偏微分方程的数值解(六)： 偏微分方程的 pdetool 解法

浅夏110

1 图形界面解法简介
& a2 k8 K1 e% I& L对于一般的区域，任意边界条件的偏微分方程，我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为：

（1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。
6 P; I4 H) R8 r+ a! {. R
0 P( F8 h4 _  ]& ~2 ?7 C2 q0 O（2）产生离散化之点，并将原 PDE 方程式离散化。

（3）利用有限元素法(finite element method；FEM)求解并显示答案。

5 Q. q) }1 o! K$ W3 g' u. ]" c在说明此解法工具之前，先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮。


4 O; Y9 k9 Z* k
2 图形界面解法的使用步骤
要利用 pdetool 接口求解之前，需先定义 PDE 问题，其包含三大部份：

（1）利用绘图(draw)模式，定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω 。
, e% ?2 n9 S6 Q! ^: ~1 M
（2）利用 boundary 模式，指定边界条件。
# q# m% o! z2 m8 _% l
8 d4 e5 `3 k7 v( d7 |2 w（3）利用 PDE 模式，指定 PDE 系数，即输入 c，a，f 和 d 等 PDE 模式中的系数。
% y; I% r: j' C, i  ~+ S
0 @. t2 g6 K" ?% }; p5 }在定义 PDE 问题之后，可依以下两个步骤求解
, E: x" G+ |8 N0 m  m( F+ k2 k
（1）在 mesh 模式下，产生 mesh 点，以便将原问题离散化。

$ `7 R/ r, d$ I/ N: `) p（2）在 solve 模式下，求解。

" z) D, \' f) Q* ]（3）最后，在 Plot 模式下，显示答案。
& N( v4 t# `( c, R
/ L8 \# q. y/ m7 u. F
' R3 I/ F# b9 q, x1 O" I


, L8 K2 L) n0 X/ a, I


; {* b0 h% B6 K3 l9 }& l; `
# f6 x2 ^7 `1 m! J6 o: Q
注意：

1. MATLAB 会以图形的方式展示结果，使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能，选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10， 显示结果见图 11。
: ^9 c! t. E9 A( [' |


2. 另外，若使用者欲将结果输出到命令窗口中，以供后续处理，可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。
! K  R; o8 O0 N4 }
9 Y& e* N( c, e4 A/ [3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解，还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

4. 在上面定义边界条件和初始条件时，可以使用一些内置变量。

（1）在边界条件输入框中，可以使用如下变量： 二维坐标 x 和 y，边界线段长度参数（s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1）， 外法向矢量的分量 nx 和 ny（如果需要边界的切线方向，可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示）， 解 u。

) |( v% i! N2 |' Z$ t（2）在初值条件的输入框中，也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量（p， e，t，x，y）的函数。
- L0 Z, ]7 T* Q( F5 d  U& E
例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。
0 F* d4 t. I0 d8 Y# Q3 F
                例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程
6 r$ X$ \4 d, e9 h- t

8 C' J7 g( \5 D$ \
% I* q4 r5 ~6 _1 p+ |7 }# Q/ o边界条件为Dirichlet条件u = 0。

解 这里是抛物型方程，其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

1）定义 PDE 问题，包括二维空间范围，边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。

2）区域剖分以后，通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p，e，t 三个参数分别输出到工作间。

3）然后编写函数 fun1(x,y)如下：

% K# A( b4 L1 A+ ^% yfunction f=fun1(x,y);
f=zeros(length(x),1);
7 L  v# A' I0 H! ~2 j- z" Uix=find(x.^2+y.^2<0.16);
: u' f* {! u& m  E2 ^; ~) X+ `f(ix)=1;
9 E' t/ c0 R1 T0 `/ [% |+ H4 a
- g& z  R- U1 _6 G其中的变量 x，y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下：
! a0 m$ m* L5 D* }& h4 O/ i
时间框中输入：linspace(0,0.1,20)；
8 \* e9 W  C% r$ E" B- w/ p
3 U' q: M0 Y$ i初值框中输入：fun1。

5 K- C" F* E* C, D# K/ L4）设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下：选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。
+ b* q0 M7 {0 H- A: H. k
5 {: C% A7 }; j8 r; Q) z% i5）用鼠标点一下工具栏上的“＝”按钮，就可以画出数值解的 3-D 图形。


4 n9 y9 ?; z! T' N" `0 ]. h————————————————
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- _1 [  r, s7 S0 r
! w5 D7 ?6 _' |6 W- k1 y