时间序列模型 （二）：移动平均法

浅夏110

移动平均法 可以作为一种数据平滑的方式 ,以每天的气温数据为例，今天的天气可能与过去的十天的气温有线性关系；或者有的人对食物有一种节俭的美德，他们做的饭菜能看出有些是上一顿的，当然也有一部分是今天的做的，再假设隔两顿的都被倒掉了，并且每天都是这样的，那么这碗饭菜可能就是一部分上一顿的再加上一部分今天现做的，这就是一个一阶的移动平均。

/ A5 M" J( @% \. c& M: e8 ~% |移动平均法
移动平均法是根据时间序列资料逐渐推移，依次计算包含一定项数的时序平均数， 以反映长期趋势的方法。当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏 较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，分析、预测序列的长期趋势。  移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。

# h9 Z, M+ i: I# |7 [简单移动平均法


$ J1 Z0 S. w8 V5 M
近N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。一般 N 的取值范围： 5≤N≤ 200。当历史序列的基本趋势变化不大且序列中随机变动成分较多时，N 的 取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。在有确定的季节变动周期的资料中，移动平均的项数应取周期长度。选择佳 N 值的一个有效方法是，比较若干模型的预测误 差。预测标准误差小者为好。

; r. _- m0 |3 Y+ I2 p+ \2 M简单移动平均法只适合做近期预测，而且是预测目标的发展趋势变化不大的情况。 如果目标的发展趋势存在其它的变化，采用简单移动平均法就会产生较大的预测偏差和滞后。
% ^  \) H8 l: x- x8 Z0 g" q
6 a# R6 }. L! Z& h0 X. H8 k- Z5 R例 1  某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如表 1 示。试用一次简单滑动平 均法预测第 12 月份的销售收入。
* ~& x7 {) H, J. Y/ t
# l# g- {; u9 i: e6 A- U
5 i  y( R) q1 q: [! u+ ~7 Y6 X
+ \7 f/ s+ y  j9 m$ k# @" c, h6 W

计算的 Matlab 程序如下：
% R+ k" k: W1 M% o
clc,clear
y=[533.8  574.6  606.9  649.8   705.1  772.0  816.4  892.7  963.9  1015.1  1102.7]; m=length(y);   
n=[4,5];   %n 为移动平均的项数
4 l, A, V% \( p4 u) Kfor i=1:length(n)   
/ Z+ d+ n* ]' a  V& Y* f %由于 n 的取值不同，yhat 的长度不一致，下面使用了细胞数组   
    for j=1:m-n(i)+1         
        yhat{i}(j)=sum(y(j:j+n(i)-1))/n(i);     
* T. Q* a2 j  ^- c) t, a( P    end   
    y12(i)=yhat{i}(end);     
+ G  }) a- x" x4 \. h    s(i)=sqrt(mean((y(n(i)+1:m)-yhat{i}(1:end-1)).^2));
9 k  L9 X0 ]2 T4 W+ P  _end
7 K) N8 X" n/ {' @  R+ W5 Y- vy12,s

. [; m  R+ [% R加权移动平均法
+ h" g9 \0 E1 s+ W3 Y在简单移动平均公式中，每期数据在求平均时的作用是等同的。但是，每期数据所包含的信息量不一样，近期数据包含着更多关于未来情况的信心。因此，把各期数据等同看待是不尽合理的，应考虑各期数据的重要性，对近期数据给予较大的权重，这就 是加权移动平均法的基本思想。
6 G/ W( A$ l8 b; P2 G1 ^
8 F* t0 D4 K- t% ]
- ~  \, I/ ?/ y- m1 r
例 2  我国 1979～1988 年原煤产量如表 2 所示，试用加权移动平均法预测 1989 年 的产量
7 i2 N9 _) ~% e7 J  @( y

  P6 G/ z" e. u7 H  f! X, [
6 O5 `/ m2 k  I4 G1 M" p
3 w4 B8 y' q* a( w
; o. W1 B8 H! }
3 L3 }7 Q: Y, N9 S+ U

