差分方程模型（一）：模型介绍与Z变换

浅夏110

1 差分方程简介
" z" I) u: A& x4 P5 E9 l5 D
$ x# [  {2 s3 g8 l' B: L$ p& Q
6 O8 u" M9 k; z  \8 P( j
7 s$ h1 t, r9 _' X3 I2 o4 q% ]& H- d满足一差分方程的序列 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任 意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
4 x+ T0 H8 k9 a" T
: S  C( A( m2 L) N8 Q( O  |6 b5 C n 阶常系数线性差分方程及求解

$ d8 a+ n  e! u$ a: {, ]& C6 e4 L9 }
& I/ J, y5 O# K3 `( D
$ e8 T) A+ M9 @: i8 U" _2 h
, p% o& Z9 O4 i  \' U
两个例题
& ^+ [& U8 e- P) Q5 |
1 x" j% H) w, K
- O) H1 n0 q0 }# Q+ I

6 [: V" k( a/ X2 B* g$ y
解的稳定性


' r/ [! G- f8 u9 y" U
程（1）稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于 1。

% j3 @" P8 W3 N8 s; v; [: N
0 u& A1 z9 A* g/ W
/ b' s* z0 @9 d2 常系数线性差分方程的 Z 变换解法
! m! R/ J. W0 h/ H; ]) J1 D# y: b+ B常系数线性差分方程采用解析解法比较容易，而且对其解的意义也容易理解，但采 用这种解法求解常系数线性非齐次差分方程比较繁琐，通常是采用 Z 变换，将差分方 程变换为代数方程去求解。



+ |5 R2 }: F: u* c0 m" D9 w) X% |2.1 几个常用离散函数的 Z 变换
) O8 k  ^6 d5 z（i）单位冲激函数δ (k) 的 Z 变换

: E5 S+ A+ @- Z5 E1 b% x* ]
' J& x2 X3 D* f7 G5 s
（ii）单位阶跃函数U(k) 的 Z 变换

* `+ r7 k: i# S3 J0 E
" ~4 I. A" j3 \# k4 C" `% r
% |( B1 c* z8 `4 l; y* }4 T（iii）单边指数函数   的 Z 变换（a 为不等于 1 的正常数）



% E2 H# F9 f$ F2 {, p. @% ?+ R2.2    Z 变换的性质
（i）线性性质
+ _, }: ?. S2 i  \7 y3 b


# _( I; @: N+ _+ a& \; b（ii）平移性
* w& D, ~$ b3 x3 x9 l& |

% W) L( }; g- |0 d8 e& ^
9 D8 w$ d; P1 A( u% t- D例 3  求齐次差分方程
- r- M2 R3 F6 C9 L
) I1 R4 j' d4 A" ?
4 ?* O6 q4 O- D/ b
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9 q* M+ T: ?: q1 [

) E+ Y, C  E+ Y