差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
) p9 l7 e/ o6 O4 B! X
+ [( V( F$ w; ?% O8 X+ b


满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
* V' H! v2 [% t4 ]5 X6 o
n 阶常系数线性差分方程及求解
/ Q3 E! Q. T3 Z! O! f5 W


) c4 r0 H. G; H0 _$ G* w! L
( d) O7 Z2 S2 @5 Z; g  o
2 x5 l* g! E- X$ w; ^两个例题
) f  l' N8 W! {. u% b) C
  B* p% t# |5 f
/ U5 {: m+ U5 _& `; B

* @7 u4 o  E3 U4 ^  x解的稳定性
% l" Q2 r( n6 j$ X5 K' u1 M


; P1 a1 `; u3 \. T2 W$ F2 i6 F- Q程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。

5 E# q3 Z" }/ k! j

  r, L0 B5 K4 S4 \+ H. J) c2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
( K; ]5 _) x  L3 Y9 z


2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
) n. @9 Q9 _( c0 D（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换

- h  x$ V7 u% O( O$ J% T0 t
. U4 v7 E6 ^8 T" i* P+ J3 j
+ L2 e  H  Q- N1 `（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换

; O) ?9 m) ~( i! W

; J6 K2 r, V! g. L! e. I（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）



2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
+ f0 T+ F4 k* M9 R/ V2 o" {' N/ Y


（ii）平移性


: T- x6 c7 L  h! k7 M
8 Z' z! p- I9 h
例 3  求齐次差分方程



. G" l5 A/ `8 @6 {  B: V1 G$ b' N————————————————
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8 F5 [& i* V- p" @; `# v
5 o$ m) e" J5 F+ p' a, T