差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
5 K$ }  n% o9 ^  G2 `" B
2 p8 w. k$ a0 ~5 V6 j+ `  m


; P% z7 m" I# ^* A+ K8 Y满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

n 阶常系数线性差分方程及求解


! ]- g/ E/ @. K/ C  R, T
5 @/ C/ ~; x1 ?. l/ P7 `

两个例题
2 n# A$ o) T. Q
8 e- Z, m4 j3 b7 \
8 f3 ]# u; F& d1 e3 t. A/ m* H

解的稳定性
, n$ y: l# G; F9 f6 ]$ u
# _3 w/ Q, D" k" i9 r
% j6 v0 x) Z; r, T% }
程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。

* t; A' x. ?5 A# q7 w

2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
4 R. v+ J! c& h4 S' p/ S) m常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
& b3 q+ q5 v( s/ P( f+ \  e# s9 z0 B
) _8 v7 |) y  v4 X# i+ g
9 c0 x# c! T/ S6 N2 }. `  p
: W$ f4 r9 m0 p2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
  l/ o# |3 D9 y; `& |# K7 W2 o1 ]（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
+ I4 B# _. l6 ]+ M) ]: {( _

2 e  c9 `* H* O# F
（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
" q% b6 P+ @3 Y+ q' m. r

7 e& ^% t7 v/ d6 m  [8 w
（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）



9 n4 X) f0 U% f6 Y+ F& m+ T2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
1 b4 B6 _8 _! F. V
; U, _2 j/ t. ?4 m8 _3 i- M, w

（ii）平移性
2 F' V9 v/ N' s$ J5 \' S

# T% G' \& T9 L, T8 l
$ z6 k' g3 T  }& _
9 `5 Z3 J+ h* S: V" @5 O例 3  求齐次差分方程



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