时间序列模型 （二）：移动平均法

浅夏110

移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。
6 m7 m2 y6 @# ?9 G* d
移动平均法
移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。
5 O& z; k0 L- `
) Q# N0 ?! i, M" V( b7 G: j$ |8 C简单移动平均法

% v. z# m% X6 g" j1 m

近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。

简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。

* G, A' S  E6 k0 _: e例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。

. v* o1 b8 C' h+ O# w2 e  J


/ `# M" J2 y  S* E/ W/ A+ r( O
计算的 Matlab 程序如下：

clc,clear
( L' x6 Y! [1 y3 v( A% _  Ly=[533.8  574.6  606.9  649.8   705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);   
" j; a, G+ Y) j- ]5 n. g6 l n=[4,5];   %n 为移动平均的项数
for i=1:length(n)   
+ J* z# j% L: C* R4 _ %由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组   
    for j=1:m-n(i)+1         
        yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);     
' _" s3 m* K0 h7 I! O& ]/ Y- S6 z5 F) r    end   
    y12(i)=yhat{i}(end);     
    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
end
1 y% y! M0 @+ x! M, x- |- R  _y12,s
% O! I9 ^6 z7 |, u2 H' V+ |- \
加权移动平均法
在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。



例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量
# x: t5 \$ w( p& z0 L/ [
/ F9 C4 ^3 U- B  y$ G4 D5 Z  a: @5 t
: O9 ]2 i2 \- X- @% L

6 Z5 y, f" q$ `


' t+ E( r/ k$ v. y
计算的 MATLAB 程序如下：

$ x6 {, f6 W7 h4 ry=[6.35 6.20    6.22    6.66    7.15    7.89    8.72    8.94    9.28    9.8];
w=[1/6;2/6;3/6];
( D  u  g# i' j" o$ y4 Am=length(y);n=3;
for i=1:m-n+1     
% }/ Z& i1 W% T0 c8 E    yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
end
3 v+ k, F4 I) W* ]yhat
- u" E3 H& n( r& O7 K. `  Verr=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
: _' X" P, R5 y6 I3 F  ~" iT_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
y1989=yhat(end)/(1-T_err)
/ w6 F/ p! t1 I
1 ?; T! \; `$ b 在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。
+ E. Y8 L* O! B& O/ F4 J  ~
趋势移动平均法
简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为
9 K2 P, b2 y) o% `1 e: O& I
9 J! ^3 x* f4 |




) e; `2 y8 R& @- |3 \( R3 J
例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。
; v1 M. m4 n8 `; N+ c
6 T( ?! r6 `( C7 ~: J

解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。

1 s4 Q$ B( e6 J+ Z6 g" V! V9 L! p
# ]. g- A. t  u7 i2 a! j
$ u& J2 e. J2 ^0 \, i( C计算的 MATLAB 程序如下：

clc,clear
load y.txt   %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
# m2 A, T5 n1 g* T+ X! ^m1=length(y);   
n=6;   %n 为移动平均的项数
+ ~& `: v/ ~% j% Ufor i=1:m1-n+1     
- j+ o* k- Q* c$ j    yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
end
1 K5 B9 f& ?! D; S, ^; k. I: W+ w" Nyhat1
; C! b; ~  ?& B; vm2=length(yhat1);
: |% e' S( w  P0 _) Jfor i=1:m2-n+1   
6 {( M0 Q) q- K+ S2 Q# D    yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
- J; e$ |0 E. ]  p+ s' B; }end
& j" R6 |4 N  |. J; cyhat2   
plot(1:21,y,'*')
a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
$ x- d! Q  S# v+ p6 Hb21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
y1986=a21+b21
y1987=a21+2*b21


  }, G- M; z) I0 j1 M- [
趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。
. u& N$ t  G6 ]; S4 L


: [, y8 P$ M# e————————————————
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. `- o4 t0 F' Q  f! j) v2 u- o
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