差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介

; j/ q3 ?/ j+ _( G
7 O% _' ^+ Y- B1 O
& N3 o, A/ m( v+ e! U
满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

n 阶常系数线性差分方程及求解
1 L, C  g4 \: ]
& Y0 `- q1 f: C3 j
% j6 [! J8 k0 k8 D; i8 d

5 a9 j% \5 c% ^% L) I3 l3 t# i
( h/ Q4 S3 ?7 |6 D/ S8 P+ ~3 U两个例题

. ~; r8 G- I, A( W+ e) {


解的稳定性



2 S, K( l% a4 [! w' _- T% M程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。


/ q9 ^1 N  O' K4 j. M3 L5 ]% K- j
2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。

5 V' ^) {* v2 |3 s# G8 `

2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
' ?/ ~" S' _) X. E# J
; U! `9 Q4 ~& f. F
+ i4 K9 O$ p  u3 _8 }; f) U; x
; d9 q3 l9 a' `（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换

% l8 t6 t2 G5 Y# x

（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
  ^, Q0 r, ]+ ?8 B3 I  Y( r
* s( ^2 i$ x, G* m
1 B2 ^. g' I$ @) R3 {4 m
% [; m+ `; ^5 {" S1 B7 Q3 Z( Z2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
4 |0 Q/ X. C: S% P$ M* T9 P

( T2 I+ ^8 W7 R  W" h
8 u1 C0 [  F0 p$ }（ii）平移性
# t5 w4 K1 E. i% L2 K+ G


& S5 @) k9 f  ]9 A+ Z$ G
- z2 e9 v: f  }) H7 i" }3 {例 3  求齐次差分方程

+ y6 _  _. S4 b# _
; e) O" K1 O! R4 _8 k+ t
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