差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。

1 常染色体遗传模型
" r1 U  f$ \. c- R常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。

& e3 A: x% N  n! u4 p

例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

3 z* G% k6 ~3 T8 Q（a）假设
令n = 0,1,2,...。
7 n( F  J) _9 P1 J
  P3 O: s- q6 i1 @9 l; x9 S$ n4 |
4 |5 z% `5 F# T; S! w# G9 Q
% U) u  N8 w+ B7 Z* X% m（b）建模

4 C$ s$ \5 a9 }( t, Z' U! Z, L0 c
* b; C& I4 p7 F+ s1 }. G) n

9 J3 o# Q) H$ t3 M
9 B4 E1 S- f, q6 B5 \编写如下 Matlab 程序：
( |* j2 X/ B0 e
5 P) B( Q0 |& ?' R3 S! m% `syms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
' \* p. f2 Z4 Q* z; J9 b' _4 F[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
( L6 |+ V$ l1 i) g  qx=simple(x)


! d1 }, O) r& O2 @+ z6 Q  h
, V; R- ^% |0 K$ i; C5 S( l2 J

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

. `' ]3 j. p7 H) j7 f) |1 V编写如下 Matlab 程序：

) R) v2 _4 j  a5 E* G7 |% C" xsyms n a0 b0 c0
9 S  O' M0 G. G( C4 j4 OM=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
[p,lamda]=eig(M);
# _! g; J. H* Kx=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
x=simple(x)
" b% u, @" G* k! n$ D
- w7 t8 T0 n* ?7 k4 b. U' s


2 常染色体隐性病模型
现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

/ M5 \0 `  S0 _4 [5 W; P（a）假设
（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。


3 {$ J6 e. f, p8 m+ W8 K4 Z7 n
（b）建模
- _- Z2 k) f& j
4 h3 E4 C0 \5 v



0 W+ y: y! @  \, o. V; j（c）模型讨论
; V" {/ i# T, N4 y研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为

; ~# N0 M4 b8 x: `( r2 {, g% M  m

下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。

3   X − 链遗传模型
! O9 s) c9 M0 L9 |& @X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。

（a）假设
（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。

（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。

9 Z, ~, W5 B! [2 B# p- p2 w& E6 i! f  `



9 o/ {6 C, |5 V6 \9 `# I1 G

* j- U9 }. V5 f& l& C2 U% n
" i! P& X# [5 i7 p7 }编写如下 Matlab 程序：
- n% g! @5 {7 e
syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
7 v4 `5 H3 v0 U% u6 ]/ eM=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
3 r6 g- E) |" W# r! N" T; o4 p; O6 `( M 0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
- e" y/ f  y8 N. HM=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
x=simple(x)

3 \3 J* o; l. O5 T: e- i' O
3 I) [5 m- M7 |由上述程序计算结果可以看出

% x% f! x. F& \- T
( o2 }7 G, Z9 ~  R. a+ ~

# j! [! n7 V5 A& k1 \————————————————
( d3 ^- g0 M" E/ x. O版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
! |6 B$ L) M% _. I& W  V) R7 K: D原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89646596
" Y7 a7 T4 I: C
8 }2 K2 x7 m4 Z: d% I
* q- Q1 ~& r* s; I8 B