数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
, K4 t5 @# W9 d4 _; B' I% E7 |
1 I& H* h3 y) j; A; T+ x6 _9 k本题主要使用微分方程进行建模。

（一）梳理题目
6 d" d' p0 ~4 G; v% E/ I
. J' G: b; C) N& M
! W# d3 s6 p) d9 ^
* n8 u) z, w& Q7 h


（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
" |' H/ ], n, [7 z拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。


& s( T, N2 m" K, s# n
e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
3 O* X1 e6 ~" W+ Z$ l9 D

4 x2 d5 H, C; `
) r/ l, U& J% h( N3 M5 t
2 ~: i" e8 K2 v7 F如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
; _2 e; Q+ f6 a


+ D& Z4 t' l( `/ A' }
论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
8 V3 r4 R9 Y# ~. F( U; \; y
（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。

3 h! o4 q% L0 Z+ j& Q* z


这6个关键变量的找出，是不容易的。
& L) w& d3 v6 ^


（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
: m& _$ p/ O' LSIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
/ q% x" L$ e# \/ _* K# _
* e$ l/ Z) \% j8 y  y! P

, _- l4 }- I1 O利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：

' i6 P. u1 l0 f, \1 R/ K2 R

,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
, W% A7 L7 d# n! g6 N其它数学公式论文中很清晰


$ x. H5 V5 H) Y( x' o0 w

（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。


, {; d- P5 T2 {% v# k  Z
4 L* E2 K4 S4 N) |


然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：

' I) `8 U( W: v! H; [
) _) t+ \/ @( p$ O* e: v
4 v" {5 l0 `6 O( E4 o9 t' X（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
) d% }& ]$ B; q' u4 n
9 v5 G4 O5 j, l) V+ Y( J) s

# W+ F0 n0 C% v0 i( c& {
$ o0 h+ r7 K6 [  M8 C: \, c
（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
! j: B- W( G" P1 ^6 T3 H, ~论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

平均传染期函数：

! x, r$ V5 ?* P6 P3 Q4 K) h$ j  Q" N

就诊率函数：

) b- g& E/ B" M

平均接触率函数：
  q2 C- N4 B6 Y$ B6 R7 D" F

% B- e$ ]% F* P" _; ]% I, S
" M# _# O8 ^- d6 v9 F# N模型预测效果图：

! M  O. O% w( c" `6 d( [

: ?1 _9 F! J3 ~, s. S————————————————
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