数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

本题主要使用微分方程进行建模。
; U+ r. @( |9 S7 [0 Q8 t+ [
2 [* N2 y. D7 f+ F9 M' W' G（一）梳理题目

' ?- O1 y7 A3 Q+ n3 x
9 j& P" R1 m5 w8 m; E

$ u$ q9 b' F2 Y& e

（二）Highlights which makes this paper stands out
& O0 |* ^* r0 N, |* N(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
' k. v. q' h1 B9 L5 G! @1 C2 ^9 a拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。


3 R# L; s3 r2 g+ E  ~
: M& F  u$ i1 H0 Re i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
* s4 o* c4 z  x8 t/ y3 @0 F* e" W标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
7 i3 y3 F( A7 Y. s& Y



如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢

4 z% z8 g, e, K! q


* Q: X; `  D0 W0 r论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

/ n; ^/ [9 g7 j( f9 t: q! V（2）模型假设和符号定义
" R" @) Z+ h- N: `6 ]7 \$ g9 D这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。

6 L. D$ Z1 k. @/ P# \

( m6 C2 {) {" Q
5 M# y0 c1 a5 ?$ l; L  N这6个关键变量的找出，是不容易的。

$ O* M+ L" P  P* J" I

7 H- r" f$ N0 e* x  E0 O& `（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
% S+ G; p; c  D5 w6 Q2 m, lSIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
) o7 U+ `6 n* h5 b


利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
( g' W+ @! v" @( K1 Q$ w- y
6 N0 g& [6 i6 \8 Z) w8 r  N

,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
# N+ `; Y7 R  `; P4 c* ?3 F其它数学公式论文中很清晰
9 z- F4 @7 X, i( B" r# c1 L( x; q
- K) l2 P) J1 D) K4 b7 C
3 {: }! X- B) j5 Q

  w8 F$ v' V3 n; j, L2 X2 U（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
% ]1 u9 g- `3 D/ h

/ v( ~( L& G5 D0 A) c: j( [
) ^1 X( t4 `. j$ C6 j/ A

" C- A' h# h" w' I3 c# [* }
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：

8 G" }/ J: L5 c7 n+ d$ Q* w+ A
! s" |8 m% v! o
（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段


8 |  X& `; B4 g' o+ T* d) [

7 r- Q+ u6 M! [0 o6 g+ r
. b. y! H% |+ X0 ?6 g; u6 R（5）根据实际设计三个关键函数
3 Q; `% X$ b& s3 k这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
& `3 q9 ~" b+ i$ K  H7 U
! ^. G6 r2 u3 w" E  L# P9 s平均传染期函数：



就诊率函数：



/ f8 m* ^! I1 S平均接触率函数：
$ H% i- i4 j/ B


1 e. T4 j. U' W9 l# w$ r; B2 B( s模型预测效果图：

1 V8 c5 p/ |: b+ {7 Y
& f+ I) |2 u% w7 ?( u; V
' z; c# C, w$ Y+ O————————————————
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