数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

本题主要使用微分方程进行建模。
" Y8 k4 w4 k- @1 O
（一）梳理题目

, E: Q# N, H5 P* t
9 b5 s( K3 J5 s

  S' M9 B3 H+ D3 t9 A1 O' V
/ n* O% H+ h4 R3 X: Q! ?4 G
, e, K# ?6 X9 M6 c- O- B2 p（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。

& t4 A" `4 [0 I2 O

e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
2 y: }' q; h! y8 S标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
2 X* o! e2 z+ \( \没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
! ^: W# c# K  r3 `
3 @. A" E. |0 W4 R) x4 B' U& l( y


. a$ u$ J) h0 M  ?* |# @如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢

8 D0 N, b) z- G- h5 I3 Q


: |. q7 l8 P% B! U$ s, I* Q4 ~论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

0 V/ z* w! Z# Q+ [7 r+ H8 q9 ?( u4 z（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
, [; V; k  r) G# O! {' J
* B" |+ T2 |2 T% T

: `- L0 u+ X7 C2 g) c# a8 A. k0 x4 E
6 f1 g5 ?! E# h' G6 U这6个关键变量的找出，是不容易的。

1 o: V. o: S5 i# J$ U& Y( h

/ m/ t# n# v/ t4 u（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
& P% L7 Q' h+ h1 {SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。

6 D4 O& W" s) n& z" ]  |/ g$ H; Y

6 K3 v% ]3 J, b0 G; O8 x* ]利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：

( T8 H) i4 S5 k9 E0 q1 }+ \8 s
4 y% t" @" I2 G
,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
" a" d( C- y5 I其它数学公式论文中很清晰




（3）求解模型
9 P7 v. l0 k" v% s求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

  k* e* ^7 s5 z. D: l8 Z0 }3 L4 ]
: s" }9 _: z! d& k! n1 F' R* t$ R
# Y$ i8 n/ Z: d5 v0 f
/ V  n) E2 a. F- x# O* g

然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：



（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段

6 h  U9 ]: C: t1 [3 I


  a# F" j; a1 {7 z' g4 @( ?/ \
$ n; I% C1 b* r（5）根据实际设计三个关键函数
" k+ T3 D4 q! x' H& ^" s这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
! H4 o+ ]' Y+ A2 M/ i, u% _4 r论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。
% f% `7 H$ C# y
平均传染期函数：
/ [9 E2 m+ G9 g0 D% T

/ l1 d- v4 J. b! x: s8 R4 w  x
" u4 z1 m9 N" E6 _# o3 p9 H  r, v9 H就诊率函数：
+ n; R, |7 C- K3 d) X

! z1 r# @0 e) ^9 j! m0 d0 e* g. @
平均接触率函数：
, {4 C' w4 p, m7 V

/ p- \% ~5 o# q1 M1 K. t
模型预测效果图：
3 g/ k, ?' ^, D2 R. `- v
: n2 Z+ }. w& `9 b  a) A
! q1 l1 k  E  m% t
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