稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。

本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
. C% L2 T5 T. g8 p' e) M* ~
1 q$ Q9 l. S! C7 E) R7 C$ q自治系统、动力系统
9 ]% k+ k2 k8 ^  v( ?/ ]* x

9 r  h6 a5 v# `% J

3 q. u) v% I2 T8 i6 u6 f
相平面、相图、轨线



奇点、孤立奇点

) Z" s' t7 g  M& I) W1 [
, z4 w9 v7 T7 n$ R. W( J
# v1 z! p9 S- E! G
8 d9 e0 U4 x9 O1 _* K' j. @
定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。
- U. ]! Z) t  F4 K0 X, t
: x/ w7 t1 b" ?( o& a对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。

定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则

（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。
& y: m) z  c. P3 w% c. p
' ~: ]/ e/ q/ N2 m$ U) D（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。

（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。
: M" ]" u' x/ P& P! N" t' x) q
. E* z; e: s8 A1 Z  {+ ?  o定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。

对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.

# r+ M& N$ W( [
. f5 D+ R0 Z; X4 u. o$ m
称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：
% o( l" F0 H4 t6 A' h% \  q+ e& p
2 O1 s+ J3 F1 K* d4 E) V定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。

+ S. Q( S6 _2 z' S7 m


8 @: Q& H: l% {1 Q
0 Z( e/ }: \0 i. y. `* R————————————————
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