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TA的每日心情 开心 2020-11-14 17:15
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[LV.6]常住居民II
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本题要建立传染病模型。上网一查,最经典的传染病模型是SIR模型,出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。: w4 s7 c0 ^ Q! x1 {
4 ^1 S# d8 F; y1 n" @
本题主要使用微分方程进行建模。
" Y8 k4 w4 k- @1 O 3 j. D e+ c4 Z# c
(一)梳理题目' K2 V) m' s( F0 P$ C
, E: Q# N, H5 P* t
9 b5 s( K3 J5 s + y+ M1 b! o; B+ p$ H
S' M9 B3 H+ D3 t9 A1 O' V
/ n* O% H+ h4 R3 X: Q! ?4 G
, e, K# ?6 X9 M6 c- O- B2 p (二)Highlights which makes this paper stands out) a4 C: k0 u& b U. e4 O0 T2 l
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析5 B% v3 p# F2 F: L3 G
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。2 @0 N6 d- j- Y8 Q! a. l* O5 Z) Z0 R
& t4 A" `4 [0 I2 O 3 k) R! Y0 R8 ^/ I, V, ?8 [8 w& p
_/ D0 h: a% V# c; _3 y, `
e i是第i天的计算值和实际值的残差& A* \7 b" r/ D/ x1 V
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E(ei)=0 E(e_i)=0E(e i)=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
2 y: }' q; h! y8 S 标准化残差服从标准正态分布. j( I, }/ y z6 {( A5 O
美中不足的是!!!
2 X* o! e2 z+ \( \ 没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下,样本标准差的无偏估计应该是:
! ^: W# c# K r3 `
3 @. A" E. |0 W4 R) x4 B' U& l( y
6 P4 q9 h, K N$ U1 m1 E
5 e, M& p. y: a/ ^. o
. a$ u$ J) h0 M ?* |# @ 如读者朋友知道原因,请评论告知,非常感谢) F( F3 s: ?6 V
8 D0 N, b) z- G- h5 I3 Q , A4 D2 e7 f- B" ?) [8 l/ v
: d& G. V3 B" m o5 t$ g
: |. q7 l8 P% B! U$ s, I* Q4 ~ 论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好,中后期都与实际情况偏离较大。; Y- H, T" x" q" U; P0 a
0 V/ z* w! Z# Q+ [7 r+ H8 q9 ?( u4 z (2)模型假设和符号定义& s; H0 F; w. J% \. } V
这个假设写得简直太数学太专业了,为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
, [; V; k r) G# O! {' J
* B" |+ T2 |2 T% T ( b$ w: c }4 n: ]& @
: `- L0 u+ X7 C2 g) c# a8 A. k0 x4 E
6 f1 g5 ?! E# h' G6 U 这6个关键变量的找出,是不容易的。- J# R) K1 Q. e$ B
1 o: V. o: S5 i# J$ U& Y( h ; e+ W5 F7 W3 h2 `
/ m/ t# n# v/ t4 u (2)基于SIR模型建立新模型9 V0 _5 U1 W, C5 t: }. @" b
基于一个经典模型,成功率较高,又有更多可参考的资料。
& P% L7 Q' h+ h1 { SIR简单地把一个城市的人口分为三类,三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。1 K; P$ ~& ?. m9 i( r3 M0 q
6 D4 O& W" s) n& z" ] |/ g$ H; Y # y; {( E/ n* `, N; T2 P2 M" X
6 K3 v% ]3 J, b0 G; O8 x* ] 利用微分方程组建立数学模型,这也是对上图的数学描述:: _$ g( `4 V P9 i& B4 \0 t; W
( T8 H) i4 S5 k9 E0 q1 }+ \8 s
4 y% t" @" I2 G 7 q( |1 P* \5 e& _6 K1 g T- J
,因为S类(易感类,能被感染的人群)随疫情发展减少。
" a" d( C- y5 I 其它数学公式论文中很清晰; Q( D( ^$ X" {1 W4 G* p
' H* V2 h7 T8 J8 {
$ U4 |! `9 O7 o# E) C
, ]9 ~) ^( ?5 V3 s5 o
9 l1 j+ i" I- E
(3)求解模型
9 P7 v. l0 k" v% s 求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。" U! M, w. I1 q; o) M
k* e* ^7 s5 z. D: l8 Z0 }3 L4 ]
: s" }9 _: z! d& k! n1 F' R* t$ R
# Y$ i8 n/ Z: d5 v0 f
/ V n) E2 a. F- x# O* g : \7 O, l- Q6 }1 h( l
8 o$ R0 ~3 B! G* V. U# X3 D
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论:$ W& v& ]; K( w v
$ `: S; o V% z+ R
9 O# d4 S% J* y7 p4 {% @
/ S/ n$ d! J, i5 h' e9 Z% d
(4)用导数为0划分疫情发展的四个阶段6 W+ `' e8 a( Q; ^
6 h U9 ]: C: t1 [3 I \# D e7 N$ ~' i6 u
0 c# J( K2 A3 y2 G( m Y% s y% C7 z
a# F" j; a1 {7 z' g4 @( ?/ \
$ n; I% C1 b* r (5)根据实际设计三个关键函数
" k+ T3 D4 q! x' H& ^" s 这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点!!!前面那些都是小亮点,这个是闪瞎眼睛的关键。
! H4 o+ ]' Y+ A2 M/ i, u% _4 r 论文也说了,疫情的发展要分阶段研究,各个参数在不同阶段的取值和变化规律(函数)是不同的,所以用分段函数来描述是符合实际的。
% f% `7 H$ C# y 9 c8 ]' q$ A5 F
平均传染期函数:
/ [9 E2 m+ G9 g0 D% T * t3 N$ p' U+ p, y& ^
/ l1 d- v4 J. b! x: s8 R4 w x
" u4 z1 m9 N" E6 _# o3 p9 H r, v9 H 就诊率函数:
+ n; R, |7 C- K3 d) X 4 u/ Z2 E7 r& E6 F% j$ s7 X
! z1 r# @0 e) ^9 j! m0 d0 e* g. @ . e6 d" b+ h7 F$ V* \: G" f
平均接触率函数:
, {4 C' w4 p, m7 V . f2 E5 A$ {) I' I! |. M. b
/ p- \% ~5 o# q1 M1 K. t ) W- f5 ~6 U6 ]" E1 S7 r
模型预测效果图:
3 g/ k, ?' ^, D2 R. `- v
: n2 Z+ }. w& `9 b a) A
! q1 l1 k E m% t / W a$ A! Y( V5 d1 e$ [
————————————————0 f) O/ C1 K w3 \, }
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