偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。
$ J3 ^/ S! f; f8 Z
' ^- ?; y! w: L

7 k7 U& L- d8 @# f4 k

表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。


, y7 n: ]* Z" m8 Y" Y9 L
$ k: l/ g  _) C* d+ S! c, z9 t
利用如下的 MATLAB 程序：
clc,clear
) A6 {7 M& R6 p7 @7 m9 M% ~load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
( n* Q- q" ~/ N+ ]- }data=zscore(pz); %数据标准化
  r; A8 T) s! \2 C9 U* Ln=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
+ [' n9 |* X( ~/ y9 p8 Q' Nx0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
' T- S* w6 |2 G' W2 de0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
num=size(e0,1);%求样本点的个数
chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
0 h- _/ p5 K) a3 j' w2 u% I2 D    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
! K9 h* V0 L: O    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
+ {5 i9 @$ t! D" @%以下计算 ss(i)的值
9 {  i8 _) y" S( V6 Z: `8 F* i8 o    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
6 b. ], S- y2 W* M. `, t    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
6 [' R- O& }+ u+ ~4 U% d    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
- ^  P! I0 ]8 R3 O* r    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
/ t1 o6 m1 @" o- q%以下计算 press(i)
    for j=1:num
9 a' s+ y7 o$ |- e. q1 V        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
5 a4 A) _# l+ E        press_i(j)=sum(cancha.^2);
( r1 e7 t3 r+ h. u- D3 W- B    end
: _5 t: {+ x" R) H  j    press(i)=sum(press_i);
2 P/ L1 d4 x1 s3 e    if i>1
- v+ x" p/ j$ X9 m  i" j4 _. S7 ?2 Q        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
    else
        Q_h2(1)=1;
    end
    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
% s0 c: u( l  ]        r=i;
( J) N9 A2 V) Q+ c) {        break
8 I1 H- U* }( l5 Q* I    end
( ]5 f! Q. a9 w- ]end
beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
! b5 l2 N3 W6 ~: j" ~; P+ D% \, cbeta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
sig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
for i=1:m
  g% _6 T6 V. C/ [    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
end
for i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
/ }: K0 E! a( u0 s: y- gend
& F3 L, J& m* |4 |3 {, @& }" Qsol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
% p$ x  P8 c5 A" A9 X  s1 u8 C$ asave mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
/ X# v# p1 f9 {0 X0 v
& s# Y9 c* k2 [6 K4 O


+ @1 l; l* N, T3 K" N

从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。
5 ~. B& h$ T( ]
) z7 K  v7 w. f, n; k

& ?% o! Z7 ^+ t/ F: e
0 p/ K) z3 K# x
, u' x. n/ Z$ c3 O9 P( e画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

; r  {% L3 R' N+ C5 L* A% y$ s$ r画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：
) W8 @" P! A* v
3 v2 V! }: P9 z- F. n1 n. R, Cload mydata
5 ~5 M$ N; U1 g* s+ unum
ch0=repmat(ch0,num,1);
  @# N7 w3 @8 v" K6 s8 }0 R3 z. }2 s5 `yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
) O) w6 B0 `9 I5 t! ey1max=max(yhat);
y2max=max(y0);
ymax=max([y1max;y2max])
, a9 K* J2 |3 G& }+ U3 [8 `cancha=yhat-y0; %计算残差
subplot(2,2,1)
' g% m+ g9 F+ M( V  n: kplot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
subplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
subplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')



, g  v; w; `4 u6 G- K/ T
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2 l. t$ X7 ?  c" S/ }$ F( C0 s) W; g原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89669273