常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.
  p* D, s6 z8 S
7 F. V( E' c- m- p: H1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是


% X: {& F2 ~9 \4 T0 }; q; d
在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
" T; [: n7 ?8 l' u


) J  A- j0 {+ L, f' g1 R这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
7 l2 T) R1 Q  J
! F  D+ M0 E$ _  z% L" F2 D5 i数值解法
7 R' V+ w$ c( F7 o# o  r$ F2 c所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           

5 L; Z* L7 d1 B4 |: A8 `: `

建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：

# p6 E& A/ W6 i8 |/ Y- r5 d（i）用差商近似导数------差分方程初值问题



+ k" w7 v) y/ `# V
需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。

: d1 ^  ~; D. n, n+ D! `（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得
2 K& G% T% s% l6 X8 Y
! O/ p+ q$ W6 @% n

右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
+ _- X. U! }$ ]/ ]5 V- x6 Q
! o' G! ]' Q0 D2 ]5 z- W' M（iii）Taylor 多项式近似

4 Z) _* I6 A  L+ L5 j

, Z0 P5 F) k; u9 x5 N; j# U2 \以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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