排队论模型（四）：M / M / s 混合制排队模型

浅夏110

1 单服务台混合制模型
单服务台混合制模型 M / M /1/ K 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指数 分布，服务台个数为1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统的空间为 K ，当 K 个位置已被顾客占用时，新到的顾客自动离去，当系统中有空位置时，新到的顾客进入系统排队等待。



0 Y8 k5 b0 s+ q2 T: m9 w

4 z1 d4 o9 M% j& \由于排队系统的容量有限，只有 K −1个排队位置，因此，当系统空间被占满时， 再来的顾客将不能进入系统排队，也就是说不能保证所有到达的顾客都能进入系统等待服务。假设顾客的到达率（单位时间内来到系统的顾客的平均数）为 λ ，则当系统处 于状态 K 时，顾客不能进入系统，即顾客可进入系统的概率是  。因此，单位时 间内实际可进入系统的顾客的平均数为：
: h* ?. ~. g* o+ T
* J. R2 U; u! ^
( z$ s0 Q8 `6 V5 l+ i- o( d3 I
) w, Y9 Q1 x/ N例 5 某修理站只有一个修理工，且站内最多只能停放 4 台待修的机器。设待修机 器按 Poisson 流到达修理站，平均每分钟到达 1 台；修理时间服从负指数分布，平均每 1.25 分钟可修理 1 台，试求该系统的有关指标。

% z# P- O& D7 P) m解 该系统可看成是一个 M / M /1/ 4 排队系统，其中
* B9 x/ ^  u8 ]5 |1 E# w; ~

# N* S, N4 w* v6 x% b2 H6 \1 C
: }2 Q: h- h' M% i$ W- a  {

编写 LINGO 程序如下：

model:
* C7 Z: u& y% Ysets:
state/1..4/:p;
endsets
lamda=1;mu=1/1.25;rho=lamda/mu;k=4;
  B( ^. r4 |. z0 R- |/ Z. r8 }lamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+mu*p(2);
" Y" X: Q% \% R/ x- C# x; P  X8 s@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt#
. [2 Y& U2 m) C* a# y$ Aklamda+mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=mu*p(k);
p0+@sum(state:p)=1;
$ k6 O- s+ c' M8 r4 NP_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i)|i #le#k:i*p(i));
( V5 r1 F9 s/ H7 C7 Z$ JL_q=L_s-(1-p0);
W_s=L_s/lamda_e;
W_q=W_s-1/mu;
end
2 多服务台混合制模型
" V  i4 O3 }: ?多服务台混合制模型 M / M / s/ K 是指顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 s ，每个服务台服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分 布，系统的空间为 K 。

由式（4），式（5）和式（6），并注意到在本模型中
. ~) f) O1 ?! u. c' V0 ~; D
7 ^8 ~, P% e( ^& t! `8 A  A
% M) Y8 \3 _, w
3 T- O3 v5 H" k. S0 t4 c5 r+ y于是
: X3 {: Y* W, G! |
1 l1 Z, l4 n; J/ I% ^: j, ~
0 b( _( f2 N* a3 K8 j
/ }) I! Y+ f/ H' a. ?( ^) }- U



例 6 某汽车加油站设有两个加油机，汽车按 Poisson 流到达，平均每分钟到达 2 辆；汽车加油时间服从负指数分布，平均加油时间为 2 分钟。又知加油站上最多只能停 放 3 辆等待加油的汽车，汽车到达时，若已满员，则必须开到别的加油站去，试对该系 统进行分析。
0 Q0 J4 L9 l3 v- a/ s$ ~& u
解 可将该系统看作一个 M / M / 2 / 5 排队系统，其中
3 Z* F5 u0 m: k" u5 l$ v2 Q9 q/ Q


, m0 Q  C% r8 \编写 LINGO 程序如下：

model:
7 o) N; _" _% k4 \+ @8 x1 o$ u. W$ F: Esets:
state/1..5/:p;
4 G# b9 R( [# Gendsets
lamda=2;mu=0.5;rho=lamda/mu;s=2;k=5;
+ |8 @& t( M7 s9 W" N' klamda*p0=mu*p(1);
(lamda+mu)*p(1)=lamda*p0+2*mu*p(2);
4 o! R/ Q- w$ M2 x8 P0 M@for(state(i)|i #gt#1 #and# i #lt# s:
% Y1 |6 J& M4 V7 S  G(lamda+i*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+(i+1)*mu*p(i+1));
1 Z  ]8 d( j; R+ W' x@for(state(i)|i #ge# s #and# i #lt# k:
(lamda+s*mu)*p(i)=lamda*p(i-1)+s*mu*p(i+1));
lamda*p(k-1)=s*mu*p(k);
$ |5 k, W+ ]! j& d7 @: g: ]p0+@sum(state:p)=1;
P_lost=p(k);lamda_e=lamda*(1-P_lost);
L_s=@sum(state(i):i*p(i));
L_q=L_s-lamda_e/mu;
' [' f4 f/ [/ O# A2 Z7 e: `+ Z6 x  o- zW_s=L_s/lamda_e;
( |& H! |, j: y. P3 HW_q=W_s-1/mu;
# l! D& s/ D6 L+ r6 |end
在对上述多服务台混合制排队模型 M / M / s/ K 的讨论中，当 s = K 时，即为多 服务台损失制系统。对损失制系统，有

' o& J. C; b8 ^6 [

式（52）称为 Erlang 损失公式， B(s, ρ) 亦表示了到达系统后由于系统空间已被占满 而不能进入系统的顾客的百分比。

+ E8 H1 Z9 \8 J+ H6 y对损失制系统，平均被占用的服务台数（正在接受服务的顾客的平均数）为
' H; b) g6 o$ ~1 E4 N$ a9 {# k; d
) W1 @. _6 h% f9 J/ l

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