时间序列模型 （五）： 趋势外推预测方法

浅夏110

趋势外推法是根据事物的历史和现时资料，寻求事物发展规律，从而推测出事物 未来状况的一种比较常用的预测方法。利用趋势外推法进行预测，主要包括六个阶段：

5 ?! Z- v' F, W" D5 T# f. ?; Q（a）选择应预测的参数； （b）收集必要的数据；   （c）利用数据拟合曲线；  

" X, W$ q2 S6 I) l7 `+ ]（d）趋势外 推；（e）预测说明；（f）研究预测结果在进行决策中应用的可能性。

趋势外推法常用的典型数学模型有：指数曲线、修正指数曲线、生长曲线、包络 曲线等。


# i( i9 L5 J& N1 I 指数曲线法
* Z* ~  l6 A6 r/ Q& ]* q1 [一般来说，技术的进步和生产的增长，在其未达饱和之前的新生时期是遵循指数 曲线增长规律的，因此可以用指数曲线对发展中的事物进行预测。
# a9 g' t9 |9 Y( }8 i, p/ ]
3 G% J. c3 ?* D5 `4 S4 Y



& V3 [+ e; U8 R  X$ w) N

修正指数曲线法
利用指数曲线外推来进行预测时，存在着预测值随着时间的推移会无限增大的情 况。这是不符合客观规律的。因为任何事物的发展都是有一定限度的。例如某种畅销产 品，在其占有市场的初期是呈指数曲线增长的，但随着产品销售量的增加，产品总量接 近于社会饱和量时。这时的预测模型应改用修正指数曲线。


1 Z2 k0 U9 _' j( l
9 ~# K5 F2 h2 S' \三和法






$ i2 U1 L( I1 f- g+ v6 n例 8  根据统计资料，某厂收音机连续 15 年的销售量如表 11。 试用修正指数曲线预测 1986 年的销售量。


9 h7 z* c& c8 z7 r/ V
, r* e- I# E* G
% g1 F2 G% _; G2 Z  {8 j1 k

计算的 MATLAB 程序如下：
( m, f  }2 a% N0 x7 V8 E9 G$ x
6 z2 A: M! Y6 K9 [function chanliang
clc,clear
global a b k
7 X0 G, ~) c) P5 P/ v* Dload xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
yt=xsh; n=length(yt);m=n/3
# Y1 b( z9 `2 s: H9 pcf=diff(yt);
$ |! G1 K8 b2 K1 |  u9 z7 gfor i=1:n-2     
2 e- F3 o# ~' a7 e* h7 `# M$ x, x1 M    bzh(i)=cf(i+1)/cf(i);
# \2 c3 s6 b3 Xend
range=minmax(bzh)
s1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
b=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m) a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
k=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m
y=yuce(1:18)
%************************************
%定义预测函数
%************************************
9 B: ^7 b& ?, T, a" [function
y=yuce(t)
# E5 z4 g) {0 V% Hglobal a b k
( W7 J0 Z: ]# F; k& \y=k+a*b.^t;  

2 @/ ]$ p6 z+ l5 r- W9 m* t: C; ]
Compertz 曲线

例 9（续例 8）  根据表 11 的数据，试确定收音机销售量的 Gompertz 曲线方程， 求出各年收音机销售量的趋势值，并预测 1986 年的销售量。

计算的 MATLAB 程序如下：

function chanliang2
. A6 S. B# J. y. a( {2 R/ Xclc,clear
global a b k
load xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
3 ^+ V, U: m* wyt=log(xsh); n=length(yt);m=n/3;
3 s# c8 v* e. K5 q1 zs1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
( ^  C' S& ?2 j  o' S* Vb=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m)
a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
k=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m a=exp(a)
k=exp(k)
y=yuce(1:18)
%************************************ %定义预测函数 %************************************ function y=yuce(t);
global a b k
) U' q( u# K: g1 r- ?; s; zy=k*a.^(b.^t);

: T+ A! x5 |" }+ w0 H& T4 ~ Logistic 曲线（生长曲线）
生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，在三个阶段生物的生长速度是不 一样的，例如南瓜的重量增长速度，在第一阶段增长的较慢，在发展时期则突然加快， 而到了成熟期又趋减慢，形成一条 S 形曲线，这就是有名的 Logistic 曲线（生长曲线），很多事物，如技术和产品发展进程都有类似的发展过程，因此 Logistic 曲线在预测中有 相当广泛的应用。

, v8 p; H/ A! J. i9 D3 m



& h+ ]5 W' H. |0 S( @( i
) H' j/ h$ j: X( E, ]$ K: {
例 10（续例 8）  根据表 10 的数据，试确定收音机销售量的 Logistic 曲线方程， 求出各年收音机销售量的趋势值，并预测 1986 年的销售量。
' e9 ]+ T/ g0 K* K7 _6 G

2 B  Y0 Z( Z( D" v# k. S$ _- o5 ?


1 w. V/ I! A6 I' S计算的 MATLAB 程序如下：
' u9 Z4 F6 X& M
function chanliang3
, d# n7 D% o" B- Aclc,clear
global a b k
; k6 \& m2 a0 g4 h" }load xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
6 c7 i( S$ B5 n& B" |8 xyt=1./xsh; n=length(yt);m=n/3;
s1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
b=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m)
; k/ q+ u: z- D2 V1 Fa=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
1 S& L% @: I& q* o/ E0 G0 [k=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m
" z, T% |/ Z- P3 U; m9 V) _y=yuce(1:18)
  t4 [. }4 t4 ~6 V& i9 C%************************************ %定义预测函数 %************************************ function y=yuce(t);
3 C6 h! Z8 }, aglobal a b k
y=1./(k+a*b.^t);

# r6 ^  V4 t, j2 W' U  ]

趋势线的选择

趋势线的选择有以下几种方式

当有几种趋势线可供选择时，应选择S 小的趋势线。

8 h- A1 [# B, A5 d2 t$ L
0 }( F5 d7 i+ v5 k3 R
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) G7 @" c% F! Y/ O7 W