差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
) ~4 N. ^! f% `7 p( S. \' `
4 d8 `/ T! v* ?7 [- a

满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

n 阶常系数线性差分方程及求解



  B6 I1 k% |( x9 x: X' A7 a7 u
  N0 I( e2 K$ k3 I
4 }! x0 h; K" l& j/ Q- [两个例题


5 f( U) |0 \  J! o) z6 k
. K7 W* g2 X1 y0 P
" z3 f( w7 {/ q) _: w
% d' \7 W& A$ G5 {  B' {/ ?解的稳定性
$ y" K) }  P) h4 k+ d; N


程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。
, S$ V- Y5 h2 [8 ?


1 q( I7 }+ H, m8 @( n* Q: e  v) B$ D2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。

8 q8 k9 A  V# Y: r+ j+ ~
% g! x1 _* d( N# G: r5 ~
2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换
* k8 t% r  Y/ h  L

& x1 ~% R4 ]" k2 D; s" y" |
（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换
# b/ C# U/ C' {8 ~3 k4 u# ]


5 M% N- G6 |, ?# s/ @/ U（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）
+ P$ h: X+ _) l3 Y- L! _" J8 J

6 V$ H6 z! q  d+ G4 ]* s% R1 g# X! z
2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
2 f8 P+ s+ p: p8 I* F3 e


（ii）平移性
- `8 H! U: ?% H/ G# y) X: P; f$ _

' J! ?1 r9 A) j* O% _$ q
) S1 t+ V# S- J' z6 y: P例 3  求齐次差分方程



) F3 C4 Y  f0 T————————————————
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) x3 i- h! x7 H! i4 H! l/ P
) w* I8 Y: y) Y7 D7 B# D
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