排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
: k, a3 b8 ~9 u; a5 `& ]9 n3 ]一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。

下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。


* z+ T- [' Q  c. B6 [, F- K  U7 ?0 J
为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
. `3 [/ o8 j$ W2 |
: _& y( ~" v8 T" A
1 G- G& l# M  |: t

8 P6 X7 W0 i3 y& R. f. G
述公式得到平稳状态的概率分布。

2   M / M /s 等待制排队模型
2.1 单服务台模型
" C5 ?( G3 C8 N8 W! V  N. ]% \2 G* S单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。
* X! H" o. c( |1 R
2.1 队长的分布

- q3 B6 |& J" c4 x% O
/ L$ h& q0 C8 W# L, ]1 Q6 u' Y
2.2 几个主要数量指标
对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长
4 z- H( W! U# E$ C& X9 o6 s% H0 P
; i2 b6 q$ L$ x



式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。

+ X: j8 F* f: V8 G4 V2.3 忙期和闲期

* T6 Y! W2 m* J1 N" B3 \

, d/ K, F4 M- t5 \' L( _% w个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
2 _% y7 f' O- {/ R% e- ?/ W* V
7 l. m$ O; V6 e9 U; L3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。

（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。

（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
4 {& F% ~! Q9 O8 a
3 k# U; o( I- J- p例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。

% q$ x- F* P4 u5 h( I) T- k
; \$ `% _7 ^$ x' Y+ F, Z
8 W# r/ c9 H9 }5 B0 @编写 LINGO 程序如下：

$ b. `7 e9 e7 m! U) Wmodel:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
Pwait=@peb(rho,s);
# \+ U5 o, s$ F' mp0=1-Pwait;
Pt_gt_10=@exp(-1);
end
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。
  D' H, i- c) `4 Z7 Y0 v

! V, A. c* i" [# f9 ~
公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
. S3 t0 G+ `. ]5 |
; g7 r4 p0 B( j" X& R; ?
. Y( q5 r6 r; g. K0 {
式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：


) ]# D/ Z% n# G" U& g* |

% b: f3 E$ K+ {( o) S# o: `6 v
' a/ u$ Y/ f! W8 ]对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有
: S* W* ^4 M$ O4 u- F) e& V


2 q% M2 y) s+ M6 p* @4 I例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个
" \9 ?3 C; D/ E1 H. V0 T2 q
  f* l5 S  }) @( rM / M / s/ ∞ 系统，其中




" Q* ?0 [# U% J/ T# ]0 L7 o4 }! L
求解的 LINGO 程序如下：
4 P" t7 I& R) X  S2 G8 X8 H: }
model:
! x/ ]! k6 n" W, s  D$ P' v" ps=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
P_wait=@peb(rho,s);
p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
# ]- e6 t# A% n" ]L_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
W_s=L_s/lamda;
end

2 ?* ~+ s, P. P, f- b: u% g! F————————————————
/ q4 ^: J- I! t版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735349


; |* V8 V9 V' l+ \) ]2 y

SHINee0525

感觉很好 很实用
: [* N. o9 t! p  N