偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：
% F# [% a" d' _) U
0 P/ }3 v8 j* K8 m. r8 V（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。
( M$ |2 _2 p2 k
9 @% k: v. i; ?/ ]! y（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

- A) m0 M. O4 l在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
# c0 d- s6 k- s
3 U7 e. \, J2 `8 v& b" L$ @6 h. ?

8 C9 W, C& J) ~3 D2 图形界面解法的使用步骤
0 X9 z, W1 g4 M, j+ [7 X要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：

% v: g9 [& F! k, S6 U（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
9 _! W8 R* M% G# s$ Q
5 W4 L  L. ?1 `0 G1 B+ Q, c/ A（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。

（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
2 f) [+ T+ h4 P/ B0 g* z9 C2 ?
6 q. K' T, H' v+ C7 @" @1 ^在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解
1 D8 X1 y  p: w2 f( g6 @
: E3 |+ a, |+ I) w（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。
* W% x+ ]3 a$ U, |
（2）在 solve 模式下，求解。

（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
  j4 r( }2 L( k& U8 _# g! s
% A+ p9 H' A6 s4 T' |* h: H


% p# l( b0 O) h! U* b




- w. x$ n2 L. w  h, E
注意：
5 J$ c. R1 {/ ~' U' {$ B
' N  l8 b3 H5 r% x! q' p$ s1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。
; h" l+ r' w) M! d

8 |0 j& z! k/ a  B. e! E, Z
2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
* m. q3 B# |3 E
& D, q$ M  l2 S3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。
( o+ {! L/ y$ W
+ Q) e3 N- F1 x* |7 ^4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。
6 R" k$ w( ]9 ~7 k
（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

& |% J! t4 V' l& E（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。

例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

' p7 q0 a2 m& X/ V" @2 {& o                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程



边界条件为Dirichlet条件u = 0。

解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
; R: Q( y/ G9 ?7 R; ^' O5 y9 S
; e) N% D2 B5 k6 r6 t  c1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。

9 _2 S9 K) `# m0 l, V" ~% Z2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。

  o, u3 f, ^* {" [0 D" l  l- Y3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：

function f=fun1(x,y);
f=zeros(length(x),1);
ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
" y7 |. Z; a% Y; F8 W# Vf(ix)=1;

其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：

5 r. B5 `+ D6 w4 j时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；

1 s5 a) O1 g9 v+ y初值框中输入：fun1。

. j& l* `! U8 b4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

$ Y( G% _6 z% Z1 k/ _0 L* [2 Z; A' T5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。


0 G' {: D: v1 H  _; v————————————————
! ?1 ?3 H! r4 B2 ?0 a8 z: K版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
% n- H$ j% R4 R( m) }9 G. b原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89712663
- E: n) E6 _: S
9 ?) v" C& K( c9 v; i