数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

7 }* ^1 R1 S: K6 ]' E' m本题主要使用微分方程进行建模。
/ |2 w, w0 n* a" t0 y
' g3 v7 y$ n: z1 Q$ {（一）梳理题目
" Y+ J+ b' g( U' {



. A3 R0 Y; g; T' e- {1 t
& w! Z. ?5 X, `
/ j! h( D# ~) _9 ~6 Q. x& K: C/ ?（二）Highlights which makes this paper stands out
8 Q: G  V* r! w6 P- f! q" z(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
2 b( D! z* ?' O# n拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
, Q3 W( o% }, b0 }


e i是第i天的计算值和实际值的残差
" w/ p1 w; y2 ~- ne∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
2 f+ A3 H# y# P8 t. P* A: ^7 a标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
( E5 }2 x3 B4 J3 L& U3 T6 k6 d3 i. K



; h2 x: r. `3 ^3 o( v0 V9 ?% t如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
% N* ?3 [2 `. Y) t/ A

$ n% v8 a7 T! Y5 x7 Y& F6 \6 ?* ~

论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

  C( O5 ^+ e9 q, S% k（2）模型假设和符号定义
+ b* W+ U1 J: W' M. J2 V# B0 v) X1 o这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。



. v( I, l. s, d0 y' Q
7 v$ p% k- R9 s! e, e9 L. l# m这6个关键变量的找出，是不容易的。

; N; P' h  n9 A/ {# h5 Q
- ]! t( _  u3 g. J1 g' d7 a( l
（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
, K  L8 R9 l& e: Z/ y


利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
8 J! v" J, B- |  o
$ |% [9 ?% Y4 S8 C, I" k3 K

( F0 u% ~3 Q: l9 I7 V. X,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰
1 E' K3 M& Y7 b
; O, B3 Q$ }; {( M) S8 H
" y: X4 B* N5 y0 C* I

（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

. @: ]% m' `6 s' N/ _5 |

! I% b' }# N1 q; P, v% E


然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
$ W& f1 L/ X* A  W" A8 C

+ t+ k% I: x1 _
8 f/ f& p0 q7 {. U' K* I（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段

2 }7 f( }6 w6 G# {& z



（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
8 x$ s  r$ p& o5 R* n
平均传染期函数：

7 Q& d) d6 M  Z5 T2 m8 z
1 O  R; _4 w1 c; s( T
; R( ^: |. F6 _8 n1 q! t3 O就诊率函数：
, d2 D- _/ n! ~  N) ^, T  u


平均接触率函数：
' W2 }0 A: T5 D$ E3 ^8 y
: W: |8 a4 [3 |5 j' {
) |' O, {( T5 @4 n
' t1 ^* V6 L. i2 b1 d( h模型预测效果图：



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