时间序列模型 （五）： 趋势外推预测方法

浅夏110

趋势外推法是根据事物的历史和现时资料，寻求事物发展规律，从而推测出事物 未来状况的一种比较常用的预测方法。利用趋势外推法进行预测，主要包括六个阶段：

（a）选择应预测的参数； （b）收集必要的数据；   （c）利用数据拟合曲线；  
: I. R* X/ x1 J. c$ @, R4 y
1 O7 Z2 d; H+ b（d）趋势外 推；（e）预测说明；（f）研究预测结果在进行决策中应用的可能性。

趋势外推法常用的典型数学模型有：指数曲线、修正指数曲线、生长曲线、包络 曲线等。


指数曲线法
一般来说，技术的进步和生产的增长，在其未达饱和之前的新生时期是遵循指数 曲线增长规律的，因此可以用指数曲线对发展中的事物进行预测。
8 z% x3 U% j, M- A5 h
  X( m  O1 e( T# r/ F

/ z& {6 T5 Z+ c/ ]& n; [; l

" f0 A" u$ s2 }$ a0 n
% `; ]2 F# `( ~0 L
* U3 U& C3 }9 \# K9 X. e* q# j3 z 修正指数曲线法
利用指数曲线外推来进行预测时，存在着预测值随着时间的推移会无限增大的情 况。这是不符合客观规律的。因为任何事物的发展都是有一定限度的。例如某种畅销产 品，在其占有市场的初期是呈指数曲线增长的，但随着产品销售量的增加，产品总量接 近于社会饱和量时。这时的预测模型应改用修正指数曲线。
7 G1 F& o! B$ X

8 s! A0 X0 q1 T/ ?" x* ?1 V
三和法
2 f3 s5 I/ g. J2 N. o2 t
+ G# E5 p9 i& T0 L, g

( w  j' Q% [1 o$ A9 Y6 X( x


+ W9 s" ~5 [( N例 8  根据统计资料，某厂收音机连续 15 年的销售量如表 11。 试用修正指数曲线预测 1986 年的销售量。
  X1 ?& F- `( F' i+ `$ j2 T( Z

# v: q) r  z! Q2 `! Y  a
1 d) V& ^' n( T: W; L# m


计算的 MATLAB 程序如下：

function chanliang
clc,clear
global a b k
load xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
9 Q# n# v* V; Y4 P  ]yt=xsh; n=length(yt);m=n/3
cf=diff(yt);
# U: d! {# d4 @+ Ffor i=1:n-2     
    bzh(i)=cf(i+1)/cf(i);
end
range=minmax(bzh)
& r: I2 _3 w9 W' is1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
& [( G" C  L4 ?b=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m) a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
) V! s+ V' A  i: }' G) i2 lk=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m
6 u5 o  K0 Y: _7 H6 wy=yuce(1:18)
0 w+ y3 ?" n' z; [; b%************************************
6 ^! \. ]+ \2 H2 t( h%定义预测函数
& v1 t6 S9 b2 V9 E+ R8 m) y%************************************
& _* @- ~, |! K) K; c  L* M2 xfunction
. q3 i, O# S% v8 H  Yy=yuce(t)
$ R" O( b. Z0 Iglobal a b k
* s$ |, w- s5 q  T7 a' ay=k+a*b.^t;  

6 R1 B" v$ H; t
Compertz 曲线

例 9（续例 8）  根据表 11 的数据，试确定收音机销售量的 Gompertz 曲线方程， 求出各年收音机销售量的趋势值，并预测 1986 年的销售量。

计算的 MATLAB 程序如下：

function chanliang2
. |+ v! W( ~& b; wclc,clear
) w5 l, A5 C8 [! a1 dglobal a b k
3 p6 N& M) D& V+ r! P: E2 I. vload xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
2 H$ z, Q- J" H6 j  y/ J6 `9 ?yt=log(xsh); n=length(yt);m=n/3;
* d9 w. s6 V; e8 H) V) xs1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
6 M5 H9 E# x0 e. {5 V, c  A" Vb=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m)
a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
( D2 p5 b, V8 zk=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m a=exp(a)
k=exp(k)
$ H0 H( L  x0 ^3 T, ay=yuce(1:18)
%************************************ %定义预测函数 %************************************ function y=yuce(t);
global a b k
y=k*a.^(b.^t);
+ c0 N9 M, m2 y* T7 B8 G- N" j: Z
Logistic 曲线（生长曲线）
生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，在三个阶段生物的生长速度是不 一样的，例如南瓜的重量增长速度，在第一阶段增长的较慢，在发展时期则突然加快， 而到了成熟期又趋减慢，形成一条 S 形曲线，这就是有名的 Logistic 曲线（生长曲线），很多事物，如技术和产品发展进程都有类似的发展过程，因此 Logistic 曲线在预测中有 相当广泛的应用。
% ?' S4 E6 o  w5 x7 M2 O$ y


5 Q% h% m' C- g4 X8 l

. B4 @: r# Q1 I0 y$ x

例 10（续例 8）  根据表 10 的数据，试确定收音机销售量的 Logistic 曲线方程， 求出各年收音机销售量的趋势值，并预测 1986 年的销售量。
6 T' u! \3 _" N. B! H: f
1 R; m. ~3 ?8 h" u2 t



) x) k% k5 m/ {: N! _计算的 MATLAB 程序如下：
/ l) D" ^4 `0 W" I$ _
) d3 ]9 Z/ C5 J, ^; @function chanliang3
clc,clear
: n. Z4 x' r7 rglobal a b k
/ `% g4 k4 ]2 {5 Z( t1 f4 yload xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
* t$ Z4 `' Q# A* N* U7 V% jyt=1./xsh; n=length(yt);m=n/3;
s1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
" j* D1 ~4 J% i* \1 k  O# o$ S+ W% B& P& lb=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m)
a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
k=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m
y=yuce(1:18)
%************************************ %定义预测函数 %************************************ function y=yuce(t);
! A  Q% ^, P. q9 Zglobal a b k
y=1./(k+a*b.^t);
/ c0 m+ g) q* M; W6 ~( i
7 b2 x. V6 }8 y2 @8 l  N0 W

趋势线的选择

趋势线的选择有以下几种方式

当有几种趋势线可供选择时，应选择S 小的趋势线。

$ m' n$ m0 f5 z+ Y6 S
$ e2 X) r7 z/ w7 {————————————————
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, s* U+ t$ r- e* _  _+ y. |  O  Z
4 L* ]. |! X0 G5 O: }