时间序列模型 （五）： 趋势外推预测方法

浅夏110

趋势外推法是根据事物的历史和现时资料，寻求事物发展规律，从而推测出事物 未来状况的一种比较常用的预测方法。利用趋势外推法进行预测，主要包括六个阶段：
& n' |  k/ G6 Z# r& |
. O2 U- H, z5 f* N1 k（a）选择应预测的参数； （b）收集必要的数据；   （c）利用数据拟合曲线；  

（d）趋势外 推；（e）预测说明；（f）研究预测结果在进行决策中应用的可能性。
% U+ @5 l) S! k0 u; o- J* d  O
/ S: B- E9 {8 J% v7 }* h2 s趋势外推法常用的典型数学模型有：指数曲线、修正指数曲线、生长曲线、包络 曲线等。


指数曲线法
6 S. _  P2 e" F0 p! ]7 e( ~一般来说，技术的进步和生产的增长，在其未达饱和之前的新生时期是遵循指数 曲线增长规律的，因此可以用指数曲线对发展中的事物进行预测。

5 j, c( _) I( b1 y: k1 a6 b9 D% f
$ R  w5 x. Z3 [" _
( K7 l$ a# K1 b1 h9 T2 J6 `
; g" h) Y, G; T& k% h5 W; J1 I3 N1 @, A


4 d. _' e0 a" V+ R/ Y& a 修正指数曲线法
利用指数曲线外推来进行预测时，存在着预测值随着时间的推移会无限增大的情 况。这是不符合客观规律的。因为任何事物的发展都是有一定限度的。例如某种畅销产 品，在其占有市场的初期是呈指数曲线增长的，但随着产品销售量的增加，产品总量接 近于社会饱和量时。这时的预测模型应改用修正指数曲线。
9 J  l6 M. @5 o% z
1 j- S# N, |7 n* x
4 z) u. _- _' w  H8 ~
三和法
/ K5 f  _: T# _! s, ?


: S4 E; P' ?0 Y$ F4 f) D

$ Z; h. [  d. f/ O  ^) M
9 ?: [4 B9 |) s# z; j例 8  根据统计资料，某厂收音机连续 15 年的销售量如表 11。 试用修正指数曲线预测 1986 年的销售量。
; i5 u/ N( r- F/ Z


) _6 x5 x; q3 ~* Q

0 \0 {& z7 e7 ?8 A
计算的 MATLAB 程序如下：

function chanliang
0 D: n/ E0 K- Z5 Qclc,clear
, S  P1 {; @$ W" ^) ]2 i( Z. t* h2 oglobal a b k
load xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
6 R3 _2 H8 j, M! n0 ~1 {: Z( }yt=xsh; n=length(yt);m=n/3
: i1 q% f# b$ _+ K( kcf=diff(yt);
for i=1:n-2     
) X, [: ?! e% ?) C$ R  i    bzh(i)=cf(i+1)/cf(i);
end
range=minmax(bzh)
) e/ p2 l, M) I+ `+ K2 k3 Hs1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
b=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m) a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
$ @. T- q& Y1 \6 ^k=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m
y=yuce(1:18)
%************************************
6 @6 _) W$ [6 ?! A) P. M$ ~%定义预测函数
$ r7 O! a5 U' t4 g, y% i%************************************
function
y=yuce(t)
global a b k
" q3 Q. L' z% N6 w+ hy=k+a*b.^t;  


Compertz 曲线

9 c' y, ?. Z- i3 a: z; j

例 9（续例 8）  根据表 11 的数据，试确定收音机销售量的 Gompertz 曲线方程， 求出各年收音机销售量的趋势值，并预测 1986 年的销售量。

计算的 MATLAB 程序如下：

function chanliang2
# c3 v1 O9 p6 U+ R0 Qclc,clear
global a b k
load xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
yt=log(xsh); n=length(yt);m=n/3;
s1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
  v3 }3 S. j; w1 d! L, U/ gb=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m)
a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
% B9 V) t* ?& R& |  Sk=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m a=exp(a)
k=exp(k)
y=yuce(1:18)
%************************************ %定义预测函数 %************************************ function y=yuce(t);
7 s: q, P% K' Wglobal a b k
y=k*a.^(b.^t);
: Z) G: H' |! ?+ D1 B
2 A+ r& N/ Q! u Logistic 曲线（生长曲线）
( D% G, ?% L  I4 L0 M, I9 e生物的生长过程经历发生、发展到成熟三个阶段，在三个阶段生物的生长速度是不 一样的，例如南瓜的重量增长速度，在第一阶段增长的较慢，在发展时期则突然加快， 而到了成熟期又趋减慢，形成一条 S 形曲线，这就是有名的 Logistic 曲线（生长曲线），很多事物，如技术和产品发展进程都有类似的发展过程，因此 Logistic 曲线在预测中有 相当广泛的应用。
% n# D) B: B* r4 }





, m, u$ B! Q0 z' x( p$ A  x
# b! q& r& H$ r! _6 a: \! \' S例 10（续例 8）  根据表 10 的数据，试确定收音机销售量的 Logistic 曲线方程， 求出各年收音机销售量的趋势值，并预测 1986 年的销售量。


3 q" @, C3 V8 N) m; z& h/ \, k
6 A# j3 _; a* y4 x
8 c7 D. a9 S( q4 Z; p# y
0 D+ h' M4 q5 K1 k5 N% w  K计算的 MATLAB 程序如下：
2 @" h1 J4 l5 S( L6 o) ^# E7 I/ A
function chanliang3
clc,clear
global a b k
+ l7 b) a+ ]8 @" `* f; _load xsh.txt %原始数据存放在纯文本文件 xsh.txt 中
yt=1./xsh; n=length(yt);m=n/3;
s1=sum(yt(1:m)), s2=sum(yt(m+1:2*m)), s3=sum(yt(2*m+1:end))
- N3 Y" T  b8 S( mb=((s3-s2)/(s2-s1))^(1/m)
* h+ k( B+ `1 i( [a=(s2-s1)*(b-1)/(b*(b^m-1)^2)
9 c% E$ q: z/ X. [( j) ]2 Lk=(s1-a*b*(b^m-1)/(b-1))/m
y=yuce(1:18)
) h7 n: Y9 I# r2 G3 R$ G' S%************************************ %定义预测函数 %************************************ function y=yuce(t);
global a b k
9 R; z7 }4 q1 v! Ty=1./(k+a*b.^t);


( F1 A3 \: l6 h: D% a/ o
趋势线的选择

趋势线的选择有以下几种方式

当有几种趋势线可供选择时，应选择S 小的趋势线。

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