时间序列模型 （五）： 趋势外推预测方法

浅夏110

趋势外推法是根据事物的历史和现时资料，寻求事物发展规律，从而推测出事物 未来状况的一种比较常用的预测方法。利用趋势外推法进行预测，主要包括六个阶段：
, f2 \3 B( q2 T2 @1 i) D
（a）选择应预测的参数； （b）收集必要的数据；   （c）利用数据拟合曲线；  

（d）趋势外 推；（e）预测说明；（f）研究预测结果在进行决策中应用的可能性。
9 p) g0 j8 L) K$ L! S
趋势外推法常用的典型数学模型有：指数曲线、修正指数曲线、生长曲线、包络 曲线等。

/ H/ _. _5 C  J* u
指数曲线法
一般来说，技术的进步和生产的增长，在其未达饱和之前的新生时期是遵循指数 曲线增长规律的，因此可以用指数曲线对发展中的事物进行预测。

3 W. m; @5 F7 R2 F4 b
4 a' u& b/ p* q% ?9 B+ w6 o8 x' s6 Q$ j
1 D- l# A3 I% o7 F
# }9 S7 J4 ~& w1 F* F3 U; O( o8 J
; m( E% r" B, G/ B! |5 D! M' I

# \; P% ?/ V+ l7 y; [3 F3 K+ ^ 修正指数曲线法
利用指数曲线外推来进行预测时，存在着预测值随着时间的推移会无限增大的情 况。这是不符合客观规律的。因为任何事物的发展都是有一定限度的。例如某种畅销产 品，在其占有市场的初期是呈指数曲线增长的，但随着产品销售量的增加，产品总量接 近于社会饱和量时。这时的预测模型应改用修正指数曲线。

( j4 Q/ |, s7 b; z

( w  u; i6 {+ `" S3 g7 B三和法


2 l* \3 U8 m" n
0 X" l) f, E+ P4 c2 W
# Z5 k# S# X0 S, O% r) \' d
* w% W7 l0 {" r' j+ W; ]. C; u7 p
例 8  根据统计资料，某厂收音机连续 15 年的销售量如表 11。 试用修正指数曲线预测 1986 年的销售量。






计算的 MATLAB 程序如下：

. H& M2 ^) i) Gfunction chanliang
clc,clear
2 B/ F8 p& O* d: o3 ^2 e: Hglobal a b k
( P5 K# k- G+ Fload xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
yt=xsh; n=length(yt);m=n/3
cf=diff(yt);
- c- H7 \$ H5 S. Z% U8 R: Rfor i=1:n-2     
4 a. q) r/ u! ^4 `* e7 H    bzh(i)=cf(i+1)/cf(i);
end
range=minmax(bzh)
s1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
5 q. o5 Q7 W4 xb=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m) a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
# P! w# h& E6 p1 Qk=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m
1 e9 B# K7 ]- Z- k- ly=yuce(1:18)
%************************************
%定义预测函数
%************************************
( ?) F4 R6 N, m$ N; x; D1 D/ s' ofunction
3 N  D3 y/ x3 Q7 jy=yuce(t)
global a b k
y=k+a*b.^t;  
" }3 u! z: ]% I

Compertz 曲线

' Y& R+ X$ S* h; t

例 9（续例 8）  根据表 11 的数据，试确定收音机销售量的 Gompertz 曲线方程， 求出各年收音机销售量的趋势值，并预测 1986 年的销售量。

计算的 MATLAB 程序如下：

function chanliang2
) }1 f# H7 H- z$ M$ Gclc,clear
global a b k
load xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
yt=log(xsh); n=length(yt);m=n/3;
s1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
b=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m)
$ v% ]2 j4 C4 z  _+ h: ta=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
, t0 \& y7 L( r: q8 K( Kk=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m a=exp(a)
2 [9 E5 p2 |6 [4 F  ]k=exp(k)
y=yuce(1:18)
%************************************ %定义预测函数 %************************************ function y=yuce(t);
3 T, T# Q5 a7 U# y) i* H! mglobal a b k
+ x# k! F* Q8 O: ?2 Qy=k*a.^(b.^t);

6 u6 I  \! b' C: v  T; N Logistic 曲线（生长曲线）
4 L/ \2 x  C( |* P& f8 T$ A/ \生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，在三个阶段生物的生长速度是不 一样的，例如南瓜的重量增长速度，在第一阶段增长的较慢，在发展时期则突然加快， 而到了成熟期又趋减慢，形成一条 S 形曲线，这就是有名的 Logistic 曲线（生长曲线），很多事物，如技术和产品发展进程都有类似的发展过程，因此 Logistic 曲线在预测中有 相当广泛的应用。
8 }/ f4 A& t$ W0 h
- X0 A* L/ q5 p, U


" t, z; B* I5 M" h9 r1 R
' Q0 ]1 l0 ~# u

例 10（续例 8）  根据表 10 的数据，试确定收音机销售量的 Logistic 曲线方程， 求出各年收音机销售量的趋势值，并预测 1986 年的销售量。
7 ~) q( x" }, l% l9 q
0 g( k/ _5 R: e' ?
( I. }; i0 g+ L7 j" R$ R
: f2 f0 [  N7 [& {& I7 m0 L4 R2 i

计算的 MATLAB 程序如下：

function chanliang3
' |; e4 y; i! Uclc,clear
global a b k
load xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
yt=1./xsh; n=length(yt);m=n/3;
5 _( y5 u9 g9 @7 S% p9 Rs1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
6 p" A' z! y2 n  a/ X, O4 F- Q4 gb=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m)
a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
k=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m
y=yuce(1:18)
: ]/ T/ l0 ]- K9 Y$ r- S0 \%************************************ %定义预测函数 %************************************ function y=yuce(t);
+ E1 |6 h1 Q0 w9 |7 S4 D; ^! ^global a b k
y=1./(k+a*b.^t);

: W) V# r. b, M2 b2 B( q
: z" J* y. _% F9 A& G
4 M7 b# y6 R  H趋势线的选择

趋势线的选择有以下几种方式

当有几种趋势线可供选择时，应选择S 小的趋势线。

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