差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

1 常染色体遗传模型
/ `/ Y+ _7 o, t9 X# I; q$ D常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。

( V$ Q7 t  k% Y1 B$ p
& c3 Z$ q* t! d) P: A* d+ D8 L& t. G
) ~/ f% U( v2 F( s# e例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

（a）假设
& t) [: `3 m, B  x& q令n = 0,1,2,...。

) ?+ j: e0 c) N7 N4 D) c0 ?/ O  F



（b）建模




0 w; \* z  ^2 P7 S  ~; F
6 N1 h5 l: ^6 U+ Y  o! t
( {+ J6 ]  C' W  v$ k编写如下 Matlab 程序：

; j% R8 G) l2 G! C7 i) |" h* lsyms n a0 b0 c0
+ C/ U0 g  p) v" {: v* M6 T" K6 YM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
2 T- I3 J8 v' R. I) Ux=simple(x)
& S5 c. b6 u9 M* x+ O$ o% N

; B9 U# c5 B5 }+ S6 {7 n/ s

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
' q6 _. G, w! M5 f- l[p,lamda]=eig(M);
+ t. X3 c; A- X  t( ^x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
x=simple(x)

& b- u! X3 L8 B! b  F/ J! f" i" o
- F1 v9 T) R) j! p! l
6 n6 z2 r- e9 q6 n2 常染色体隐性病模型
现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。
& t- ?" ^# }& r4 S
（a）假设
4 i+ A  O4 W  J; p7 P（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
* p' d# \6 i0 m2 S3 I; y; Y. [
3 F! s: F6 L# u6 S$ f& _2 u' X
0 W# J1 x( H! |  n7 u
$ G5 a6 R5 p) B （b）建模


! ?) d/ n& h( U) O4 j

( Y3 n8 a3 k9 o- D5 X9 A
; M- J0 {) ^$ h/ d
（c）模型讨论
# z+ i# h' F: ]% n; `" D1 b" d3 w研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为


) E) r# W* q( e/ s( Q2 d+ J% x$ E. @
3 e1 f0 {5 _  M下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
+ q% C$ w3 ~( i7 i
3   X − 链遗传模型
/ K1 c! L$ h* x- ]X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

（a）假设
# V: ^8 ?! p. {0 P9 ?% K0 R" b) @. [（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

+ @/ d% X& l* u6 q  Q1 f3 ?6 h（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。
, O# b( T8 j/ f/ y3 V
3 \2 @2 F% V! c1 ?! q, r$ M
7 U: ]1 S2 J5 D8 N: z0 I

5 Z( I0 K' S6 I1 o( S
8 K6 N8 p* v7 H) a5 b
, P0 m  Z' F$ c, Y# `

编写如下 Matlab 程序：
0 W2 ~# d2 e  Y, j1 L: H0 c8 A
8 l" {) ~, t9 T$ M4 jsyms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
! c8 ?9 ^; T' z! KM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
" p7 X3 A: h5 b 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
+ A" M4 h8 h, e$ sM=sym(M);
. p' d, c1 G6 F3 B[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
6 N/ `3 R$ z% a+ y' F1 kx=simple(x)

: ?, A$ `: y2 d! _2 `由上述程序计算结果可以看出

# ?( D$ |" }2 I' q6 j
: W1 [+ M: ~1 M+ j! @
习 题
1. （汉诺塔问题）n 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩 A 上，大的在下， 小的在上。现要将此 n 个盘移到空桩 B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过 程中，始终保持大盘在下，小盘在上。移动过程中桩 A 也可利用。设移动 n 个盘的次 数为  ，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。
0 j: i9 e- t/ D! E
2. 设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，同时（即第三月） 开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第n 月末共有  对 兔子，试建立关于  的差分方程，并求  的通项公式。

, W) R+ C8 @$ V* s/ ]3 d3. 在常染色体遗传的问题中，假设植物总是和基因型是 Aa 的植物结合。求在第n 代中，基因型为 AA, Aa 和 aa 的植物的百分率，并求当 n 趋于无穷大时，基因型分布 的极限。


' R5 f7 ?/ `$ d% ]: F, Y+ Y

4 A2 Z$ z( |9 X9 I# H1 x————————————————
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