常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.
7 @- c5 r# e2 L8 g1 k, s5 r
1 常微分方程的离散化
: @: c/ F7 g# E6 k8 }下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是



  c% o, J2 m# r. L7 w" \: ?在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得

6 v) I* P- B8 o/ {

这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

数值解法
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
: E; F; w4 m" P

# Q9 d3 d8 Z  J$ J8 }% q
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
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0 W9 A0 ~& r' N5 l（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
3 H. C8 ]( x. _. d) c" o0 O
0 g. u; G* l% M

+ Q7 @" G' o& e2 C2 z
需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。

) i# ?& ^% P! ?（ii）用数值积分方法
将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得


6 C% a/ V1 H! `" Y7 _- v" A
' d8 o& m" k# J: @0 P9 q' j8 Q右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。
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（iii）Taylor 多项式近似
8 n+ J+ F; Q9 u: H  C" b9 {
7 _( x" j  ~0 |

7 P$ R" N5 W$ r: r! G以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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