数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

  l% S5 l# o2 w, q8 P本题主要使用微分方程进行建模。
/ O4 y: p6 J, B0 F# g5 r. Y+ F) M
4 F' Q; k. E: f6 a# w& \3 w（一）梳理题目
+ J3 @" H( I' B& k5 d
* ?$ g% t2 I! E" ]( [
/ E: \4 W5 j  {, r

2 A) @4 c: i% ]- U$ {* w

; c% Q. |# y7 V9 Q; {& P  b（二）Highlights which makes this paper stands out
0 V5 R% _: ^9 b( ?) |(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
6 L9 Q5 K% E6 M# q1 `拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
$ P. d" s" }1 u$ c1 c6 t
" B' s* l2 u5 q$ z
- L6 r, F" d+ ?+ g% o2 u; H" L4 m
4 c4 n5 G2 B* u6 t1 _e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
2 s8 K1 N$ L- H1 b, V/ [& U美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：




如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
' P# k7 ^& i$ x4 A
6 t  K' i& p$ A4 b& r6 a
! C. Z7 Y" G+ Y- K( F( n  A! q
9 {* h; E) ?  R- w
论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
; X; I9 G  y5 A8 j
（2）模型假设和符号定义
, ?! \8 r& S( M4 k4 Z! q( x" L& k( X这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
1 q  F9 Z" n% f! T5 ~& @% k  ?3 l



这6个关键变量的找出，是不容易的。


6 L& Y3 Z$ O2 G0 d
4 U& o) ]% Y; y4 T: k6 s. N（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
% @( _+ t; q5 K7 ]" j/ U2 xSIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。

+ k4 Z, ?9 X5 w9 }! }4 F
+ V% E- A! A) J& Q; j9 H: L) n# P
( C2 ]5 W, G' [. M; M1 M利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：

1 m$ k1 k, u8 v
6 Y+ v) M2 M- n$ U
,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰
: M: z; ^  x2 u. e( d& b
7 e$ M- e, c: y3 R

* O$ k5 |( d# t  w& ?, x/ R7 A
（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

5 q% T5 h: I7 V1 X+ `
, N; g3 e4 n* A4 S' v0 V
9 \3 H% U9 |8 `; ~8 ?3 ?6 \


- y, O9 }1 T4 @; _3 G: l+ o然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：



（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
* Y9 U4 N0 e3 W) D2 x9 s/ h
$ X) u4 c1 Y* j$ S0 j( A8 y; l

( L3 J# S9 Q+ x- `" L

（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
5 Y% Z  l2 F, w3 j
1 H( A; Q; e# k2 {! p* c3 {平均传染期函数：

: p; S: Z5 v/ ~" m! B: k4 X# z

就诊率函数：
6 S! X# }- H0 t, t


/ E7 L7 ?4 Z& \平均接触率函数：

$ W1 x) l, p3 d$ u& u$ G" K( ^
  `: ]$ }" O$ f8 C9 p) C+ U  `) Y
9 _2 j1 ~) Y! `' n) h  @模型预测效果图：
3 p5 R% y$ @. U

( V* ?5 D6 h2 g% P- o
; |2 ?% u  w$ U/ _3 d, L1 m. @————————————————
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