偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。



* _: |+ h. e5 i5 {0 Q" q. ^


表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。



利用如下的 MATLAB 程序：
& b$ O2 A$ t/ `6 T# O1 _4 v9 ~& K' h
clc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
2 ?+ v- q5 N2 K, tmu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
1 n3 u* N, W3 Fdata=zscore(pz); %数据标准化
. Y% M7 o5 E& A" Y" v* Fn=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
6 d5 P9 i' N( k0 H8 \e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
num=size(e0,1);%求样本点的个数
' ?+ T: c/ p  Y# R3 c/ xchg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
1 u$ Q* Q# _# k8 h  `%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
/ i8 B; G1 w+ e  y    val=diag(val); %提出对角线元素
) D/ v" J) p: s( m. B    [val,ind]=sort(val,'descend');
! ]! V$ T; S6 x: S) ^, x    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
' d& |6 e. X% V5 }3 J  G    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
- H" m- ^1 v4 ^4 t    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
    e0=e;
%以下计算 ss(i)的值
1 a& S( E; [' t( M    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
. K5 l1 X+ Z+ _5 C    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
%以下计算 press(i)
    for j=1:num
        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
( Q& ^* R- h6 |( O3 z        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
        press_i(j)=sum(cancha.^2);
! {/ p1 y% x" B7 R  e    end
( X7 l% V1 L  X5 ?4 B, C  I1 W% D    press(i)=sum(press_i);
    if i>1
- ?/ Q" m4 ~2 Y$ f0 K. [% _9 s( }        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
    else
3 X1 M/ g9 U1 T9 o4 S        Q_h2(1)=1;
4 N1 u3 z1 n( l1 ]6 v7 I8 L& z; K    end
2 s1 G# {  G; D+ g    if Q_h2(i)<0.0975
) L5 L$ E3 t# v% W: c% z! o0 M        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
! g; Z, a' u: q% ?        r=i;
  T/ K3 Q2 @) X) e) G        break
    end
# @/ k1 ?& j8 d& y& {end
beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
beta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
每一列是一个回归方程
mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
sig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
for i=1:m
    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
end
for i=1:m
' B# `& K; |8 B( v. |6 s- N    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
' J9 r5 K9 a9 j' G; m) d& k8 M( Gsave mydata x0 y0 num xishu ch0 xish


/ [% [3 J* _$ p5 F+ `6 F

从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

; E$ a& Z8 |7 ]2 Uload mydata
num
# \8 N+ [! [6 U0 ~: b$ rch0=repmat(ch0,num,1);
yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
y1max=max(yhat);
' ?/ r" `1 t; u" Q7 Ty2max=max(y0);
8 ]+ R! t/ U2 e* S+ z& eymax=max([y1max;y2max])
. W# Y. v% k) I& ^cancha=yhat-y0; %计算残差
subplot(2,2,1)
plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
; f! D8 N5 T' e9 {9 `subplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
$ A, {* V9 V, D8 c, m, N, H) ^subplot(2,2,3)
/ q7 u7 K* [# X8 o3 `$ C; gplot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')


6 I8 m8 g' w' b7 O————————————————
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. u9 S" Z; L" _7 h/ M( `4 Y
' f- ?3 T. l  S3 m; t' B