排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型

浅夏110

1. 有限源排队模型
现在，来分析一下顾客源为有限的排队问题。这类排队问题的主要特征是顾客总数 是有限的，如果有 m 个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后仍回到原来的总体，还 有可能再来，这类排队问题的典型例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m 台机 器，当机器发生故障时即停下来等待维修，修好后再投入使用，且仍然可能再发生故障。 类似的例子还有m 个终端共用一台打印机等，如图 2 所示。
. i! Z& D4 U4 o/ Z
" y' b+ B2 n. m$ J

关于顾客的平均到达率，在无限源的情形中是按全体顾客来考虑的，而在有限源的 情形下，必须按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为λ（这里λ 的 含义是指单位时间内该顾客来到系统请求服务的次数），且每一顾客在系统外的时间均 服从参数为 λ 的负指数分布。由于在系统外的顾客的平均数为 m − Ls ，故系统的有效到达率为
' G' v- e4 C$ J; B. y* L, U7 S
; a* o  |0 T4 {1 h3 h
1 i6 ^3 I1 b& T
下面给出系统的有关运行指标
1 S: K' |. i; w3 p% }
; S2 B( s8 h: q3 ]+ K% R

$ m! z0 \$ B' I例 7 设有一工人看管 5 台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均 为 15 分钟。当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为 12 分钟，试求该系 统的有关运行指标。
; B% c* I  H7 D6 ~9 p
! r/ W0 \* i: S/ V2 e- A解 用有限源排队模型处理本问题。已知

; L, A1 {, R9 N9 \1 y6 {+ ^
' `. V+ n& m! m% U

$ }% u* T. t2 H  c
9 n5 V2 I  l: F$ F8 v8 |! e% L即该工人每小时可修理机器的平均台数为0.083× 60 = 4.96台。 上述结果表面，机器停工时间过长，看管工人几乎没有空闲时间，应采取措施提高 服务率或增加工人。 LINGO 计算程序如下
! S5 `6 H; C/ w8 F1 V7 z* ~
( W! m! c1 x, [3 q/ Nmodel:
lamda=1/15;mu=1/12;rho=lamda/mu;s=1;m=5;
4 `5 g: p9 \  Z! X) dload=m*rho;
L_s=@pfs(load,s,m);
# f$ |# Y* E: e, w1 Vp_0=1-(m-L_s)*rho;
lamda_e=lamda*(m-L_s);
p_5=@exp(@lgm(6))*0.8^5*p_0;
- [" X( z' J$ m6 ML_q=L_s-(1-p_0);
w_s=L_s/lamda_e;w_q=L_q/lamda_e;
8 y; B! N" `* y' s$ Uend
9 V/ T* u4 {% z, J9 s2 服务率或到达率依赖状态的排队模型
9 r: n- h& M8 `- h5 K! n在前面的各类排队模型的分析中，均假设顾客的到达率为常数 λ ，服务台的服务 率也为常数 μ 。而在实际的排队问题中，到达率或服务率可能是随系统的状态而变化 的。例如，当系统中顾客数已经比较多时，后来的顾客可能不愿意再进入系统；服务员 的服务率当顾客较多时也可能会提高。因此，对单服务台系统，实际的到达率和服务率 （它们均依赖于系统所处的状态n ）可假设为
6 c6 o- i6 c0 e* g: J, s! o
/ v' \9 h, N5 G7 ~5 i1 j

% j0 W8 h0 g3 f" J7 \& |6 v) m
6 Z* r$ c/ y7 G4 p$ |3 U9 L

, a- ?5 s. G, ]1 d& h( l! F4 a- V8 {————————————————
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