稳定状态模型 （二）：再生资源的管理和开发

浅夏110

渔业资源是一种再生资源，再生资源要注意适度开发，不能为了一时的高产“竭泽 而渔”，应该在持续稳产的前提下追求最高产量或最优的经济效益。这是一类可再生资源管理与开发的模型，这类模型的建立一般先考虑在没有收获的 情况下资源自然增长模型，然后再考虑收获策略对资源增长情况的影响。

% `1 [& v6 w, i# Z1 资源增长模型
  \$ l; f/ S. L4 |. }* k/ h考虑某种鱼的种群的动态。在建立模型之前，做如下的基本假设：

3 Q+ J- l) ]- [1 v（i）鱼群的数量本身是离散变量，谈不到可微性。但是，由于突然增加或减少的 只是单一个体或少数几个个体，与全体数量相比，这种增长率是微小的。所以，可以近 似地假设鱼群的数量随时间连续地，甚至是可微地变化。

" Q- x2 ^5 i8 Z6 M* w（ii）假设鱼群生活在一个稳定的环境中，即其增长率与时间无关。

" Z: b2 K/ N8 I- ~$ b（iii）种群的增长是种群个体死亡与繁殖共同作用的结果。
; U7 l7 u0 @1 h) t; x! w- P0 I7 m
; I' S& x5 k& E  h" L（iv）资源有限的生存环境对种群的繁衍，生长有抑制作用，而且这一作用与鱼群的数量是成正比的。
5 D" a# ?: ^$ ~/ t% @7 ~/ l
& B: e* L2 `7 m; ~

2 F5 `9 X; O! w. V. r4 l2 资源开发模型
建立一个在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的 前提下，讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。

设单位时间的捕捞量与渔场鱼量 x(t) 成正比，比例系数k 表示单位时间捕捞率，k 可以进一步分解分解为k = qE ，E 称为捕捞强度，用可以控制的参数如出海渔船数来 度量； q 称为捕捞系数，表示单位强度下的捕捞率。为方便取 q = 1，于是单位时间的 捕捞量为 h(x) = Ex(t)。 h(x) = 常数，表示一个特定的捕捞策略，即要求捕鱼者每天 只能捕捞一定的数量。这样，捕捞情况下渔场鱼量满足方程

+ N) k9 q" s, F7 H
  A; T0 G' p7 h
这是一个一阶非线性方程，且是黎卡提型的。也称为 Scheafer 模型。
% a* ?/ `9 r3 I; ^  C
6 I) ^. B$ A0 d- t+ T0 y3 w, v6 w2 H
# a, V  |  H" N  O( h/ @


3 经济效益模型
9 _8 p0 P+ h( w( K) ]/ _" ^" ?当今，对鱼类资源的开发和利用已经成为人类经济活动的一部分。其目的不是追求 最大的渔产量而是最大的经济收益。因而一个自然的想法就是进一步分析经济学行为对 鱼类资源开发利用的影响。 如果经济效益用从捕捞所得的收入中扣除开支后的利润来衡量，并且简单地设鱼的 销售单价为常数 p ，单位捕捞强度（如每条出海渔船）的费用为常数c ，那么单位时间 的收入T 和支出 S 分别为
4 L+ B* V  t0 I/ C) H. ~9 `
1 T; ~9 ~* I  \: S# }9 r" u
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( \3 x7 ?' M, x! f0 _' e# O
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6 _! f7 H: w# N& O" d与前一模型相比较可以看出，在最大效益原则下捕捞强度和持续产量均有减少，而 渔场的鱼量有所增加。并且，减少或增加的比例随着捕捞成本c 的增长而变大，随着销 售价格 p 的增长而变小，这显然是符合实际情况的。

# a  K: w( t" M4  种群的相互竞争模型
: G' ~3 o3 a4 U2 M+ p

/ d( z1 y0 d2 P# {+ K. q
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3 t- R1 {9 j9 l8 R( H

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