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[建模教程] 常微分方程的解法 (四): Matlab 解法

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浅夏110

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7.1.1 非刚性常微分方程的解法
Matlab 的工具箱提供了几个解非刚性常微分方程的功能函数，如 ode45，ode23， ode113，其中 ode45 采用四五阶 RK 方法，是解非刚性常微分方程的首选方法，ode23 采用二三阶 RK 方法，ode113 采用的是多步法，效率一般比 ode45 高。 Matlab 的工具箱中没有 Euler 方法的功能函数。

（I）对简单的一阶方程的初值问题

我们自己编写改进的 Euler 方法函数 eulerpro.m 如下：

function [x,y]=eulerpro(fun,x0,xfinal,y0,n);
if nargin<5,n=50;end
h=(xfinal-x0)/n;
x(1)=x0;y(1)=y0;
for i=1:n
x(i+1)=x(i)+h;
y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i));
y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1);
y(i+1)=(y1+y2)/2;
end

例1 用改进的Euler方法求解

解编写函数文件 doty.m 如下：

function f=doty(x,y);
f=-2*y+2*x^2+2*x;

在Matlab命令窗口输入：

[x,y]=eulerpro('doty',0,0.5,1,10)

即可求得数值解。

（II）ode23，ode45，ode113的使用 Matlab的函数形式是

[t,y]=solver('F',tspan，y0)

这里solver为ode45，ode23，ode113，输入参数 F 是用M文件定义的微分方程 y'= f (x, y) 右端的函数。

tspan=[t0,tfinal]

是求解区间，y0是初值。

例2 用RK方法求解

解同样地编写函数文件 doty.m 如下：

function f=doty(x,y);

f=-2*y+2*x^2+2*x;

在Matlab命令窗口输入：

[x,y]=ode45('doty',0,0.5,1)

即可求得数值解。

7.1.2 刚性常微分方程的解法
Matlab的工具箱提供了几个解刚性常微分方程的功能函数，如ode15s，ode23s， ode23t，ode23tb，这些函数的使用同上述非刚性微分方程的功能函数。

7.1.3 高阶微分方程的解法

（ii）把一阶方程组写成接受两个参数t 和 y ，返回一个列向量的 M 文件 F.m：

function dy=F(t,y);
dy=[y(2);y(3);3*y(3)+y(2)*y(1)];

注意：尽管不一定用到参数t 和 y ，M—文件必须接受此两参数。这里向量 dy 必须是列向量。

（iii）用 Matlab 解决此问题的函数形式为

[T,Y]=solver('F',tspan,y0)

这里 solver 为 ode45、ode23、ode113，输入参数 F 是用 M 文件定义的常微分方程组， tspan=[t0 tfinal]是求解区间，y0 是初值列向量。在 Matlab 命令窗口输入 [T,Y]=ode45('F',[0 1],[0;1;-1]) 就得到上述常微分方程的数值解。这里 Y 和时刻 T 是一一对应的，Y(:,1)是初值问题的解，Y(:,2)是解的导数，Y(:,3)是解的二阶导数。

例 4 求 van der Pol 方程

的数值解，这里 μ > 0是一参数。

（ii）书写 M 文件（对于 μ =1）vdp1.m:

function dy=vdp1(t,y);
dy=[y(2);(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

（iii）调用 Matlab 函数。对于初值 y(0) = 2, y'(0) = 0 ，解为

[T,Y]=ode45('vdp1',[0 20],[2;0]);

（iv）观察结果。利用图形输出解的结果；

plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'--')

title('Solution of van der Pol Equation,mu=1');

xlabel('time t');

ylabel('solution y');

legend('y1','y2');

例 5 van der Pol 方程， μ =1000 （刚性）

解 (i)书写 M 文件 vdp1000.m:

function dy=vdp1000(t,y);
dy=[y(2);1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

（ii）观察结果

[t,y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2;0]);
plot(t,y(:,1),'o')
title('Solution of van der Pol Equation,mu=1000');
xlabel('time t');
ylabel('solution y(:,1)');

7.2 常微分方程的解析解
在 Matlab 中，符号运算工具箱提供了功能强大的求解常微分方程的符号运算命令 dsolve。常微分方程在 Matlab 中按如下规定重新表达：符号 D 表示对变量的求导。Dy 表示对变量 y 求一阶导数，当需要求变量的 n 阶导数时，用 Dn 表示，D4y 表示对变量 y 求 4 阶导数。由此，常微分方程 y' '+2y'= y 在 Matlab 中，将写成

D2y+2*Dy=y

7.2.1 求解常微分方程的通解

无初边值条件的常微分方程的解就是该方程的通解。其使用格式为：

dsolve('diff_equation') dsolve(' diff_equation'，'var')

式中 diff_equation 为待解的常微分方程，第 1 种格式将以变量 t 为自变量进行求解，第 2 种格式则需定义自变量 var。

例 6 试解常微分方程

解编写程序如下：

syms x y
diff_equ='x^2+y+(x-2*y)*Dy=0';
dsolve(diff_equ,'x')

7.2.2 求解常微分方程的初边值问题

求解带有初边值条件的常微分方程的使用格式为：

dsolve('diff_equation'，'condition1，condition2，…'，'var')

其中 condition1，condition2，… 即为微分方程的初边值条件。

例 7 试求微分方程

的解。

解编写程序如下：

y=dsolve('D3y-D2y=x','y(1)=8,Dy(1)=7,D2y(2)=4','x')

7.2.3 求解常微分方程组

求解常微分方程组的命令格式为：

dsolve('diff_equ1，diff_equ2，…'，'var')

dsolve('diff_equ1，diff_equ2，…'，'condition1，condition2，…'，'var')

第 1 种格式用于求解方程组的通解，第 2 种格式可以加上初边值条件，用于具体求解。

例 8 试求常微分方程组：

的通解和在初边值条件为 f '(2) = 0, f (3) = 3, g(5) = 1的解。

解编写程序如下：

clc,clear
equ1='D2f+3*g=sin(x)';
equ2='Dg+Df=cos(x)';
[general_f,general_g]=dsolve(equ1,equ2,'x')
[f,g]=dsolve(equ1,equ2,'Df(2)=0,f(3)=3,g(5)=1','x')

7.2.4 求解线性常微分方程组（i）一阶齐次线性微分方程组

例 9 试解初值问题

解编写程序如下：

syms t
a=[2,1,3;0,2,-1;0,0,2];
x0=[1;2;1];
x=expm(a*t)*x0

（ii）非齐次线性方程组

例 10 试解初值问题

解编写程序如下：

clc,clear
syms t s
a=[1,0,0;2,1,-2;3,2,1];ft=[0;0;exp(t)*cos(2*t)];
x0=[0;1;1];
x=expm(a*t)*x0+int(expm(a*(t-s))*subs(ft,s),s,0,t);
x=simple(x)

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