差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。
  L" H3 W$ `! |% x' N1 ?
1 常染色体遗传模型
5 i. Z+ \, {" M* |) y0 G5 K7 g常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。

; ]1 b" ?" k! V3 E

) y% J, W3 W5 W" t% Q6 R3 K例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？
& \" h+ e+ P  C7 m( S3 i3 Y
. y0 }# }# y( C1 V（a）假设
令n = 0,1,2,...。
3 v. f2 G- Q. O! t3 g1 t, @) H- B
0 A, O6 p5 Q* y# [" [& `  T
$ [% j% y6 B# }. p
4 r$ b9 u9 R5 q' z1 {  w（b）建模

. w' g5 G2 @" E4 B5 H$ a4 m/ H1 s

, T$ Y+ O# ]. ~. d6 X+ x( E

编写如下 Matlab 程序：

. o/ R8 F7 u" k; O; p, v% ssyms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
5 Z1 c$ m4 M) |( e1 `x=simple(x)
& T. ?6 n8 }% T/ J
" ?& d) O0 D% @" s5 [! p2 w

4 s# M2 Z/ R: K1 B$ {

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

! B+ I) _8 a% r: M$ ^

编写如下 Matlab 程序：

$ \( m  k3 O  ^) y$ g0 j! J1 Rsyms n a0 b0 c0
9 J4 P3 K% q* q0 m5 GM=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
# ?" a8 L, B/ w) F( M0 R. R[p,lamda]=eig(M);
" ^& A5 r' a' O) X+ F6 h% d0 Hx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
x=simple(x)
% k5 H  k6 n5 O. }, O4 f/ Y# R+ D4 y


) _6 u  T; m) N# g
) E4 P/ E  O. Z2 I9 f/ ?* |2 常染色体隐性病模型
; [: M! t; }* b3 k现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

（a）假设
8 I0 U( R! f5 o$ M' I（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。

3 t) {) M4 k1 V
* P8 E, @! N& K* J1 |) ~
（b）建模
* v. i0 x8 K2 p  k- n5 X! x% F. c
9 V3 y6 X% T4 N2 I; B5 g7 P' I
6 e  L/ ~1 r8 U' [4 q

) _$ q1 B) h9 c8 f' V2 O
. j5 v" `5 ^: U, v% J（c）模型讨论
5 {7 [% x  w1 b# O; m5 ]) F! f9 ?研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为



下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。
: ~+ h9 W. f7 u3 h6 q: E
3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

; O# b. u5 _1 L9 M' f（a）假设
- X2 D1 D: o1 J9 f（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。
+ k5 a6 ~% w5 Q
& O6 Y) k! u4 g（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。
6 Q- S5 t/ }! k9 m7 J
7 t- W4 u5 F# j9 ]5 d3 \1 X) Y



7 w; n7 ]. _/ U. b

7 w# j, M) e6 ?5 }3 o3 B4 G
编写如下 Matlab 程序：
% h8 G; |$ ~7 _1 x$ {
4 _' ?- x7 \6 t% Esyms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
% l# n8 ~' ~/ r, Z4 ~' L$ @, X; EM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
+ u. D; f) _3 a, ^ 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
M=sym(M);
0 ]; w9 F/ P; I& ^[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
x=simple(x)


由上述程序计算结果可以看出

8 v$ k5 Z$ p& t0 Z# }


+ k( a' p! |# e9 r% X4 c$ @6 ~————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
9 `5 I* D8 i0 c原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596
  j6 D2 {/ Q8 L+ Z1 v* A