差分方程模型(四）：遗传模型

浅夏110

随着人类的进化，人们为了揭示生命的奥妙，越来越重视遗传学的研究，特别是遗 传特征的逐代传播，引起人们更多的注意。无论是人，还是动植物都会将本身的特征遗 传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，基因对将确定 后代所表现的特征。下面，我们来研究两种类型的遗传：常染色体遗传和 x − 链遗传。 根据亲体基因遗传给后代的方式，建立模型，利用这些模型可以逐代研究一个总体基因 型的分布。

1 常染色体遗传模型
常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对， 基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因 A 和 a 控制的，那么 就有三种基因对，记为 AA, Aa,aa 。例如，金鱼草由两个遗传基因决定花的颜色，基 因型是 AA的金鱼草开红花， Aa 型的开粉红色花，而 aa 型的开白花。又如人类眼睛 的颜色也是通过常染色体遗传控制的。基因型是 AA或 Aa 的人，眼睛为棕色，基因型 是aa 的人，眼睛为蓝色。这里因为 AA和 Aa 都表示了同一外部特征，我们认为基因 A 支配基因a ，也可以认为基因a 对于 A 来说是隐性的。当一个亲体的基因型为 Aa ，而 另一个亲体的基因型是aa 时，那么后代可以从aa 型中得到基因a ，从 Aa 型中或得到 基因 A ，或得到基因a 。这样，后代基因型为 Aa 或 aa 的可能性相等。下面给出双亲 体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如下表所示。
" ?  d9 p$ a; l2 s9 ]+ p- e' M
5 M+ D( e. C- D: R
$ A/ T1 S# V' p: p; l
3 M0 F5 J4 F& d0 w1 q2 k例 5 农场的植物园中某种植物的基因型为 AA, Aa 和 aa 。农场计划采用 AA型的 植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任 一代的三种基因型分布如何？

2 t- ~4 L; l! G- K; k* y（a）假设
令n = 0,1,2,...。
- O, d9 @" t. j) U9 Z& s


（b）建模
3 z8 T3 M* f9 }: ]( e6 R6 V3 `' I

# ~4 I& W# b' l5 L

2 [. D9 _! [- j; e4 `
编写如下 Matlab 程序：

$ s2 z3 j% {! w& J1 X' esyms n a0 b0 c0
) K" P. j9 J0 r4 I5 T4 P# V" kM=sym('[1,1/2,0;0,1/2,1;0,0,0]');
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0]；
x=simple(x)
- ~% L9 D) L& C8 J" i3 a0 U6 r

即在极限的情况下，培育的植物都是 AA型。

（c）模型的讨论

若在上述问题中，不选用基因 AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因 型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如下表所示。

# [0 G1 G* t' o+ _3 N
0 e4 x' e9 |  z3 P$ V! o" |
编写如下 Matlab 程序：

syms n a0 b0 c0
M=sym('[1,1/4,0;0,1/2,0;0,1/4,1]');
4 p. X, X- f# d+ d[p,lamda]=eig(M);
* s5 R1 P/ s2 y: y5 Ux=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];
x=simple(x)
7 s! L. m( t( e4 C# [



2 常染色体隐性病模型
; c# A6 y+ j2 D现在世界上已经发现的遗传病有将近 4000 种。在一般情况下，遗传病与特殊的种 族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰 状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经 常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的 隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性患者结合，他们的后代就可 能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但决不会出现显性特征， 不会受到疾病的折磨。现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者 的概率。

（a）假设
& r- M* ]6 ~: L7 \8 }（i）常染色体遗传的正常基因记为 A ，不正常基因记为a ，并以 AA, Aa,aa 分别 表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型。



（b）建模
2 W, N$ b4 I+ V% w2 A6 S


$ c! S0 o- [/ F
% J+ M7 n5 @8 l2 A
) O; i" Z4 _% m7 |（c）模型讨论
# J9 o: l* N% i: f( K研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线 性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（24）式改写为
- m1 n1 }! {- E6 ~: G# i

! S/ n. v2 c2 Y
: f5 c6 v' F5 ^6 ^下面给出数值的例子： 某地区有 10%的黑人是镰状网性贫血症隐性患者，如果控制结合，根据（24）式 可知下一代（大约 27 年）的隐性患者将减少到 5%；如果随机结合，根据（25）式， 可以预言下一代人中有 9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生 400 个黑人孩子， 其中有一个是显性患者。

3   X − 链遗传模型
X − 链遗传是指雄性具有一个基因 A 或a ，雌性具有两个基因 AA，或 Aa ，或 aa 。 其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到 一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与 X − 链遗传有关 的近亲繁殖过程。
2 T3 J+ P, G; ]# L( X: {# E5 @7 ~9 U
（a）假设
0 g* Y3 Q3 S3 ]; M  a- L) n$ @（i）从一对雌雄结合开始，在它们的后代中，任选雌雄各一个成配偶，然后在它 们产生的后代中任选两个结成配偶。如此继续下去。
! O9 h; R2 u+ c
5 B3 P  L; u8 o6 W, e（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有 (A, AA) ， (A, Aa) ， (A,aa) ， (a, AA) ，(a, Aa) ，(a,aa) 六种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型 中的任一种，其后代的基因型如下表所示。



/ ]4 m3 ?0 t: X2 V




编写如下 Matlab 程序：
! O- J" n. k) N3 F& N3 S
syms n a0 b0 c0 d0 e0 f0
M=[1 1/4 0 0 0 0;0 1/4 0 1 1/4 0;0 0 0 0 1/4 0;
0 1/4 0 0 0 0;0 1/4 1 0 1/4 0;0 0 0 0 1/4 1];
$ k& h( U/ _& o/ _% z) `- [3 eM=sym(M);
[p,lamda]=eig(M);
x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0;d0;e0;f0];
( F+ Z4 u/ G5 m1 vx=simple(x)
" [, A9 h1 j) \# x% S7 N

5 k4 e  Y" M3 u2 X由上述程序计算结果可以看出
$ }0 y$ ]4 g0 T  b
) U( t# t/ R' Z# {3 ?
' P$ |0 N6 S0 ]0 n9 h! n

: w" |2 f& ?9 m/ ?0 S- A1 ?————————————————
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$ n* G  ^' K0 U