常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
0 I9 o0 b6 ]; N 2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。
' [# h  Z: E% W


2.2 Euler 方法的误差估计
对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。



/ \, B5 T7 {( r! i2 Z$ b
+ R$ E% s5 D3 a$ V  ]
显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
5 _  A* w6 V& x9 }9 R9 i5 p
7 P3 Y; W8 J/ D* t1 h§3 改进的 Euler 方法
3.1 梯形公式
利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即

) n4 a% ]' E5 t9 ?* m
* Q! p) p) A3 y$ N) I- G
+ J* |6 q+ b2 K) {) q0 h5 p( x这就是求解初值问题（1）的梯形公式。
1 r: F, ~0 L: Z, E. I! R$ i& x
; ]' {0 b8 i+ X1 X) f7 ?! L直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为
& e5 u$ ^4 t! D, v. s
) L* i6 g: }& s; I5 o

如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。

3.2 改进 Euler 法
' Y7 M5 N/ k# \' y, A按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即


9 _- ]" q4 C( F- \! ^3 l0 @" {% `
1 U, Q4 K+ o$ E; L9 l' X式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。
( i  R+ u) h8 G
为便于编制程序上机，式（11）常改写成
7 K" ?  x0 p9 u, Z" n: j
1 O, _* R( n: _4 r7 @% l* m

改进 Euler 法是二阶方法。

. F* A" H1 f6 Y- A
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