差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。
( t& M6 D% L: `3 J" Z7 l8 c
3 D  ~0 q- J1 e( P- L, @: I! R: {1 常染色体遗传模型
* K1 w9 b+ r2 M; }常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。

( o' d5 k5 m. \% r

例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

（a）假设
3 v. E7 Y& N0 u0 u) C' b- s令n = 0,1,2,...。
' W  ~& b( ]. h6 |
% {! Y5 E8 e$ r. _/ \: X+ [2 J' U; J
- }3 ^" P) Q- F9 c) e+ Y. z
: E5 M' ]( b9 _: f( l# ~' h（b）建模



  n. o! U% k* [4 v+ C2 h

编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
+ ^# h0 v8 y5 r! u" e/ K% N" e/ d6 wM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
8 U& z3 A! |+ n9 N/ I" A* G[p,lamda]=eig(M);
# k, F: H+ j( T( Z6 b3 r# d! Xx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
% q* M( A) e3 h7 L3 @x=simple(x)


4 W: y, o6 e# a- u4 H; T

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

, l3 l+ g6 O/ x; n' |2 ^# [
7 T0 N3 ]- Y% _& K编写如下 Matlab 程序：
7 S0 b: u! e& T, z$ _
syms n a0 b0 c0
2 ^: z9 j5 w7 C3 e' }2 C) G. zM=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
, p$ m& U* o+ @- R[p,lamda]=eig(M);
$ x) l$ \; o# M2 v7 u: Y' Rx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
$ j/ h+ i! q3 i. v" ~x=simple(x)
' l. q' J# u, o$ `
$ p- }8 i% a# [


2 常染色体隐性病模型
/ b2 C' Z0 o1 g* [" B* k8 I1 `- W  I- q现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。
0 f  L" e4 r7 Z6 }  ~  S
5 M" W) d  o1 K% G3 j' o

' v' W7 H1 i" g* G （b）建模
% X, X2 S4 M* |/ @+ L


' i6 V; _* f( ^% J2 ]" j- k
/ [! Q% \$ Z4 X$ F  E
  ~# R) U. y6 g（c）模型讨论
. u) R# ?* s) k6 R  f$ Q& l  `研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为


1 @+ k! k4 O$ T! |! K3 S
4 i0 J: w9 E) Q" Y9 B- G5 X下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。

3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

（a）假设
3 U: S8 w9 U$ a  @6 y8 J6 s（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。
) ~' T! Y! T; ~
: Z+ n% N/ b" S3 T4 Q（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。

& e( _7 d. y8 c( y0 j


( ~" E7 P( r" j5 H+ M" k' t: N

  d, ?* T; r  l4 W% m. _
3 V2 [0 U3 W9 }' e) i: q. v
/ t. k% z% G, J, g  X7 h2 M6 _编写如下 Matlab 程序：
2 V: P7 U$ U# {: t& H: }, ?
syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
* B5 m1 \& k4 R% [1 YM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
8 J7 G  C, v: R* N 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
M=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
; d$ K& F$ I! Z1 x. k/ j3 t9 Ix=simple(x)
5 ?% c2 }# T* L* S( T. P

( ^+ ~- i/ q! j8 @4 y& l由上述程序计算结果可以看出
2 B5 _/ V: i) R) C7 m2 `+ N( z- U
3 ^! L' ?3 M& b- P( P, C7 v$ r


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( p9 ?; f7 N  l

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