数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

本题主要使用微分方程进行建模。

（一）梳理题目

( q1 [; q: K' X$ k" k( j

) b% {. T1 x" l+ z/ Y
4 u  V6 N6 e0 c: X
4 ~1 D5 `9 \% f% ]% ?, R8 `
（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
7 i- E  U# X, q3 ^7 R" B. i) T4 ?拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。



e i是第i天的计算值和实际值的残差
# r+ P0 ~7 T# u+ \e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
. g+ y* h: a, q  \" w标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
$ q  n" \# T$ ]# J( [! }


, `, @$ L$ v. q3 ?$ m1 G- Z. j
, L6 p- g& d( C如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
0 `% Z) H& ]7 [' d
, {0 o7 Q  h/ x& `2 u


论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
  M2 \( i( {: b+ x) I4 }. r+ v
（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
$ v) J5 \$ ?: c' y; Q4 F0 _
0 ]1 T+ q+ D0 J) \# I% |. s4 m. V3 R

- k8 E( v% b" f$ n- @
, {, E7 Q/ y' O4 R8 v& x2 a# C这6个关键变量的找出，是不容易的。
; l, D2 w- `' f* @


（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
; T! O, a0 v$ \1 m; P1 O. F7 ^
" ?4 o8 \% B, {3 v6 ^, b
0 |/ v- ?1 q3 G- F# S. b1 b
利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：

6 q2 f/ I2 W; }% _
: U" c* G& x8 Y
,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
9 y/ R7 }, @$ |; R6 N8 \) f; N其它数学公式论文中很清晰

" ]- q) W( {. t# q- {+ j
8 h0 j+ u; O$ q, U9 W
4 O! [2 w" |) D6 c/ z4 E9 R
（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
6 e& t0 @6 O" n+ h- I

1 f. F' I) N' Q9 R0 F

4 `7 D+ h/ Z' r6 O

! q* ~5 Q. k: F3 _2 G然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：

: }" Q; }# j5 q6 Z5 x" F  }
# ~  g/ ^+ g# t% N
（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段


6 w1 [" X% p' ?# L" D1 S1 \( }
9 H3 Q3 z1 S, @3 T1 I

（5）根据实际设计三个关键函数
. d' n+ A( y6 \' ]" k9 i" O这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
6 y) \* c+ B9 d9 i
* j6 c# M1 S$ G6 n平均传染期函数：

% s* `; t; G3 `" [) V

9 q1 b; u. a( }1 U  \就诊率函数：



平均接触率函数：

& l# |% c# M7 r$ `2 T

模型预测效果图：
5 J5 I, A, s4 |/ y" l

6 F% \7 |& m9 m/ {
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