce_0=yuce-yuce(1); %数据列的始点零化像
) b6 ^/ Z3 L+ Q5 ?0 }% }1 p. _s0=abs(sum(x1_all_0(1:end-1))+0.5*x1_all_0(end));
  ?! G. \8 A* O/ S0 @+ r5 [, Zs1=abs(sum(yuce_0(1:end-1))+0.5*yuce_0(end));
1 _; Z5 I& k; i/ utt=yuce_0-x1_all_0;
; w4 i1 `3 X5 d+ k4 t8 ^2 k% t) Ts1_s0=abs(sum(tt(1:end-1))+0.5*tt(end));
absdegree=(1+s0+s1)/(1+s0+s1+s1_s0) %计算灰色绝对关联度
& o3 p: `0 H1 W2 a, @; }c=std(epsilon,1)/std(x1_all,1) %计算标准差比值

, y7 {% f& V4 p1 ?  {( B4 H3 预测结果比较
  S& [0 U) w# V; T' s

; W6 _5 T$ E3 b8 m' h
3 l, S7 N% t8 @4 j4 D  Q
比较表 16 和表 17 可知，Verhulst 模型预测精度与 GM(1,1)模型几乎没有差别。 计算的 MATLAB 程序如下：
: g0 \& ]; D6 d+ c3 }: M! ?
( I, }: y- r3 T' M6 Tclc,clear
# l9 z6 h9 b2 Qx1=[4.93 5.33 5.87 6.35 6.63 7.15 7.37 7.39 7.81 8.35
9.39 10.59 10.94 10.44];
) [1 h5 d, L7 Yn=length(x1);
x0=diff(x1);
- ]( r0 s- k  {+ r  y& _x0=[x1(1),x0]
- X+ n* \: T* |for i=2:n
    z1(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));
end
3 T8 e3 d$ x4 t$ SB=[-z1(2:end)',ones(n-1,1)];
Y=x0(2:end)';
2 H4 Z" k$ L0 ]1 v& v) ^abhat=B\Y %估计参数 a,b 的值
* r; |$ A) m# B0 e0 s- ^! K( sx=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');
x=subs(x,{'a','b','x0'},{abhat(1),abhat(2),x1(1)});
$ \8 l- k" w$ w4 Tyuce=subs(x,'t',0:14) %计算预测值
digits(6); x=vpa(x) %显示微分方程的解，为了提高计算精度，把该语句放在计算预测
值之后，或者不使用该语句
0 q) k7 r$ q6 a  Hyuce(16)=yuce(15);
# o, V) k$ J+ N  A5 C5 [' ~x1_all=[x1,9.92,10.71];
epsilon=x1_all-yuce %计算残差
1 [/ ^: o% J; [! i' Pdelta=abs(epsilon./x1_all) %计算相对误差
delta_mean=mean(delta) %计算平均相对误差
' j. C! B& s* _  @8 S; R. q3 ?3 i# Bx1_all_0=x1_all-x1_all(1); %数据列的始点零化像
yuce_0=yuce-yuce(1); %数据列的始点零化像
s0=abs(sum(x1_all_0(1:end-1))+0.5*x1_all_0(end));
s1=abs(sum(yuce_0(1:end-1))+0.5*yuce_0(end));
tt=yuce_0-x1_all_0;
) E' n3 z" a3 e& A' `s1_s0=abs(sum(tt(1:end-1))+0.5*tt(end));
) X/ \3 W) h, Fabsdegree=(1+s0+s1)/(1+s0+s1+s1_s0) %计算灰色绝对关联度
7 O6 U& S1 v) r5 O+ z% T# S  Kc=std(epsilon,1)/std(x1_all,1) %计算标准差比值
9 Y; D% e) M. d
5 r$ d2 ?9 N7 m. B7 w! }1 q 4 结语
道路交通安全系统是一个灰色系统，可以应用灰色系统理论进行研究和分析，其中 灰色预测模型和方法简便易用，在交通事故预测中得到了较多应用。GM(1,1)模型适用 于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程，而 Verhulst 模型则适用于非单 调的摆动发展序列或具有饱和状态的 S 形序列。
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