常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

5 w( q; w9 E$ \" @6 s. u1 常微分方程的离散化
下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
; W: o% o% b. K9 u& Z# i2 H


在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得


- H, ?1 O2 Z: R+ z5 p$ T: q/ @1 _
8 \" q: V) V4 u$ z2 L这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
0 ]2 b0 \4 W2 f2 |9 T  k# i# ^
0 P+ ~+ M7 i! p# Y: |; r1 H数值解法
# T: g4 S  I3 y0 C1 @所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           
  ]# w, d3 r( C8 b

& c0 M- T, e* o
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：

& p4 O0 J% y( G. ~+ u3 L3 z（i）用差商近似导数------差分方程初值问题
1 g+ Q  {& ?7 B% j- h7 {; [

: j. E5 I2 @. }. [5 W

0 B' v7 q# ^1 \' z需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。

. l# I; k# k' K6 a5 z: ^% V5 e（ii）用数值积分方法
5 B: K" F( W. r! h4 r7 a& H. z将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得
! C8 I0 K+ Y0 f# [


. v* p" }% A' J0 K4 h' y* H右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

（iii）Taylor 多项式近似


0 m1 n. a. P, p! v' u% O
以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
2 r( z9 S' M+ `9 q! ^; D" V————————————————
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