常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.
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9 G; Q) p- f& T  C  U' n; |1 Z1 常微分方程的离散化
4 O0 k* L. q# Y0 W! ~+ D& B下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是

; u7 L4 y# q7 e" E) K# A7 W) j* u

8 _0 k3 F& D9 A  R  R在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得

# Q! u' _  u5 L* D

这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

数值解法
; n* [0 Y% V, l  y+ F+ S- c所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           


7 |' p/ b: Y0 q6 G/ ^! m' I, n
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
& r1 @- K" m' P$ A+ F9 i; T, x
' i8 z6 {+ q% f4 h! E$ G# @+ f（i）用差商近似导数------差分方程初值问题



3 n$ [5 `" n9 X, y  _
: e# e2 w4 ?' q) M" ^* u2 w需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
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& x- i) {; Q/ e/ Z（ii）用数值积分方法
, c1 e! F; l& i将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得

( z8 b4 s7 N9 `$ f
1 X. T8 o6 o: c/ L. ~' ], j. w
右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

（iii）Taylor 多项式近似



以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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