常微分方程的解法 (一): 常微分方程的离散化 :差商近似导数、数值积分方法、Taylor...

浅夏110

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并 加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线 性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解， 而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的 方程如  ，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十 分重要的手段.

; t8 Y$ T: a, C. f+ o1 {1 常微分方程的离散化
" V/ C! D2 D2 l- t  l, [) S下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是
6 u& f  `+ ]  N9 q+ Y( Z7 c
7 I. g( U  b$ c5 t% \
# b7 w# D- Z6 s1 m: g
在下面的讨论中，我们总假定函数 f (x, y) 连续，且关于 y 满足李普希兹(Lipschitz)条 件，即存在常数 L ，使得
1 N7 F, Q" e1 c0 u


; z; J1 Y( t8 J0 \这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。
# X4 z- J: g/ u3 J* x9 ^% Q4 R
! m; T) ~; g2 H7 {数值解法
所谓数值解法，就是求问题（1）的解 y(x) 在若干点           

% s+ N/ ~- j, Q% T  X1 D. r
" K! z: d( B, j  O& t
建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：
) V' e4 d+ B7 s0 {
（i）用差商近似导数------差分方程初值问题

; h1 ?2 B2 z- M# v+ w4 X

+ R. B1 B; }: G
$ q8 B0 i4 }; k) g需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。
/ U6 r: l3 n' ?$ _) _& V0 t
（ii）用数值积分方法
# d2 B& J/ p) }1 [) M将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端 积分，得
/ E9 h1 W" i- k8 y


右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

" a% z/ g0 w" j（iii）Taylor 多项式近似

$ b& ^8 {& H1 ^) w( V0 B2 o7 q

/ @  i& S$ }* c: m以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的 计算公式。其中的 Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断 误差。
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