常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
# o* w; z+ s# X. h1 h9 X 2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
( s! k9 o5 V( _( m: UEuler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。

- ]2 ~+ E" g& N- ]. q8 v. p, {6 \9 z

2 B% k& M+ e% c  a2 c1 ^0 ^2.2 Euler 方法的误差估计
对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。



& l8 M3 x2 S3 B
( m- {/ T2 v' E
) Q6 X8 k$ m2 w: X3 l显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
5 N* P* L0 k' A9 ^1 A: v
, F0 Y: i% a, {& d* c) B§3 改进的 Euler 方法
3.1 梯形公式
$ C- p5 ~0 [5 O, ^. B3 l9 ^# L利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即

7 c" o% U! X8 J3 n7 u& |

这就是求解初值问题（1）的梯形公式。
! K, r( S: D- i5 |
直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为
1 G  [( ^% t: N7 i
0 q' Q8 H$ \. |' M& O" ]& j( t7 s

, B' U2 _4 x  w: {- }如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。
! `3 p& E4 d1 ]" x) ?7 m. H
- q) O1 G$ Z* K" I9 k3.2 改进 Euler 法
按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即

+ {+ m+ [* v$ u. Z
4 F7 P# U/ H1 B5 u. j
- e1 u0 O% d& {. |, @式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。
/ K- m: E; `0 f( k- Y  f) U) \
+ N: C! D+ ?* |# B2 d为便于编制程序上机，式（11）常改写成
4 d0 w8 L. V! m0 k2 m0 p* h' ]& K- E8 w


改进 Euler 法是二阶方法。


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