排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

浅夏110

1 单服务台混合制模型
; v. m7 e0 N3 S9 V; M单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。
$ B$ ^  I, N+ k2 I
6 \' X" X, Z' ]
+ @& d$ v6 J( V0 m0 y; x
" V8 _; Z2 r- T! g9 W) W

* K) h) _1 j# M6 Y$ ]! G2 }! H由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是  。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：


, {/ H9 v( K" T7 {8 V# ~( F
- D8 Y5 v  |% S例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。
# v1 q9 c" a# W
解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中




) A' _2 K; d1 [8 `
- m0 Z- F" x( I, P/ ~5 z编写 LINGO 程序如下：
3 l( ~, n5 J+ n6 O! Z/ w
model:
5 f/ z2 \, G/ c6 k) s0 |( Vsets:
state/1..4/:p;
3 p* n$ _* E# Oendsets
lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
6 [7 r- P+ g$ [! N3 G9 p8 Tlamda*p0=mu*p(1);
9 F( A& s' U1 u7 R% [% p) y(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
! U$ Y2 {# [8 p* q9 A. L8 e) aklamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
L_q=L_s-(1-p0);
W_s=L_s/lamda_e;
/ C; `" k3 @3 BW_q=W_s-1/mu;
end
2 多服务台混合制模型
9 \  N6 |7 p8 k9 S! q多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。

由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中
% a/ o7 A* D. b' a
+ d9 ]0 R( q1 _, b) X
3 z- h; o* P( X1 r9 }$ A" I
于是

# m$ \1 b' B0 F7 S+ P( U1 p


% l7 b* x! G6 m9 u6 H' U


例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。

解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中
3 A. i8 |' q+ h
0 V) \. X3 h  I( e6 z1 \% h5 N

5 J4 i+ Y# Z: E5 u编写 LINGO 程序如下：
/ Y  ^$ t; Y! Q
model:
  a* X$ s  Z0 ^) Nsets:
& F2 l# I* p. _state/1..5/:p;
endsets
lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
. B( l- t- c3 O4 C- e: Xlamda*p0=mu*p(1);
; p5 J" t/ P/ E- l% s(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
/ O9 m8 R; X# ?4 h(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
8 B6 S$ v& ~5 z' Y@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
3 v$ u& x0 J& h7 o! }P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
1 G; j9 m1 B/ B4 o; aL_q=L_s-lamda_e/mu;
1 Y5 O7 A1 ~# _: FW_s=L_s/lamda_e;
; q+ F$ v$ e( y+ G' iW_q=W_s-1/mu;
0 `+ ]% a. e4 J3 j! ^' oend
在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有

, S% U0 u8 a  w

2 Y1 W) E8 u; W+ N式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。
0 D. ~6 k' c, E8 ]1 w
$ r1 K( \& ~; e$ P4 ^9 e对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为
" k$ v' {# N/ a7 T0 s7 X
/ x) W1 v1 S+ w/ ]& j# D! {

/ o; ?* s( C, Q6 {! g  J————————————————
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6 \: f  h0 ]6 q0 z2 I+ _% F原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89735728


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