差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
8 I. R  M6 E! S; B- d
9 D( P; H# x* j# a2 J
+ `1 [( F8 J- }1 W& M
8 U5 q0 d% ^% S满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

6 J) }+ H5 y3 ]( H) P6 A n 阶常系数线性差分方程及求解

8 T& i8 Y3 y+ }: G4 J
8 t, s1 d0 U" b& z

9 d" ^# Y/ {% i3 Z3 B3 R, V6 C
8 e4 |( g; R& }% B( I6 t0 P( U两个例题
9 r2 \% G: I& |, o5 ]) i
# f3 t; H% n& d

" c1 Q( e" f& }% z7 t7 T( J5 v9 R

解的稳定性
) V+ s& a. |* |5 k+ g
4 ~% Y" H' g: Y' ~0 Z0 Z! _2 p
% M4 w4 g6 r5 U% V5 f5 ^
; w7 Q9 r7 w, @  D2 E程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。


+ ]) z; N4 w, A" `, M$ n
! f2 w1 y3 a% b2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
; B) ]6 V! l. o3 F常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。


7 I; T$ y8 o4 A2 y3 g# q4 c
2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换

  G& J- Y% D" e$ k4 T1 C8 Y2 @
  @6 l/ \: R  ~4 U3 |- N6 c
5 \) i5 E+ o, s+ ?' {) x（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
+ J: K4 j% u, n' o. ^; v6 L

- O* e* ~( M+ K$ u! G
（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）



, Y8 r) M7 T* w- U' b4 ^0 d: U2.2    Z 变换的性质
$ z- I( g( z1 `8 R( C（i）线性性质
0 [: h9 W; v& L' z8 [* p- q
7 k! E* w' f: A) Y" O! v
6 R# a, \6 x4 P* c
（ii）平移性
- H- x; i2 W; n; N. s' e% K
9 H' L: M( f' q1 y9 I! S
1 L4 i7 z7 }  _1 L1 f& c; \
例 3  求齐次差分方程
6 Q' i% @5 Y( e5 L: l


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