时间序列模型 （二）：移动平均法

浅夏110

移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。

移动平均法
) Y; V2 v! D: g8 p" }移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。

4 \2 J2 G$ ^5 d; _, N: R7 k简单移动平均法


& m( T2 l0 J0 Q1 ~, ]6 B/ [
近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。
1 G9 E  J: m/ y
" S7 S+ G/ _2 j7 m8 Y" L' I. o简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。
8 _& I0 v+ x0 W9 ]/ G8 @" h# X
7 G9 B$ O3 U2 j' v" y* Y: @5 [. z. t例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。


0 |7 G8 O% ^) j+ c

5 ?3 K, J9 w% I: ~4 u
计算的 Matlab 程序如下：

clc,clear
y=[533.8  574.6  606.9  649.8   705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);   
7 g6 }$ |0 M5 W7 c6 S( M. ?3 { n=[4,5];   %n 为移动平均的项数
for i=1:length(n)   
%由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组   
    for j=1:m-n(i)+1         
        yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);     
    end   
2 O7 b- H( {1 T    y12(i)=yhat{i}(end);     
    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
end
) @  e6 N$ a8 j% k4 d) D, gy12,s

1 I" x9 S' J, R: n8 M加权移动平均法
/ H4 k9 o( y) d' [0 M; T; v在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。


3 [5 B- `& x* }
例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量



4 D- d4 a' _" ^" s; U9 H" b
+ v7 ]; e6 x8 Q" S" Q; l  V* q



3 Y" [  D* ]% b9 p计算的 MATLAB 程序如下：
# Y1 P0 w, _7 D  b  ]
; Y  F( y0 a$ W" d9 B( Uy=[6.35 6.20    6.22    6.66    7.15    7.89    8.72    8.94    9.28    9.8];
. _- ^# I( j6 I. Vw=[1/6;2/6;3/6];
6 J7 F1 K& r8 s& y# A, Um=length(y);n=3;
1 n, m" q9 R! Kfor i=1:m-n+1     
) }: b1 c. N$ K$ X/ @5 T! ?( d    yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
end
/ p& |+ N9 B( h) F) K8 z) lyhat
# k, J$ J5 k% x, T6 r% s! Xerr=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
% z8 h9 A+ c% S6 R7 K6 i2 h8 Zy1989=yhat(end)/(1-T_err)
8 ]. Y' _9 m) Q
; L  [% a2 e$ }/ A 在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。

0 F( \" O( d/ V% U) h5 E趋势移动平均法
  p+ D9 C3 L$ O- j简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为

- p4 h6 c% Q! S
2 j+ L$ x8 c- Z) @, F" s$ I$ n% R3 A


1 ?% w2 H/ R$ b. c" J; f
7 j6 ^5 j$ f0 }, O* L: {
* E5 q, t5 W# a& `2 Q( e- w例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。

( g1 j$ b$ [4 h) B& e9 |( T; f

解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。
: l1 `5 v  W8 L* z$ _$ i; Z9 E; D

' _9 \. z) h7 {
计算的 MATLAB 程序如下：
6 w% @# B2 b/ Q. U
clc,clear
load y.txt   %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
9 B) F; X) D& U7 J8 [m1=length(y);   
  c/ J/ v  i  q) v& `; Dn=6;   %n 为移动平均的项数
: l3 A9 Y7 h7 F9 Sfor i=1:m1-n+1     
( `6 D4 C8 [( E9 ?7 g1 H$ p; r    yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
end
yhat1
% p3 d+ O' K; y9 E& v4 B+ y2 B/ Fm2=length(yhat1);
for i=1:m2-n+1   
    yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
end
yhat2   
" _# m* W  E, j, {! x2 K& t% t5 x5 i, aplot(1:21,y,'*')
a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
b21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
& _) q) C1 c" {y1986=a21+b21
2 T2 v* W, ?, A8 P5 X- h" Uy1987=a21+2*b21

5 V2 V/ U* |7 A5 v/ q2 @2 h

趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。
5 ^1 J6 M# Q0 P5 c0 p

3 H$ ~5 Y% u. @# e
, m4 Z/ g4 T; f8 Q- m————————————————
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