排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

浅夏110

1 单服务台混合制模型
- `( i! W, l+ [单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。
! Y! f. G5 o& S: k
2 _* a. z: V2 i

1 \* {( y  p. Q" w$ g: F
$ X" V) _# U- ]# _8 w
由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是  。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：
! f3 e4 @. W* q5 s" @( q7 {
, X4 T5 x4 I2 \4 [: S9 c

例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。

解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中

* u8 M1 V6 [- M. E; X


. I% l! S" z3 h6 z5 F9 v
7 A  x6 N/ J+ n) v! U编写 LINGO 程序如下：
1 l7 y6 A1 r7 p, B, `
8 \6 S2 s. w8 f2 K) X" Rmodel:
( }0 L+ p* J5 u7 ^& n% ?sets:
state/1..4/:p;
" s) l5 d& _9 m! S% Hendsets
lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
4 k: F% p# Y3 @4 Z7 l" @: s1 b% Flamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
% B6 p; B- q1 t, I; aklamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
8 g7 g2 }: N5 f) W& elamda*p(k-1)=mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
  h$ g6 |, T2 |, E; E7 j/ UP_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
, D4 o1 g0 R: d) q. |9 G9 c6 lL_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
/ ]2 V8 ]2 v4 c" s4 sL_q=L_s-(1-p0);
) V& z$ w; M; z  `7 [W_s=L_s/lamda_e;
W_q=W_s-1/mu;
$ l3 n: y! G2 v8 C1 U, D( oend
2 多服务台混合制模型
多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。
: g; q4 Y9 c' V# `
由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中
2 H3 V- ^- H8 }/ n5 n' [
/ ^. T1 \" y" |2 t0 Z

于是

& y1 f8 ]. x0 Y& S  v0 ~2 B

. A& V7 q0 E6 q6 \
8 y' f8 O- D) a- q6 v

1 E( H! n+ N2 S8 V8 O3 B" I6 d' [2 w
2 r: q# z7 t! a' [8 g. a例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。

解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中
* x  ]; J* B5 [

2 g; D" Z( z( U
4 E) L# O) S; z7 K. ]+ u+ J5 s' j编写 LINGO 程序如下：

: e$ o6 X6 T5 p1 y+ Smodel:
+ r$ z+ l# C" nsets:
% c1 U7 N6 e7 e: ~% s, E' Sstate/1..5/:p;
endsets
lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
& L! c4 q8 n( R9 d5 J4 U0 Glamda*p0=mu*p(1);
2 F  }) |4 w! b" ~5 N- p4 ](lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
0 \; B& |; d/ k( ]@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
. S3 _$ I8 G4 e/ |" V. T0 T@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
- ?6 b; a! \3 j4 V' q0 hlamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
' R8 s# f) I9 IL_q=L_s-lamda_e/mu;
W_s=L_s/lamda_e;
) P% Z! ^& Y- CW_q=W_s-1/mu;
: `) \  t/ N; v0 c/ I/ G! S; |: Rend
% ~1 o3 _- m2 H) @  M在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有

) S% H. ~8 p; |. Q

% k5 R7 ^, s3 }, H. Q式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。
+ X9 ~; v3 Y9 f8 N0 P. u
对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为

2 z: V! H, J% D$ L  j" t

% U: ]: e* n  S6 |, E% g————————————————
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