数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
% E1 s2 b5 J; B; ?- e
本题主要使用微分方程进行建模。

* X$ [) a$ E1 d（一）梳理题目

2 H+ X) N4 m! J# W- T
0 B% E# j) n9 e( l
2 B6 D8 O4 G$ \8 `, J4 U
% e& T; h4 Z+ H' ]% d$ k
' W9 b( h. T  t; z" B
$ L  v5 I, D, ~# _- [/ S（二）Highlights which makes this paper stands out
8 N& M4 r% p7 |  o. b3 _(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
; M2 Y: J9 c& K% J) O拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
; O* c# W6 ?; P& H; a7 J  e8 f

$ q" t1 g8 u& M" a& a
- g$ j; |% N3 }; fe i是第i天的计算值和实际值的残差
$ V  c" o( n# V$ J4 G( [; te∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
/ e- E6 ?( _/ l2 n' ]标准化残差服从标准正态分布
' a5 E4 h9 d/ w1 d* b# q美中不足的是！！！
1 c, J  s. W, y( |& p; a没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
3 o7 @# a% {' ]" q: c



如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢


! `" y& {3 ]+ F1 d6 F  F$ G

论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。
; @4 Z. ^, t; H4 ]2 ]% J
（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
8 _8 p3 D  f/ Q$ I) C7 Q
& N4 u- `, ^# a' _


1 \8 A$ M( H4 K% }5 T; u" t2 L这6个关键变量的找出，是不容易的。

/ Q& U, Z6 z( Z( ^6 l8 S

5 B' y4 q7 U2 [9 r/ B1 L- B2 p/ D5 X（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
6 R  F& Q5 ~) G1 m
9 C2 U5 |; {1 B3 N

利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：


& L( S1 }* m1 h8 q  e5 j: o
,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰

( s  i, F5 @& }: \


6 @5 ]1 [' n) K4 F# k8 Z% E（3）求解模型
8 F8 z1 ^8 }) P/ B求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
& s3 k# i4 F- t* G. q1 n





& `+ ?( e; I" P然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：


0 F* |( q5 ?. h
（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
/ l4 N' M, z9 E7 y
6 s" X3 A( w$ q6 f, O



（5）根据实际设计三个关键函数
: }* r5 I- X- k. Y! J, U- d9 t这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

平均传染期函数：
5 Z" q  A. |9 j* Z: H$ G
4 z1 s5 C9 @" {7 e8 Q5 c( v

+ a4 J" M! @0 s& d1 B. s就诊率函数：
9 v5 @+ ]1 |& I( ~) F& M
4 g4 g/ \$ C4 A6 m+ [7 X

平均接触率函数：
. D8 u8 h) B& C1 P
2 ^& ?( v/ R9 x$ G% R% }
' V& j' F2 H+ C
' o- Y6 N3 p7 r, o' x4 T, \模型预测效果图：



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