偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
$ x" G. b$ [9 ?对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：

# `$ t  Q1 S5 c（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。

（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。

（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。
+ q2 `3 s* }9 C
在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。
5 n" }# b5 J- F* U' x
3 ^/ c) o( m4 [  @1 |1 I4 k
4 A3 M4 W: ]( T8 [
/ K% k3 ], u5 z$ V2 图形界面解法的使用步骤
4 P+ q/ [  o- M6 h5 n& N9 }1 w要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：

" p- z5 l+ |% u8 \/ {（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
% P. E8 Q8 A! }3 D' N
（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。
4 K0 J* G& R; }9 l" s; p* M
（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。

& t/ o! r. ~2 u/ U5 S在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解

4 k9 K0 g# m; m3 u5 ~! K, m" j（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

% b4 L9 Q2 b; Y* \( f% g2 U（2）在 solve 模式下，求解。
+ a7 X  m0 s* [% \% V
（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。

7 E$ E: @8 B6 {
8 n/ h" p% c: P% U1 S( s; Q



  R. M: x- t+ x. F1 Y4 a! d# L
9 ^" w/ h2 g6 E. E
' u4 X  r! R; G

注意：

1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。

* F; }: F3 U( S# ~8 A

2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
) y8 d& ]" _; G
' S' v' g4 @( D3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

0 s  y9 V2 H: i0 W* l3 @0 ~4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。

2 D. l6 C& d% k, U0 N9 _1 _（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。
" h6 y$ c) J6 d8 L  Y" [
0 T$ Z8 s9 W/ }" a（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。

例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
. o$ O7 |% D# \! o5 {- Y8 K


0 m* F* f; x" {7 l# W7 H边界条件为Dirichlet条件u = 0。

解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。
9 t/ }! p1 H- a0 ^- F0 S
1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。
+ O) ^+ C4 {. a
2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。

( c% {( a- s- x3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：
6 R1 w. A9 \: _7 B" k
function f=fun1(x,y);
8 }2 a$ ]/ }9 i6 ~f=zeros(length(x),1);
1 ?  q' ]) M" R8 Z% hix=find(x.^2+y.^2<0.16);
f(ix)=1;
! T* Z4 \8 |# T" e( U
其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：

时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；
- K- j/ ]3 u& Y8 E7 X$ }+ `
: p7 X3 i% P: Z( V9 ~2 i0 h初值框中输入：fun1。

4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。
: l( a7 X0 g2 j9 s* _2 P

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( C( K6 O6 m8 X* \4 q, o
+ m6 K& z8 R5 _( C2 |+ O