差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
7 X$ }9 q5 h+ G# X



满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

n 阶常系数线性差分方程及求解

+ W- z0 @6 [, F! L
( c8 A' P  v7 K


两个例题

# t& Z, m3 @* l7 }2 e$ i
( A: |0 U# i5 b7 e" @% ^& x

9 }$ A* ]/ r; o# F1 T解的稳定性

/ R% v$ M% {1 I  N

程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。


4 O6 G* G/ ^8 ~/ d" j
2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
; o, X: j2 l0 Z% R, s

; l1 Y, m* v! v3 ?
9 ]% n! S8 y$ K# o0 L/ B2 @2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
$ ]4 O& @+ g' J- a7 @' l" {/ k
. x; z/ Z' ?" Y: a8 ?

- `" W$ q3 Q( Z$ q% A6 J$ }( |（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
6 l4 E% z5 d$ _1 o
% a8 O3 H6 o/ x* m; @

（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
) v0 j/ Y: P5 B. [3 _7 }, ^& H+ C3 @


. U8 H+ @! u' x1 C' X( a1 a2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
5 |' y9 g" o( H3 {' q& ?

' c/ I2 L( J) \1 n0 Q, Z& x  m7 _, B
（ii）平移性

# I+ P6 K) N6 k8 F9 O
1 k! N0 H# z* I0 q4 v; `
) m, O- |% z, E; U7 ?" o
例 3  求齐次差分方程



. O) _1 \4 K, o7 D- u. s, V. O# H; t————————————————
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