差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
- k$ o9 _6 i$ g7 V1 V# G3 `


  V% J& b; ?3 p& C7 N8 C+ s2 b
4 O& m- X% K8 _' P. F6 ^2 [' j满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
# N: r5 l) v, m. v
n 阶常系数线性差分方程及求解

3 a- c$ W6 w- n; c5 K" H. P* p
' A( \5 z2 m4 H: G/ h
1 H% C8 H8 d0 q/ ^2 |$ J; H. j; z. \

5 T" m1 v  w' M3 q两个例题
7 I7 }4 {' S4 j+ C$ ?' w9 M


+ s) J4 }" k9 F) Z9 `4 ^, H4 B. `
解的稳定性
2 O) ?) Q" }* ]- ]5 h+ E! D
' F4 K# p  M6 m9 n

程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。

; k' L: e# X; Z- i8 O" `
, r3 x- y% A5 K( P" V3 I2 K
2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
) q4 h) h- `! ]6 p- [$ ^4 y  G* |


1 ]/ F' I6 Y; e. d. \6 B2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
2 d0 |3 ~$ r* c! I（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换

) r) [4 O3 e/ f" s  T! w! I4 G

# N" B2 \9 v+ c1 L9 H7 Q（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换

: Q2 a, v1 C% L) e; U+ _

( F" A/ I: Z9 I( E" v" ~（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
: Y5 P. D+ i! b; V$ S


2 Z* Z/ B6 W4 g7 l9 b2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
1 D$ ]/ v' ~$ f# E+ N* Z. M) [+ a6 X6 {

. @2 R! |* d" B& X% `+ r/ I8 t' N: R
9 R# |8 _' v+ |（ii）平移性


7 N# ~, t4 C7 m8 N2 p
0 u  o% H7 C% E' j( x8 ?+ N
6 f6 \2 C5 f' ?8 G% o' u$ U例 3  求齐次差分方程
8 R% _5 o) r! P( \$ O7 S9 V" f

9 [# o, {7 S( |3 l/ N& S
3 a+ E; o. s1 F5 w( L8 c————————————————
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