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[国赛经验] 数学建模----SARS的传播

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    1#
    发表于 2020-5-30 09:36 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    本题要建立传染病模型。上网一查,最经典的传染病模型是SIR模型,出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。3 {* x! Z6 `+ W, m) ~: T' g
    " G7 P$ I( c2 q" J7 [4 I5 e
    本题主要使用微分方程进行建模。7 u: t/ m2 u$ k; V, t! }' ^
    3 E1 q' t# K/ \- C5 s' G- i
    (一)梳理题目0 j" o$ w3 n# A% y' ]; d9 W

    ( q1 [; q: K' X$ k" k( j- J/ J7 Z# W2 c* x

    ) b% {. T1 x" l+ z/ Y
    4 u  V6 N6 e0 c: X
    4 ~1 D5 `9 \% f% ]% ?, R8 `6 \! Y* H$ n3 g/ Y# R
    (二)Highlights which makes this paper stands out- I7 o8 x0 S7 ]& I
    (1)对早期模型拟合曲线的残差分析
    7 i- E  U# X, q3 ^7 R" B. i) T4 ?拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。. Y0 L0 N, j; a& n
    & P* A4 Q; {1 R/ |* i
    : T3 [4 Q* W: n  S: g% w& ^1 S1 D
    + w! T8 t- r* E' |+ s4 }! S& r9 V
    e i是第i天的计算值和实际值的残差
    # r+ P0 ~7 T# u+ \e∗i e_i^*e i∗是减去期望E(ei)=0 E(e_i)=0E(e i)=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
    . g+ y* h: a, q  \" w标准化残差服从标准正态分布- W. R, g! n  m! |
    美中不足的是!!!+ O: a/ g. n5 D8 V8 L6 i) X
    没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下,样本标准差的无偏估计应该是:
    $ q  n" \# T$ ]# J( [! }$ J1 b7 w* M3 p" t
    QQ截图20200530092404.png 9 Y8 m9 h! d. d4 v( _

    , `, @$ L$ v. q3 ?$ m1 G- Z. j
    , L6 p- g& d( C如读者朋友知道原因,请评论告知,非常感谢
    0 `% Z) H& ]7 [' d
    , {0 o7 Q  h/ x& `2 u& [+ p- K8 M1 Q
    , v' r# b; E, }
    6 o+ X' d4 |5 G' h& _
    论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好,中后期都与实际情况偏离较大。
      M2 \( i( {: b+ x) I4 }. r+ v" J0 Z" y$ b9 ^% m3 V
    (2)模型假设和符号定义; u( [: N# d7 w) V
    这个假设写得简直太数学太专业了,为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
    $ v) J5 \$ ?: c' y; Q4 F0 _
    0 ]1 T+ q+ D0 J) \# I% |. s4 m. V3 R, }/ g8 j' A6 L. [  V) r5 O5 p3 l

    - k8 E( v% b" f$ n- @
    , {, E7 Q/ y' O4 R8 v& x2 a# C这6个关键变量的找出,是不容易的。
    ; l, D2 w- `' f* @* D! ^5 J3 Y6 h7 E* p
    2 h: v( p( s0 @
    1 M! X2 V" c  b1 b+ _: s2 s
    (2)基于SIR模型建立新模型1 _# w( u1 [* K! g3 @7 i
    基于一个经典模型,成功率较高,又有更多可参考的资料。  E& \1 [) ~- D1 a- N. `
    SIR简单地把一个城市的人口分为三类,三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
    ; T! O, a0 v$ \1 m; P1 O. F7 ^
    " ?4 o8 \% B, {3 v6 ^, b
    0 |/ v- ?1 q3 G- F# S. b1 b, R6 y! O4 M* B- e' L  S
    利用微分方程组建立数学模型,这也是对上图的数学描述:/ f& D$ Z# K) v/ h2 i

    6 q2 f/ I2 W; }% _ QQ截图20200530092822.png
    : U" c* G& x8 Y6 ~2 V2 a# J! \+ Y) I& ?" A9 A
    ,因为S类(易感类,能被感染的人群)随疫情发展减少。
    9 y/ R7 }, @$ |; R6 N8 \) f; N其它数学公式论文中很清晰$ I& R5 h5 p( g, t/ ?9 [1 }  j

    " ]- q) W( {. t# q- {+ j
    8 h0 j+ u; O$ q, U9 W
    4 O! [2 w" |) D6 c/ z4 E9 R% g& L" a% Y, O( U1 p
    (3)求解模型- a/ A* R5 [- r, K/ \' y
    求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
    6 e& t0 @6 O" n+ h- I) M1 U! y. g, Q) q3 |
    QQ截图20200530093348.png
    1 f. F' I) N' Q9 R0 F) @3 \2 f: [1 a% o
    QQ截图20200530093426.png
    4 `7 D+ h/ Z' r6 O5 u! _. b2 n0 g+ T% s0 y

    ! q* ~5 Q. k: F3 _2 G然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论:3 U9 L% y: y  Q; r, H5 i! |

    : }" Q; }# j5 q6 Z5 x" F  }
    # ~  g/ ^+ g# t% N/ o+ P5 P, \! u* m# Z) B  I
    (4)用导数为0划分疫情发展的四个阶段* K: n$ D' X; s' G8 d
    ! f; m: t3 w( |, Z  S6 c

    6 w1 [" X% p' ?# L" D1 S1 \( }
    9 H3 Q3 z1 S, @3 T1 I. I) y2 R/ X9 U7 C, j' Z) X5 E
    4 |4 \4 h8 J4 O- G! h  X3 ]4 l- O, d  \
    (5)根据实际设计三个关键函数
    . d' n+ A( y6 \' ]" k9 i" O这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点!!!前面那些都是小亮点,这个是闪瞎眼睛的关键。* s, n/ k$ `  e# G2 T9 e
    论文也说了,疫情的发展要分阶段研究,各个参数在不同阶段的取值和变化规律(函数)是不同的,所以用分段函数来描述是符合实际的。
    6 y) \* c+ B9 d9 i
    * j6 c# M1 S$ G6 n平均传染期函数:7 m. F, z" ~- j% r1 H* v

    % s* `; t; G3 `" [) V. F) S; N+ l9 y5 [6 z2 H( U

    9 q1 b; u. a( }1 U  \就诊率函数:$ a5 ~- E8 U( i$ D/ m
    ( `4 j5 s3 X0 d4 v5 H
    . v8 Y+ {: Y' s9 h$ i
    5 }) e1 K0 `9 w7 }
    平均接触率函数:9 {( ^$ p: j5 J1 a

    & l# |% c# M7 r$ `2 T% [) g6 \( `; E, k
    % E$ y$ ^$ |" m7 ]1 u% h; x; }! K
    模型预测效果图:
    5 J5 I, A, s4 |/ y" l% ]  P: g$ F; [$ [

    6 F% \7 |& m9 m/ {$ p$ s. [( L) I! ^. h5 Y3 N
    ————————————————
    2 H6 W9 P  }! k* t( W) T版权声明:本文为CSDN博主「doubleslow;」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
      E/ t2 {5 K; f原文链接:https://blog.csdn.net/qq_36607894/article/details/922469474 {* A& D7 e( i; v5 h! n
    ( x2 [7 y0 o+ S/ ]9 @- s
    + _. B& A; A/ I) K4 M0 E  q# k
    zan
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