常微分方程的解法 (二): 欧拉（Euler）方法

浅夏110

§2 欧拉（Euler）方法
2.1 向前 Euler 公式、向后 Euler 公式
Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解， 即由公式（3）依次算出  的近似值   。这组公式求问题（1）的数值 解称为向前 Euler 公式。
3 U) ?1 b; i' g


2.2 Euler 方法的误差估计
对于向前 Euler 公式（3）我们看到，当n = 1,2,....时公式右端的  都是近似的， 所以用它计算的 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的 所谓局部截断误差。

- E2 T, J5 r8 I
9 {" \% x4 n3 K. G6 N$ A8 l
- A. J/ n8 ^4 C9 s

显然 p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前 Euler 方法是一阶方法，因此 它的精度不高。
4 a3 V' E5 `) ^& A  O" F
9 M0 N: Q" _1 j§3 改进的 Euler 方法
9 ~  k" }$ d: |+ S0 O3.1 梯形公式
利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分， 即

& {4 r/ A2 j0 U7 i5 S  M4 Y+ e
$ a3 _. S& @  O1 u) F% V7 V
3 ~, T. R7 n2 u这就是求解初值问题（1）的梯形公式。

直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为
$ w0 f8 y1 K- X' Z, c8 {; @. O. [0 g
9 L& C6 r! z1 o: p5 j$ e; u( L# R9 p
" T0 ^& ^* ^8 i* g4 d
如果实际计算时精度要求不太高，用公式（10）求解时，每步可以只迭代一次，由此导 出一种新的方法—改进 Euler 法。

3.2 改进 Euler 法
按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将 Euler 公式 与梯形公式结合使用：先用 Euler 公式求  的一个初步近似值  ，称为预测值，然 后用梯形公式校正求得近似值  ，即
2 M1 f- }/ n5 R, n

! v" Z" q% R8 Y  m$ a$ i; q0 f
' Y  `/ J2 r5 B/ B% y式（11）称为由 Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进 Euler 法。
" ]) Q: R+ d) T7 {! y: f( s
; z% v$ k( G4 @: \1 e; }为便于编制程序上机，式（11）常改写成
7 }3 E' w$ a$ `. R) W
5 B- s- y! x, H2 m, e4 T
3 O% c( I: r3 Z! N
改进 Euler 法是二阶方法。
' x) w" u. Z6 z$ Z: r6 Z" _

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