偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。
+ r' b6 W- x. D( C4 n5 w4 w" w


2 Y' @$ \! v+ F0 z: B


表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。
5 W  K1 M- q; K1 Q5 H


8 Y9 q, ^6 c# G/ M: K: G* q5 x利用如下的 MATLAB 程序：
6 K% o; W3 v8 U1 S, f
% \! K5 S- h5 f0 K) sclc,clear
  j$ T! N+ `: E! ]5 ~0 |7 Zload pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
% P: |# K, g( m* w) [rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
! h& |7 g5 [/ G( b: E" vdata=zscore(pz); %数据标准化
$ F" P7 d# Z" q/ l2 O6 o. I$ ^1 kn=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
+ K+ t; D( |  R* m* B2 Fe0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
. G6 a1 d8 r" S. U* xnum=size(e0,1);%求样本点的个数
; S0 Z! f* S  R' o$ {. O4 @: Qchg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
$ E+ P- {% k' H    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
2 d5 u9 B" a3 D& T1 D0 z( u    val=diag(val); %提出对角线元素
/ `7 p" c& I; Y. g- C    [val,ind]=sort(val,'descend');
6 j. N- r( M% q: C3 P    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
4 E. y& G. N7 a! O: j: p5 a2 ?. N    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
+ i8 I' o/ Y4 ?4 [    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
7 P0 d' Y, y- e$ {    e0=e;
, g7 z* ~- j: c%以下计算 ss(i)的值
# l' w$ Q* Q# H. {! ]$ X( N    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
! W: B# o, M2 F) g0 D' R    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
( z: C6 ]4 Q2 |0 A- c- _% p    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
" H: L8 p; n. l  s%以下计算 press(i)
    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
" q5 q% v1 P: m% t$ ~; B        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
' j5 h' M1 K/ \/ N. V- a9 L  n        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
7 L+ w1 I# m: u( ~; w% N, X        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
7 v  p1 b9 m9 G        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
        press_i(j)=sum(cancha.^2);
    end
  t( e+ ]3 B. k8 F) c9 C: n    press(i)=sum(press_i);
    if i>1
        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
. \% V6 Y$ b; K6 J% K1 @" e- z9 P    else
        Q_h2(1)=1;
- E% ]/ s- y6 s9 R! g/ W) ^& V: [    end
' V! ^5 \+ _3 q" v! N; u    if Q_h2(i)<0.0975
        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
        r=i;
        break
4 k- e7 q! L: u- _    end
, e# t( |$ z! x# oend
* a% C$ b5 y) n! h$ |6 ?beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
8 P: [& j/ p4 p; Qbeta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
每一列是一个回归方程
; O* c( M9 V# n1 e9 Imu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
sig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
$ C1 m, A( e; B8 C$ xfor i=1:m
    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
end
for i=1:m
- _0 j" y& Y3 @$ \1 L    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
* R$ X" @' @1 ^' d  j( r  Kend
" _7 I- R5 U8 ~( x% ]* Zsol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
save mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
9 s& x2 ~! ~  z& }7 q4 r# N
2 u7 |. B" |$ H- N( ^

9 X' m6 T( Z  x
从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。
$ l5 v+ Z3 \( s  ]

6 h+ |. d' U4 a$ v! g

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

load mydata
num
ch0=repmat(ch0,num,1);
yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
6 J* P1 _% u) _y1max=max(yhat);
y2max=max(y0);
! e( r: S  `! iymax=max([y1max;y2max])
cancha=yhat-y0; %计算残差
subplot(2,2,1)
; z" \1 Z7 Y1 Lplot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
subplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
subplot(2,2,3)
plot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')
2 x% v4 v' X( U- C

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& |' N4 p% R1 B原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89669273
5 q8 n" ?: Q) n" J) t; S1 J