2 l! t6 h! g6 X9 h9 g. c4 X# n计算的 MATLAB 程序如下：
5 L2 m- H( T( }4 d+ ^' y! ]: ^5 g
y=[6.35 6.20    6.22    6.66    7.15    7.89    8.72    8.94    9.28    9.8];
. _' H( Z0 m1 `% b( f% jw=[1/6;2/6;3/6];
m=length(y);n=3;
for i=1:m-n+1     
    yhat(i)=y(i:i+n-1)*w;
1 L" b8 n8 Y3 r/ Xend
yhat
err=abs(y(n+1:m)-yhat(1:end-1))./y(n+1:m)
T_err=1-sum(yhat(1:end-1))/sum(y(n+1:m))
y1989=yhat(end)/(1-T_err)
) W4 i+ T% C: k
在加权移动平均法中,   的选择，同样具有一定的经验性。一般的原则是：近期 数据的权数大，远期数据的权数小。至于大到什么程度和小到什么程度，则需要按照预 测者对序列的了解和分析来确定。
4 i8 |3 W# C) h$ S1 {8 \5 F3 E
趋势移动平均法
4 u8 Y5 _3 I" A+ Q6 \) a" ^) o简单移动平均法和加权移动平均法，在时间序列没有明显的趋势变动时，能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线增加或减少的变动趋势时，用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会出现滞后偏差。因此，需要进行修正，修正的方法是作二次 移动平均，利用移动平均滞后偏差的规律来建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动平均法。  一次移动的平均数为


- e! K% d& a( o( E+ d



; ^( E- j: h7 g- A3 ?4 `  d1 v
例 3  我国 1965～1985 年的发电总量如表 3 所示，试预测 1986 年和 1987 年的发 电总量。
- Y: J$ o5 T) y, |& I1 F4 i$ g

6 D5 n; s1 |  k1 h
$ ?# w& ^6 D& A7 k4 t解  由散点图 1 可以看出，发电总量基本呈直线上升趋势，可用趋势移动平均法 来预测。
+ d% M- N5 g% F
; g4 T; e$ k. `! `. h
! F$ o( a0 V6 n, m4 m
计算的 MATLAB 程序如下：
, X* }# w) b- S4 z( a8 h' V* P" [- N& D
8 x$ Y- l( O& _7 T' {4 oclc,clear
2 Q/ A/ J# h) G6 L; G! L/ |% ?; n* Bload y.txt   %把原始数据保存在纯文本文件 y.txt 中
m1=length(y);   
  D4 b5 I5 [* e- Gn=6;   %n 为移动平均的项数
for i=1:m1-n+1     
    yhat1(i)=sum(y(i:i+n-1))/n;
; Q) V- W7 {# p* d# mend
yhat1
" K% ^  d0 r8 i. rm2=length(yhat1);
for i=1:m2-n+1   
( O5 g  x! i7 O% R* h0 F8 P    yhat2(i)=sum(yhat1(i:i+n-1))/n;
6 ^) _/ H. b* O7 Hend
yhat2   
plot(1:21,y,'*')
" l7 |  s1 Z+ f% E  {, {a21=2*yhat1(end)-yhat2(end)
- R' C$ D- f" |$ yb21=2*(yhat1(end)-yhat2(end))/(n-1)
y1986=a21+b21
y1987=a21+2*b21


7 Q: C& A  I% L2 Q. R( u
趋势移动平均法对于同时存在直线趋势与周期波动的序列，是一种既能反映趋势变 化，又可以有效地分离出来周期变动的方法。


. p' ]1 }7 ^6 j* s/ C4 f+ x
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, K! w# O6 R7 q; {( N( ^/ N原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89440426
7 M: B: O8 Y3 ~! [; x

+ A- ]6 ~4 J4 f4 |/ ?: [