差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

1 常染色体遗传模型
* A; M: Q/ h" h+ Z. Y! J常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。
6 [  _9 C& L0 \: y8 q
8 S% B0 {' ^) R* l7 y" {- x
0 I; i3 ?2 r0 T  c, K
( i. z) w% R1 j4 _: B例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？
! w( r  H' N5 s) L" h6 G$ `& ?) O
: d) L: W! d/ W* a0 ?: Q/ P（a）假设
令n = 0,1,2,...。


7 z. z. T# }. N8 G' _# I


9 ]: q" [+ E/ ^( ]" ?1 l（b）建模
2 U& R2 K8 |; M9 N


7 @8 L7 k1 p1 v2 b: A3 b) }

. B7 [2 q' q0 k$ Z0 d
编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
( S2 ~5 s7 S+ jM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)
. p" s4 M1 Q/ e; S, |2 h
1 x( L+ s) O- i2 H$ E  K+ f
  T: @! H# I$ x# I" U

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
. d- m2 B' M$ E& G7 @* hM=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
[p,lamda]=eig(M);
! |4 o* D0 {" D7 w# i+ M' Jx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
8 b1 m/ w9 b9 a0 kx=simple(x)



: P3 ]& T1 ]8 s2 常染色体隐性病模型
8 i' r$ o4 w- [1 R1 B现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

1 \: k7 ]5 g" ?: d3 Z6 F（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。

" X4 o5 M; h* Z' W' b3 [

& Y$ J6 `( U& i; C9 \. a （b）建模
) h9 R* g# v: @


4 i4 |0 U; X; P" W, d


4 r- N* m* r) G+ ?5 \（c）模型讨论
研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
) n8 q: B3 Y* B* Y
0 a" G! c* N6 B6 ]2 B

8 t6 {2 ^3 E4 ^( _下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。

3   X − 链遗传模型
) f  J* S5 z  ]8 O: ]; Y' xX − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

+ Q4 k/ d5 o9 x6 l（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。
' }* _, U, o$ O) }
（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。
/ o1 j) w) X" V9 @0 \3 {3 z" L



7 o. {1 g) l- f8 n  b

4 x; e8 Y/ x" p) U& Y

  H% a# E/ g9 o0 O1 n) \编写如下 Matlab 程序：
) ]# q+ S2 H0 n5 P2 p7 M, I
syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
+ p' ~; G) E4 R; K6 T, {% vM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
M=sym(M);
* b. T& g5 S, ?6 G% s[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
x=simple(x)

由上述程序计算结果可以看出
# g2 P. z0 e" |2 ]$ m' W8 X% W
, L" a7 a& A0 Q3 t% B$ Q

习 题
1. （汉诺塔问题）n 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 A 上，大的在下， 小的在上。现要将此 n 个盘移到空桩 B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过 程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩 A 也可利用。设移动 n 个盘的次 数为  ，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。

$ K" ^# f4 W5 d9 N" x- V- k3 m2. 设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月） 开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有  对 兔子，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。
1 }- g9 Y$ k' c! ]8 D, c
& a: m9 c7 r# G* F6 w' b" Q4 Z3. 在常染色体遗传的问题中，假设植物总是和基因型是 Aa 的植物结合。求在第n 代中，基因型为 AA, Aa 和 aa 的植物的百分率，并求当 n 趋于无穷大时，基因型分布 的极限。
2 e9 V: y( W$ ]4 }# P5 p
7 Z6 P/ ?; b7 ?0 _

1 r" v# A+ q0 ]5 g/ I. Q: c
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6 b. R' t1 o! C- t: |( A' p原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596


: c' \! i# o; u: N