稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
" @* I& J9 \& I( t1 z1 |
9 o% v! H$ {; [3 F: q本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。

, E$ f" U. q! {8 Z自治系统、动力系统
4 D: W& y+ {- E; {+ A
( e8 p  C8 V8 v0 s' U


( _( T7 D/ K- _1 S, _9 _
相平面、相图、轨线
* Q1 f8 t$ C. g& U4 q! v
2 e* `4 C# t/ @$ v
' Q+ }: ]  _$ N
/ W1 U5 Z" s9 ?( b9 A0 f$ Q2 S奇点、孤立奇点

% B( M( `; |% y$ ?; d


8 z' Y. F/ h  x& ]8 Q. a
定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。
8 Z* r4 q# ^3 j4 |7 M+ w- m/ h
) l; b% B9 O. `% q+ f7 y对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。

定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则
! `9 ~" j! c$ O  F, Z6 u* Y% B
* @# a; v' d/ J* Z4 M8 ^( I（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。
, M+ M, l' T( i! Z6 H, q+ T% Q
4 g+ V7 q! W) `  [" a: r（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。

' J( m5 N  A" r; A$ @- [6 L+ J* l6 G（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。

: F3 H3 g4 x( h4 r! T$ b6 v7 `定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。
2 |/ O/ [7 D: x, x. B0 f
3 M- l: \& L2 k% {对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.


! J7 G. q5 A8 J  H
3 t# m" N7 d( }称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：
: u8 z( q4 \$ X( W
9 R& Y# {# r- G8 o% M2 j定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。

6 U) p5 S+ u# b; U! w" \5 |
' x' Q- Y1 L. [, Y


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