线性规划（四）： 投资的收益和风险、线性规划习题集

浅夏110

1 问题提出

$ s2 K9 T0 A: p2 t! \

* x5 {- ~* q$ I% {- W6 ]. t" F

: G& _: J. F1 Z2 Z4 x) a2 }7 i9 J
; {. N0 C, _1 I  W, Z: ]. T5 \试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定资金M ，有选择地购买若干种资产 或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。
7 N+ E+ r0 n6 t! \& D. T0 G
- N" }  w1 S+ R- I+ L2  符号规定和基本假设


' v* j+ c3 C9 t, {
3 模型的分析与建立
4 F& ?# L0 F1 z# l! r0 C' ~) ~4 G
7 C+ ?# e( _9 `


  k+ m3 r( T- z* O
. U! |  Y/ f" O  ^1 t4． 模型简化

4 g' r% G! D1 |, I+ v
$ Q# Q: J& d, N1 Z( X  K
模型一  固定风险水平，优化收益

9 l$ I9 r7 L' O


# p$ z8 C$ Z/ j: A
) z7 k4 W# ]; q& @* o8 V
2 P* T/ D7 S: i' g" b3 D% k% u4 q模型二   固定盈利水平，极小化风险

( W5 g( n& H3 K' }* m3 ]
+ \8 b' M! G. z4 W' i

8 z/ C8 e; @2 F# [/ v5 H: D+ \$ `
3 m' C- G/ u8 V6 U9 A& O0 f模型三  用投资偏好系数赋权
  \& p8 B1 S+ q5 s+ C/ m
9 X& h6 _4 @; w6 J0 z4 C7 Y5 y6 {

' L0 k9 M- k& z( a0 V7 _模型一的求解

' |& V5 q, v2 u% U2 S; H' T5 n

+ o' R, [4 W9 f" m+ d
# f( h% N3 P- A) \  z
' k  e/ L0 b* X6 H由于a是任意给定的风险度，到底怎样没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从 a = 0开始，以步长 Δ a = 0.001 进行循环搜索，编制程序如下：
; g  Y3 [  l4 `8 E; `; }/ N! l# |
​​​​​​​​clc,clear
; q( j/ l/ p+ A$ {0 za=0;
hold on
( y/ G" p) q) P; G4 }1 x4 F( Gwhile a<0.05     
* G' R7 f! x- @  b6 \    c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];     
    A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];     
9 `8 D- j; a& C* E* ?    b=a*ones(4,1);     
: b! g% l9 v2 w/ L% t2 I    Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];     
    beq=1;     
    LB=zeros(5,1);     
    [x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);     
    Q=-Q;     
5 t5 {6 y/ [3 M6 f# r" t( m( m- t    plot(a,Q,'*r');     
    a=a+0.001;
+ N9 o) j( i5 m6 zend
xlabel('a'),ylabel('Q')
  j/ h2 T5 Y9 x& g
5  结果分析
1. 风险大，收益也大。 高收益伴随着高风险.

; J3 T5 l+ B* U7 x1 K/ d2．当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即：
$ W: k0 G* E! {! A8 e4 C* ~( N
: Q4 ]3 v  L& A+ P0 N. g  I+ J冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。
4 U# K' s$ X% ^# f, d$ f. [
7 e9 |) ~/ d  T

" l/ _( Y4 j' g9 [5 }+ |线性规划习题集
1．试将下述问题改写成线性规划问题：

/ W6 d5 a8 n  X2 Q
8 K- M; ^7 S* @1 X
9 H3 G, D! a2 [3 M& r4 E3 D) D2．试将下列问题改写成线性规划问题：
3 ]7 s, c# g" x* R

( V5 _9 W! p& [7 \3 L
) D; m8 D5 y3 ^% M. b1 p
8 S: f2 l; N- k2 a! [8 P# y
$ e/ N: G$ M! f. }  \! l) g
+ x+ E7 v( [+ [

- r" Q7 T# q/ p; T* D2 B

! k5 p) X- @2 n# T" I; p& K
6．某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。已知该目标有四个要害部位，只要摧 毁其中之一即可达到目的。为完成此项任务的汽油消耗量限制为 48000 升、重型炸弹 48 枚、轻型炸弹 32 枚。飞机携带重型炸弹时每升汽油可飞行 2 千米，带轻型炸弹时每 升汽油可飞行 3 千米。又知每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路 程汽油消耗（空载时每升汽油可飞行 4 千米）外，起飞和降落每次各消耗 100 升。有关 数据如表 4 所示。

5 F$ w+ C' o- _& S3 p
7 O" I. Y  _: ^/ L$ m+ U, Y, e
( D8 ~* @6 C. r5 g) j$ E; z1 `8 k/ n
0 y- V5 {" I3 K9 z" y
6 B# N7 R# S" h, ]4 b8 j
/ s; s, G6 P3 `: M" L
8 ]( [2 C! r6 g! b假设：
+ k7 J- t( |- n( ?$ h3 L
（1）每种货物可以无限细分；
/ e! P$ N7 g: ^4 O7 ^5 u! }! Y
（2）每种货物可以分布在一个或者多个货舱内；
; p4 a% g9 m+ u1 X
（3）不同的货物可以放在同一个货舱内，并且可以保证不留空隙。

4 v5 v9 W- p7 E% ^2 a  T' X5 z" F问应如何装运，使货机飞行利润最大？

* F" V9 Q) q' g& J; |2 E" M
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