数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

0 z% ^; g3 R% H8 D  l$ T0 w0 |本题主要使用微分方程进行建模。

（一）梳理题目

1 }$ m  _; R- k" h

/ t  K9 w2 o) t9 E& p# k

' V( ~6 [( j2 `
6 ~2 P' K! E1 M' D, h3 a（二）Highlights which makes this paper stands out
' A" F0 B$ I* |' k# L. |! B2 \(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
; G3 e/ V) }( E* G7 |拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
# P. K. C/ i/ ?6 V
8 ?7 R9 V9 B$ E6 X# a% ?: f
9 T( s# E" |, |, W4 z5 d$ V+ E
8 g8 Y& W% U7 y6 j8 L. W5 d) de i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
& q5 k6 `* c. l" a* d标准化残差服从标准正态分布
% U5 H, y6 w7 |美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：




3 X% h  Y! V2 `" N$ |- A  e/ z; v如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢

3 c; l, @- B) ~5 t
7 b0 a1 `3 T0 x( }% a; V+ Q
7 N8 a. [8 o4 x: T, Q1 f' H
& _! S3 j. B/ D8 B论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

6 c/ I8 t7 w# o" h( P* E（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。

7 _* |: ^0 {5 j( W; L
3 Q3 H4 z8 L# G: k- c

这6个关键变量的找出，是不容易的。

/ U0 D' i. M1 _1 q# b/ l+ O
7 o1 {0 R9 G3 |0 l
4 ~$ N0 B% K' _: K; w0 L  D0 F（2）基于SIR模型建立新模型
; y& c* x; X6 R1 ?/ A! T  U# I基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。


" K5 y' X/ U5 m' r
0 f! D' ~8 f: G6 c) s利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：

/ i( i: n, E- @5 {7 m, ?: X% f

) N5 l. f0 A' l( Z" X* D,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰

0 C* G% O4 G5 x: r7 a. ]: {$ n7 x

7 [- _  T% q. B4 U. u6 Y0 g; ?+ E
/ H/ r8 K  O* U, t4 K. C' W# I, O3 ]（3）求解模型
/ L& G+ _9 P( I求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

% Y- ^" x6 L& q




) ~4 w8 N2 T& r0 Z6 W然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
9 S! E- b3 S0 x6 z
9 `% C# y/ f! ~) W. J  ^% B
" G2 z" ~, K* f9 O6 I
. ]$ p" A- a. w（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段


3 ~  i# A( o- R4 Z! f2 a* c

5 O& u& C0 k- \) c% q# G7 s
（5）根据实际设计三个关键函数
- \' A: @3 m6 y* ^+ l% Q4 l7 n这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
( G+ t3 L* o5 [9 n9 Y' w8 }/ F论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

3 u6 ?) R- g$ a2 Y& E* N9 W平均传染期函数：
. \" y- Z; V, u' b6 u% |3 H) b, |

& d, ]! V* A9 x& {. D9 @8 ]
6 [0 R% P/ b- }' z0 P, `就诊率函数：


  a. x$ u4 |% B( `3 _% Q' {! ?9 L
  B% V( a; L* j. C平均接触率函数：
" |: f. g3 [& C) I. j  z! P! y

/ m2 }0 r' u# E  \% t& b0 {
模型预测效果图：
0 k. _: F- [. f: O1 u
) \3 v. ~7 X- T- P( m9 D

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