排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

浅夏110

1 单服务台混合制模型
单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。


+ t. o- w# w  G$ H) y


由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是  。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：

8 H- H9 Z& {6 W8 |1 n8 F0 z, Z

例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。

5 M" t7 m* t, k' v# c解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中
5 a  v# M1 Z( h0 S6 O9 z
  [& W! h) O- [. P8 U
" I. ~! I( _* e' \  j4 ?
% B* f3 E6 a4 A: X0 Y) G0 I
; b( c: \! K( h! C5 X2 Q3 ~0 y
$ R9 v; G# b) t, N编写 LINGO 程序如下：
( H, R0 A6 H# d1 @. m
model:
+ P7 ~/ v; U# U) h8 Rsets:
% w- B0 K! S; d% s4 e% bstate/1..4/:p;
endsets
lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
lamda*p0=mu*p(1);
5 d' ~4 [7 T+ |" V5 H(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
klamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=mu*p(k);
5 Q; y, N1 p1 i* z2 i# Qp0+@sum(state:p)=1;
& ^+ P* r( i) ?6 FP_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
( t# H9 U1 g' [$ r1 N- I3 c% c( vL_q=L_s-(1-p0);
W_s=L_s/lamda_e;
1 {; g* {/ t$ \- g$ y$ bW_q=W_s-1/mu;
1 x2 ^; I: H$ G7 j( @' L1 xend
2 多服务台混合制模型
4 z' d6 Q" B4 s2 z多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。

由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中
9 Q2 J( O, i( K4 C6 Q$ m

0 j+ T/ S2 U' R: I: L
于是

  ]! Y  ~- S) v6 T" o
; z. u& j& R1 O1 v. d7 @1 U) U

; T) ?  r$ e7 X4 E4 I( d$ K  Z6 ?

& ~; ~/ ^, \- U) b  w
- o; ~, N5 f/ J- c+ a9 X* H& J8 @例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。
* @) ]# w+ {4 \7 H
- b7 {6 Z" R9 W1 K解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中

9 a' X8 B) Z) w8 N% A& J: B+ |3 d
! d. y$ h7 b& @: n  ^/ o0 L
编写 LINGO 程序如下：
, |4 P4 a% W7 B2 C, h+ b+ P
model:
/ `3 e: Z+ h; @sets:
% B! s9 k7 F! ?/ s1 n( d" _state/1..5/:p;
endsets
* t0 K0 [2 w3 K* S( L& j$ Xlamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
lamda*p0=mu*p(1);
& @4 p9 n- ^3 D6 P' t& W- n1 x(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
7 F# J. _* N* H% W4 B@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
) c8 R; _4 b3 A(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
6 F$ y% K8 i& glamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
% ^+ ], ^" p, Np0+@sum(state:p)=1;
1 y, W$ g# g, V3 HP_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
L_q=L_s-lamda_e/mu;
W_s=L_s/lamda_e;
W_q=W_s-1/mu;
+ [: [% ^5 B" w7 M2 ?: i( J* d. yend
! U  `1 {$ b% E9 k0 p) W* }7 t6 J在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有

. A: H, A3 ~; h

式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。
1 D( o: y  g% y- ]7 }" C
- ]8 Z8 a2 h! O: w6 `- M2 @. {5 t# D对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为
7 B# q( z0 P. G' l# O6 Q: p

# i3 X, i6 l  Y5 F
: v- _, e8 H3 Y/ ]————————————————
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