排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
- L  W. w1 g# S# l3 K一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。

6 S) Z1 ~# s- m8 z" R9 W下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
$ m# G- E0 ?0 f( k& `. w+ v8 U
6 L( \$ j1 K6 E8 N% _4 A
% C7 b; m+ i8 ~) |4 W
为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
4 Q; `$ M9 b1 T% V' G6 D! j6 q4 v
3 D, Q' ]$ _3 H2 x


* U) j0 ~( W- h8 k1 x, v
( d* R) A. d  t- e2 u  I/ x述公式得到平稳状态的概率分布。

2   M / M /s 等待制排队模型
2.1 单服务台模型
+ [0 L( n/ v+ {5 U0 {8 m' d$ E' e单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

' H" v% u. C$ u8 |3 J1 m2.1 队长的分布

" p, S. Q% ]* A" Z

2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长
; s" h7 m& t/ }& l# Y
) c- `( f" }& B7 a# c
( b" C' @, O4 [9 D

7 y9 ]. k- O0 k( m
& z0 g6 @, s+ D" ?2 l式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。

9 e& B2 X7 ~" _3 B2.3 忙期和闲期



个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
5 P/ J  E9 `. B% @" u' w( T
3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。

（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。

- W' h8 G+ @/ h4 g. d9 k: O（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
. `6 o* G1 t" M6 t
+ b9 z% N2 r6 x. ~- m  J例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。

, s' s# c, b& w$ p  z! e' P1 F& @! R( W
/ F1 E. v8 ~$ Y! n; Y
6 G3 q0 L* _: Z6 T编写 LINGO 程序如下：

model:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
Pwait=@peb(rho,s);
2 x* ?# j7 H. b# K( W0 N( o9 Yp0=1-Pwait;
Pt_gt_10=@exp(-1);
end
; q9 L6 E5 w: Z4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。
6 ^& R- l3 t- P* a2 C, v
+ U. o# H: |% `% I. i/ M8 G; i
4 p' m# p0 [" ^& L0 I- B
1 l" D  s! d* y3 G5 T公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
& x0 z2 J+ ~# O  b6 [, O9 J5 S3 k" ~
" |$ P% ~9 z- ^  @9 b. r* W  T& A0 n: ^

# G8 c3 H' A! O  n. i8 f" o式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：
; ~7 @: d; z: ]9 c7 ^7 f

+ g8 F, A9 ^) \# p, a# ]& N
# ~1 t0 U' }1 F  ~5 ^* M1 u# ]5 [

对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有

) Q8 k1 c" j( S" i8 \9 j
4 L( p7 e4 i6 \7 Y) N
例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个
4 v6 {4 E$ S, [2 \, Z8 N2 [# f! \
/ ?  X5 n( m; m9 A/ YM / M / s/ ∞ 系统，其中

" i9 [5 R1 X, X) \5 _1 |' g: Z
! M) E- K& m1 n* z0 |8 V


9 k+ h7 g3 E; m/ E. B2 G" l求解的 LINGO 程序如下：

model:
& A* F, x; y3 |/ b+ I: zs=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
+ @5 ]8 J' Q  h2 nP_wait=@peb(rho,s);
p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
8 n. U' c/ R0 Q+ [L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
% z0 J4 F) C; u4 Y) e  \. Rend
, P+ v* e; ?/ p) I% p1 o. E) f
  Z% s$ B; }/ N/ S( c7 |+ f4 F————————————————
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6 E5 J+ r& ]. e9 u

SHINee0525

感觉很好 很实用