差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介

# Z7 {% s6 n; n' o
8 d1 [+ g) i' w8 }
+ o1 k& c. N$ D' [( R满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
- s) R, ^# }3 E1 ]+ i! H0 ?7 A
n 阶常系数线性差分方程及求解


/ l( q; O: ^3 l3 c: R: v


2 \" Q) l" J2 i2 i" R/ U* T两个例题
9 {  b4 X6 o* Y) z  P

+ T+ z  u% w) B4 G; u1 F


解的稳定性



程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。

7 M! @0 a# U8 q. ?5 ]% P
6 D  [/ t9 e' @7 `  O
2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。
" f2 u- ]9 q# D8 W6 |5 f8 H


2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换


; c  h  @) \" r0 M2 l9 g) D; [4 n
（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换



（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）

+ g- K( A; _, n0 M! e) }

/ X5 D0 Q; P& [! w2 @. l2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
) m- U$ B6 D# K


（ii）平移性
" l, n; _# j( A. a- `" ~2 ]2 _

' g* S' ^9 W. k
例 3  求齐次差分方程

& j& [! C) ~4 P* V; ^. n2 `

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