排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。
% [! _& z# y; d, i* d3 J
# x: i% n: W1 F下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
& K7 H. e* F+ t- j


为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
+ f  w- T# O: X% a
( `3 B: I: M/ {; L& t2 t( T! Y: c

0 s4 a  G4 H( W( s3 d; J& P8 C
- K5 S3 T+ I- s: h/ l
0 V5 l* }) l+ \# `& }' G述公式得到平稳状态的概率分布。

2   M / M /s 等待制排队模型
2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

2.1 队长的分布

+ r7 A9 \2 A( W0 {& j! _& H) g5 V

2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长
6 f# f$ N) {$ x* g$ s4 F  d

. O% {& S* V% l
' ^( m" s; B2 P: J

式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。
8 R& G$ M; l9 j! Q
2.3 忙期和闲期



个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
( @% u' A3 y$ E% }
% B0 y- ^: A. u# v, R8 O% I; U# a3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
  n( R0 N0 y* ^（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。
% S; H' }. Z+ g& `8 w
（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。

（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
+ l: {. q- w! J7 j
4 G* y# _' l* V$ A+ ]例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。


% c0 U" X& o8 i( K
编写 LINGO 程序如下：

7 I( m% B5 |9 l% `0 r# v! L) rmodel:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
Pwait=@peb(rho,s);
p0=1-Pwait;
Pt_gt_10=@exp(-1);
5 A7 E( w& t! \! F% G1 Kend
3 G  u. T; H2 n* t; Q& l) b" F( J4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
, U$ g4 l, n: y8 F0 ^+ z8 W设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。
5 p+ A& F( _$ {$ Y, l8 o


公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记



式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：
; k0 m1 S' ]6 w. x) C1 X6 ~# w% f
3 N/ f' `2 ~7 w
! H" f6 x4 J6 F
  h9 S& z1 ?+ v7 `1 S( X
+ G, M% Q6 l( y* v7 A" j  W
6 f5 h( Q0 X% o( C# w4 S对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有
5 o6 ~/ C6 e0 E% I' O% u

; X# |6 O1 w4 x7 }; r2 m$ o
3 a" o# M! r7 j6 @例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个
3 c* {; B' C! R/ |& e
! }0 l1 L6 E. m$ J1 j& gM / M / s/ ∞ 系统，其中


' U1 L' E4 C; G0 Q8 n- n: Y
% E8 C: S' k( r* V
: [9 u6 [- q2 ^* w. }3 s# _
求解的 LINGO 程序如下：
8 A4 L7 K- f$ N, V. T
" o- |- ^7 |" t2 m0 omodel:
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
' _- Q5 R# h2 n' P6 }$ s; ]P_wait=@peb(rho,s);
7 o9 Y" z8 `* L1 L7 kp0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
6 ?4 @: D5 M) m2 AW_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
end
' Z  }8 o+ o# U8 ?; C2 A& V
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1 @8 d1 _* p8 l1 m; N& z# M. B原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735349
& W2 z6 K  q7 {: P
! r+ ^0 d3 C; P

SHINee0525

感觉很好 很实用
! n! a' j! g2 T