数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

( L' ?7 `. P  x) J* Y9 Y本题主要使用微分方程进行建模。
  k8 u% E6 m4 u0 H
（一）梳理题目


1 {3 x1 ]* K6 ^) V: ^( m% W
; M6 _; a$ _5 j! x5 v0 u
0 ]) }* Y$ J' w+ ]

, @0 O2 `! C4 R0 r7 d( ]  P# V# G% ?" {（二）Highlights which makes this paper stands out
+ h2 |0 T$ b& x0 r: T  W" B+ W0 Z0 @(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
( G; V7 t/ C: v& U6 f: k, ^拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
1 J, V! ]( s2 G) K
; L& Q  U  y2 L$ V
7 w  s7 r5 q; G) }, Q
e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
: v0 W1 Y6 H8 u! I. X' d# Y标准化残差服从标准正态分布
" \7 u! W/ j# |- i美中不足的是！！！
+ f* y$ T6 D' a/ u没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
( m/ M4 s+ f& O6 W% b& s


, ]# p: t% k% V, Z$ Q- @" H) z
3 E0 G4 y  j9 O8 ?' ]1 r! g8 i如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢

3 l; x6 P$ [) f' Q7 v5 W

8 U: w1 O: Y, g/ P7 C
论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
/ i+ x  N6 O  o" N
（2）模型假设和符号定义
4 d3 _% q. l9 T8 T( u这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
* v+ M( g+ o/ }4 ?: b! s" a
$ M9 h' S8 k) n) L" ~
6 ?: U# H+ C/ g5 Q5 z; O0 r
5 Q  G+ j$ k0 M* I1 m: A4 J2 ^. R! ~
这6个关键变量的找出，是不容易的。


: q9 y9 V7 }- E, U, c) g6 D
（2）基于SIR模型建立新模型
0 e$ q4 Z$ G6 A基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。

7 l" l; u  f) c0 f) u, Z

利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
, p! y' U  ~8 [; X$ s, d6 [

9 \# N+ t# r% q  O
8 g8 h" O5 a3 ?& r,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰
( _6 X" u: O$ F" S5 z! ?6 B2 L
& f9 P  U% k1 x4 F/ w# l# b
( K  c! `' t. K5 q5 f0 V
' T1 e4 d! }4 }( m$ Y
% x: ~; Z0 j4 k& A5 M4 a（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

- n) o0 |" ^+ Z, @! f3 M
/ d7 F0 t( W9 |* `- \1 H
0 p9 t8 ]; w6 b  V0 i; j

- X0 ]! R0 m! b" [! q8 N* f' }* e
+ g% b8 B1 L+ ~" R( Z6 k然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
5 G' m0 u( T' E/ O& a

3 i/ K% c/ j+ J& t
' a# t, G$ x! ~( s4 B$ o+ a; V（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
) S+ `/ Z. _9 G
1 l/ H6 v8 h& o) ]

+ b! I( Y4 j0 }$ p# _# l7 W
  T4 L2 V7 S) A
# J1 u' t! L7 R* y2 j$ r5 [（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
5 F* v8 d- s1 d2 D
* \; |+ w. D! z/ Y( p0 O( s平均传染期函数：
* E( u1 S  t4 }7 Y# t. X. F3 V

6 N/ z9 l" [+ N+ G) R  Y  f
( h; {3 `9 A( q+ i就诊率函数：



平均接触率函数：
# H4 x. P1 o: ~* H1 L. ], i
: t! p2 u& }3 \. ~- {: O8 }

' [4 M! E  v7 H$ h9 _模型预测效果图：
5 |& L3 M" c8 c/ }
; Y4 o/ I5 ^9 R, i" |" U" R
3 q* t9 m. Y: s+ g/ @9 z
( \$ @4 s0 J6 B# B4 [, u( `/ B————————————————
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. q( Y/ q( G, m$ N. Z  M$ g