偏最小二乘回归（三）：身体特征与体能训练结果的 案例分析

浅夏110

本节采用兰纳胡德（Linnerud）给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建 模。在这个数据系统中被测的样本点，是某健身俱乐部的 20 位中年男子。被测变量分 为两组。第一组是身体特征指标 X ，包括：体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结 果指标Y ，包括：单杠、弯曲、跳高。原始数据见表 1。



) o, A) t5 f  n$ [% H
3 Q. K+ k% F) E5 p' j4 M) K& P
+ e, W. Z8 b& a  U
表 2 给出了这 6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出，体重与腰 围是正相关的；体重、腰围与脉搏负相关；而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从 两组变量间的关系看，单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关，与脉搏正相 关。
) H" P. j- I' n( S  N* Q2 e# @% O
! i* l2 P/ T5 W# ?$ Y

" {  G( E- C% c: J- o利用如下的 MATLAB 程序：

clc,clear
load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件 pz.txt 中
mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
; _) w, m9 B3 h: Grr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
data=zscore(pz); %数据标准化
n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
+ q0 G- N4 ^, }; s! [5 `x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
: s- |1 P4 n$ F* U* A$ P$ U& |$ ~num=size(e0,1);%求样本点的个数
$ W( `. M$ n; a! L2 ?0 o1 o4 H0 ~7 ?chg=eye(n); %w 到 w*变换矩阵的初始化
for i=1:n
. l0 ^; ]- I' p* H1 d; S- `% t8 |%以下计算 w，w*和 t 的得分向量，
    matrix=e0'*f0*f0'*e0;
    [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
$ @, N( k! c/ M/ v/ O    val=diag(val); %提出对角线元素
    [val,ind]=sort(val,'descend');
( J# Q# f, k) A& c    w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
6 h$ h" r' R! v! i2 Z* o8 _) K6 W    w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算 w*的取值
    t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分 ti 的得分
4 @4 @' E5 m% n1 ]6 E    alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算 alpha_i
    chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算 w 到 w*的变换矩阵
' C$ ~/ R- u" F7 F  S( o    e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
6 g8 F/ Z2 ^1 b4 J! s; O    e0=e;
% W5 {4 e7 G3 }" ~% c$ E4 z) l%以下计算 ss(i)的值
    beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
0 Y; u. V; O  Y6 N( W    beta(end,=[]; %删除回归分析的常数项
/ j- y2 P) m" b9 y. y! R6 i9 k& q    cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
    ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
%以下计算 press(i)
    for j=1:num
' x% R8 t# N" _$ v5 `4 k        t1=t(:,1:i);f1=f0;
        she_t=t1(j,;she_f=f1(j,; %把舍去的第 j 个样本点保存起来
        t1(j,=[];f1(j,=[]; %删除第 j 个观测值
* J0 \' O& H1 c7 e. A! r        beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
        beta1(end,=[]; %删除回归分析的常数项
4 M( v. o3 d2 Z1 q. i, v' @        cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
        press_i(j)=sum(cancha.^2);
; M7 ~7 }/ O6 f3 m4 w- X: E    end
    press(i)=sum(press_i);
    if i>1
" u( m4 [; G3 ]; ~        Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
    else
, g  S6 L- `( U        Q_h2(1)=1;
    end
    if Q_h2(i)<0.0975
2 D2 }) C/ `0 A& @8 `2 H- T, x        fprintf('提出的成分个数 r=%d',i);
  f" S0 @- l7 R3 x        r=i;
- e, i# e" b& o: i% a        break
    end
end
beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求 Y 关于 t 的回归系数
) E7 g4 D' u8 Q  ~0 g8 g* H' q/ wbeta_z(end,=[]; %删除常数项
xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数，且是针对标准数据的回归系数，
- _& {& i6 y, A3 X' a5 P) }每一列是一个回归方程
8 l/ M9 r3 W5 [" J1 J( W" u3 u5 w% umu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
sig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
for i=1:m
; q- s; J* r9 A6 ~* h; a1 F: D    ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
end
1 R: m; K7 k! }' ofor i=1:m
    xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数，每一列是一个回归方程
end
6 \( ?3 B/ g  R1 i! h. V2 ksol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数，每一列是一个方程，每一列的第一个数是常数项
) k7 L) Z6 ^/ N9 A: @! l7 ?save mydata x0 y0 num xishu ch0 xish
) V! ]) n- ~8 v  }( m; i
! s" s  X1 f. ]2 n


从回归系数图中可以立刻观察到，腰围变量在解释三个回归方程时起到了极为重要 的作用。然而，与单杠及弯曲相比，跳高成绩的回归方程显然不够理想，三个自变量对 它的解释能力均很低。
# \, A4 x; S" }: p
% R; y  A8 T8 S# G/ c$ u$ X& `
' y. t/ o$ \" X

画直方图的 MATLAB 程序为：bar(xishu')

画体能训练的预测图的 MATLAB 程序如下：

load mydata
num
8 q! @0 ~4 |. p7 l# U0 |7 F5 _ch0=repmat(ch0,num,1);
yhat=ch0+x0*xish; %计算 y 的预测值
y1max=max(yhat);
y2max=max(y0);
4 J7 i- J- t) v6 T) K3 }$ w' Y# eymax=max([y1max;y2max])
' _& C/ V1 }1 T- Pcancha=yhat-y0; %计算残差
subplot(2,2,1)
  X: \2 t$ A( H( G1 r' }( ?plot(0:ymax(1),0:ymax(1),yhat(:,1),y0(:,1),'*')
subplot(2,2,2)
plot(0:ymax(2),0:ymax(2),yhat(:,2),y0(:,2),'O')
subplot(2,2,3)
$ v! e+ [" N/ X4 b! Lplot(0:ymax(3),0:ymax(3),yhat(:,3),y0(:,3),'H')

. d' x8 E& a. B
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