稳定状态模型 （一）： 微分方程稳定性理论简介

浅夏110

虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述，但是对于某些 实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值，在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程，而可以利用微分方程稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。
8 k$ U$ O/ {/ k9 F; O
6 i9 C  Q, @. K# i: Z本章先介绍平衡状态与稳定性的概念，然后列举几个这方面的建模例子。
" }8 ~( R$ \3 i* h' L: I: F$ u3 w
自治系统、动力系统

6 n+ p9 w. E) V0 d1 @/ z% Y( u  {
$ q& H2 @; I$ U" N3 s/ H$ O2 l6 P


相平面、相图、轨线
5 m8 J9 F' Y% x) d) a1 q( z


% p* s2 E7 a; m2 _2 h# Q$ P奇点、孤立奇点
1 R+ w4 o, W' T) z' r% U
- z! E- i: K1 L  L5 X/ s# p' C


% H. p) m8 r- v5 Q8 A
定义 5         一个奇点不是稳定的，则称这个奇点是不稳定的。
6 w( o) S7 e. Z0 e- |6 a1 }& ]
  L, \# a6 V* z9 @2 }. ^+ Q" q( T4 M对于常系数齐次线性系统（3）有下述定理。
/ }7 U+ F: W8 \( f- U3 N
定理2    设 x = x(t)是系统（3）的通解。则
$ Y/ s# ]- E3 X6 @# |
（i）如果系统（3）的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的，则系统（3）的 零解是渐近稳定的。
6 m4 {$ `3 C# {8 }9 v$ Y' m: y: `
/ m% v$ C0 y. R* i0 r5 d! i8 h（ii）如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的，则系统（3）的零解是不稳 定的。
8 x; Y( @3 W% i( ~2 A2 k% r; l
  j! F' d$ ]5 w7 _& V; U（iii）如果 A 的一切特征根的实部都不是正的，但有零实部，则系统（3）的零解 可能是稳定的，也可能是不稳定的，但总不会是渐近稳定的。

! ~" e/ T5 S) M. F5 _& ?; H" p定理2 告诉我们：系统（3）的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。

  R) i) @" C9 o对于非线性系统，一般不可能找出其积分曲线或轨迹，也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难，在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统，用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.
) f; V" h1 {6 i3 T; p


称为系统（2）的线性近似。一开始，人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现，这种看法是不对的，或至少说是不全面的，非线性系统中的 许多性质，在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题，也要在一定 条件下，才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题，我们有下述定理：
: w+ P6 E3 {$ ~0 E
# R# k+ M7 r- i定理 3   如果系统（4）的零解是渐近稳定的，或不稳定的，则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而，如果系统（4）的零解是稳定的，则原系统的零解是不 定的，即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。



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