数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

; L# a! _/ ]) O/ y/ g本题主要使用微分方程进行建模。
" Y5 W+ F. H- ~+ C0 _/ l' F6 ^, _, Z
8 ]! _$ R7 c" {. p7 e（一）梳理题目
3 q  _; n$ i6 `  E/ L0 |

2 Z5 |: S% x0 u2 p( x) u3 h



（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
2 x. o/ P/ y/ k) r. V拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。

' i4 J2 w$ O: L/ M1 g

e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
- Q. k- ?/ v0 J* U; w, h; I& g标准化残差服从标准正态分布
& a! o" G; m) }5 `1 X美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：


& p: s5 ?4 i6 j

; v. H$ ]! P( L+ A# n- S如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢

& \* O* X4 [  w0 A
" b5 S& d8 x- j+ x
& q" H$ m; I5 G$ @" [: b
5 `& ]7 p. L- M5 r0 a论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

' p3 K$ ^, ~& d$ |$ T（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
+ M% w$ c8 J3 ?( `) R$ Q
- M4 m( ^4 I! i" _: f


- ^6 W/ j- _6 Q& V  u" m这6个关键变量的找出，是不容易的。
$ k3 X  ~# q/ Y) m, a

6 N' b  p; c: W4 P6 h. U7 S  V+ B
8 \& b8 r- A4 ~（2）基于SIR模型建立新模型
0 t, W. w  z! @  f基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。

! s, L2 u. M3 Y( N, h4 P

& A! H" |/ M; a7 _) Y8 V! i4 r利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
) K' H2 t" H- C7 G

8 k& k9 {- ]+ v+ T+ ^
9 I" {' s7 [* _1 B1 N,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰
5 j2 L8 Z+ C6 ]. J7 b" y

8 q# Q' C  h/ Y% c! w  y6 V9 _
5 ?1 v( D+ ^1 S- b) j+ T
（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
* _; H* j& u+ O; p


( O2 O+ T1 B4 G8 A; p
9 {% [4 U' J# X
+ }7 ]1 _5 r- [5 C% Z
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：



（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段

, P4 S. B/ j3 C: k& y- B( J7 p  q


$ _+ P8 P- @, t! W0 s/ y
（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
6 `+ k; Q$ X& V0 {/ e. K论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
0 Q0 B. f) s0 ~
平均传染期函数：

6 Q9 V# T" J' \2 s% U+ v# l
4 K7 u$ s% ^4 r0 g3 q: m) b
+ ?* ]6 g0 x0 v/ X( A就诊率函数：

7 ?. W7 f5 z, V- f' a7 W6 y
  N+ _" u9 Y2 j& {- O  x
平均接触率函数：
% ]' O# M9 ~/ x, g( Y3 p/ o


模型预测效果图：
) O' J6 w( x6 i' t* y! P5 h


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3 [; [3 k: q/ W2 C' }, j; y原文链接：https://blog.csdn.net/qq_36607894/article/details/92246947

" x! L5 ^6 y9 j6 V- M  b- g