常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
6 d) @; B0 j8 G) R! l- [ 2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。
: J6 I# A& j8 H1 Q$ {


2.2 Euler 方法的误差估计
对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。
3 j4 ?1 u- Z2 w2 h
) }# e) E0 w# ^. {/ c( d8 c  b

! l' |5 }, |8 k, e( r/ I3 N

) K, m0 l: t- Q3 u% U& F显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。

§3 改进的 Euler 方法
3.1 梯形公式
利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即
  d  L# d5 T4 h, C- k$ L5 V% e
2 d3 O: w) Y8 x- N

这就是求解初值问题（1）的梯形公式。

* D8 r' M) G1 p% t! O直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为
, Z  E( }! L2 I2 G: \9 e
4 {# m( e: W8 K  }

% S) P, N# @5 l7 u5 k& B4 X如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。

3.2 改进 Euler 法
按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即

" v& U5 a/ }4 _. `
1 g0 w% e5 x! S- h, U
: R2 x5 l/ X5 F, q" k式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。
# p; v% t: A8 Y5 `3 {# C. @: P0 L
为便于编制程序上机，式（11）常改写成
5 o( D- _' U$ q
) h8 O- C( H8 B
( |7 l- T) S; U" H5 R$ h( I# n2 D
改进 Euler 法是二阶方法。

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