排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
* l. D+ C" t* z& r% K- D9 q$ \一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。

下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。

4 u- |1 H% d3 n+ Y5 t6 R8 C

为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
: H6 `/ f" t3 o/ k" F5 f/ p

3 C1 z* p  S' n+ L

4 T. p% q0 c" f( Z
8 m. M5 b4 y7 ]4 _% O3 i: V+ x述公式得到平稳状态的概率分布。
$ R  Y' U$ O. u- d
7 N) {; r" T2 d/ G  v1 z2   M / M /s 等待制排队模型
8 e% J, \7 s/ B$ T6 u2.1 单服务台模型
6 L6 y* x; F$ u$ @1 i. ^" A单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

8 [! ?; y, {. e) g: n+ c2.1 队长的分布


) L) q; H/ u/ |5 C6 |! i2 R& f7 o' v
2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长


+ y, H! e% g9 t; b; [4 U* v

) E2 V# t7 W, F; Y% m! R1 H% W1 I
式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。

, |+ F& v% ]4 \0 S# ^5 a2.3 忙期和闲期
3 ~2 B/ u* d, M# R9 @

1 S2 j2 x- u2 G& I3 B
: ]* i3 x, L5 @6 E; n9 O# i7 B& W: |个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。

% I) e& ~8 g+ z) B% H3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。

7 r5 Q; T  f$ j0 T9 b（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。
6 _( z9 G7 B5 E6 G8 m
（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。

" {/ i- l( o6 x1 `7 s" C例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。


9 Z; w: R. e# }% j' U4 P
) p; U5 }1 m; S- V. V编写 LINGO 程序如下：

model:
$ ]2 |' q! y9 m) B: es=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
Pwait=@peb(rho,s);
1 l/ R4 S! x" d  vp0=1-Pwait;
Pt_gt_10=@exp(-1);
end
: X: K) N( u: y2 f$ H4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。

" X) ]5 p* \& \
2 t* L0 H* b) z" b3 T2 p3 [! R
公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记

- j6 [  c! b( i+ x! I; V) R; w
1 e" a- `8 @) @* W3 N8 }
+ t7 q4 y' J7 y" B, ~& I6 r式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：

* F" d1 P, W- }# j- U
: R0 Z3 _7 Z+ W
0 j2 a  ~8 S6 Q/ t9 t0 ^

对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有

# k; J5 }) A$ C  d& l' M

  W+ b) R# r  I例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个
( A" l- X( b6 O: p" H# g
: W) x. y9 H) `# xM / M / s/ ∞ 系统，其中


! y# V2 g4 v) [: I
  l" K1 u2 a" k% Y

求解的 LINGO 程序如下：

model:
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
P_wait=@peb(rho,s);
, x5 [2 U  c% Z0 d, ^) N/ Ip0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
7 Y3 k7 O& Z  U* a' e# X& ]W_q=L_q/lamda;
, e7 C) x/ s5 u* BW_s=L_s/lamda;
end
0 {1 s0 `/ k. g3 R8 U
: h) |( P4 y4 y" N  o————————————————
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SHINee0525

感觉很好 很实用