时间序列模型 （五）： 趋势外推预测方法

浅夏110

趋势外推法是根据事物的历史和现时资料，寻求事物发展规律，从而推测出事物 未来状况的一种比较常用的预测方法。利用趋势外推法进行预测，主要包括六个阶段：

% X! P) X9 R1 W' C（a）选择应预测的参数； （b）收集必要的数据；   （c）利用数据拟合曲线；  

（d）趋势外 推；（e）预测说明；（f）研究预测结果在进行决策中应用的可能性。
2 T; A' m6 C9 N% v; P" u0 `
0 H0 d! [# W7 C1 ^- r, l  {趋势外推法常用的典型数学模型有：指数曲线、修正指数曲线、生长曲线、包络 曲线等。
- N+ z9 O9 k- U6 [( a: ?' U

指数曲线法
一般来说，技术的进步和生产的增长，在其未达饱和之前的新生时期是遵循指数 曲线增长规律的，因此可以用指数曲线对发展中的事物进行预测。
2 \' [/ x: n% u4 c/ v$ Z) L0 f0 W# Y
4 z3 ~$ Q; i1 \: l: Z( o
5 h" |- l4 _0 q3 _: a8 N3 V7 z6 Y# K
1 R- Y+ r. x' F3 n' _7 L
5 f7 g" t- m& }
8 |; @2 m1 _9 V/ O( a  l' @# X/ u

修正指数曲线法
0 k2 _0 {! ?7 m8 v4 R0 \利用指数曲线外推来进行预测时，存在着预测值随着时间的推移会无限增大的情 况。这是不符合客观规律的。因为任何事物的发展都是有一定限度的。例如某种畅销产 品，在其占有市场的初期是呈指数曲线增长的，但随着产品销售量的增加，产品总量接 近于社会饱和量时。这时的预测模型应改用修正指数曲线。

# e, V1 N0 u/ B+ x: T9 X

三和法


% M/ _0 h/ D! O6 z7 a6 X! |8 V
+ D) F. u, B2 i# y# u% d* N: G
$ Z! q& Y1 L' B$ b$ r) X
3 u; G; T$ a0 u) C8 q6 o% w
/ a! ~0 J+ R9 N& Y例 8  根据统计资料，某厂收音机连续 15 年的销售量如表 11。 试用修正指数曲线预测 1986 年的销售量。





5 N' H9 s& i3 w; t3 Z- l0 O* q
7 O: ~3 K0 ^5 m! V0 B4 X计算的 MATLAB 程序如下：

function chanliang
# I- R+ p8 y& ^& r2 k: C, @  W5 Vclc,clear
global a b k
; a# U' C8 T& y% e3 i0 tload xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
yt=xsh; n=length(yt);m=n/3
cf=diff(yt);
) I2 P0 G- e( h, d2 c0 `for i=1:n-2     
' e8 K( u! r: t    bzh(i)=cf(i+1)/cf(i);
end
! a. Z8 a! y* y% o1 Rrange=minmax(bzh)
3 B: S  h$ n3 R+ _6 Z8 xs1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
b=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m) a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
k=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m
6 a. y5 S$ I1 ?5 f  jy=yuce(1:18)
%************************************
1 r& Q0 _# n' p$ v8 M' s' L5 R%定义预测函数
8 v1 j* G5 q& }# M%************************************
function
y=yuce(t)
- a- B# s# Z) [4 Z1 v3 |global a b k
y=k+a*b.^t;  
2 \' E; I" r3 }9 k6 m# x
, N1 d+ o3 M2 q" X9 X" I' J% H
* f* [7 D6 z2 C8 r6 b( ?Compertz 曲线

例 9（续例 8）  根据表 11 的数据，试确定收音机销售量的 Gompertz 曲线方程， 求出各年收音机销售量的趋势值，并预测 1986 年的销售量。

计算的 MATLAB 程序如下：

function chanliang2
1 ~3 r& I+ u' E  ]3 e9 eclc,clear
global a b k
load xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
3 T2 H, F1 F5 ^: \6 s8 Y/ k6 ?yt=log(xsh); n=length(yt);m=n/3;
s1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
b=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m)
0 e7 k3 d: I: G4 I2 k5 La=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
1 v0 G! @2 o7 g  |# S  |" u1 hk=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m a=exp(a)
k=exp(k)
1 t" v4 ~+ R- K5 My=yuce(1:18)
0 h- [3 ?* ?' i: c( Y+ J%************************************ %定义预测函数 %************************************ function y=yuce(t);
$ K9 m) ~. M* P, s! Jglobal a b k
y=k*a.^(b.^t);

# T5 m! H, V- S' p+ H Logistic 曲线（生长曲线）
! z, F% C% L: T* ~' |9 E生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，在三个阶段生物的生长速度是不 一样的，例如南瓜的重量增长速度，在第一阶段增长的较慢，在发展时期则突然加快， 而到了成熟期又趋减慢，形成一条 S 形曲线，这就是有名的 Logistic 曲线（生长曲线），很多事物，如技术和产品发展进程都有类似的发展过程，因此 Logistic 曲线在预测中有 相当广泛的应用。
' C: c6 x; ?8 e5 ~






例 10（续例 8）  根据表 10 的数据，试确定收音机销售量的 Logistic 曲线方程， 求出各年收音机销售量的趋势值，并预测 1986 年的销售量。


5 W5 E, M% w$ [% _3 \* v
/ h: P" A# z: j6 C

计算的 MATLAB 程序如下：
- Z" ]2 {4 v/ Y- _
" J, v& S$ A1 [function chanliang3
clc,clear
global a b k
load xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
1 h2 M7 ^. K; n$ A$ Zyt=1./xsh; n=length(yt);m=n/3;
s1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
b=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m)
+ I: S3 v' s" B+ ja=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
7 S( k& T7 ~5 y4 vk=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m
) ]! E$ x* A) I7 |; Ey=yuce(1:18)
$ W+ b  F$ Z7 {7 q3 L! C0 X1 w%************************************ %定义预测函数 %************************************ function y=yuce(t);
: i  j7 E5 A; n2 D4 ^* Cglobal a b k
y=1./(k+a*b.^t);


: Y. H0 k$ X- X. @
! |5 C3 x3 C+ I! u趋势线的选择

趋势线的选择有以下几种方式

当有几种趋势线可供选择时，应选择S 小的趋势线。

+ v8 C; ^9 [2 t; ^8 ^

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) ~% }3 c# c0 e4 \: I9 R( ]
  Q6 w- s* H* x5 x1 X( K. t