排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型

浅夏110

1. 有限源排队模型
0 q/ J2 M' z8 G5 e+ @现在，来分析一下顾客源为有限的排队问题。这类排队问题的主要特征是顾客总数 是有限的，如果有 m 个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后仍回到原来的总体，还 有可能再来，这类排队问题的典型例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m 台机 器，当机器发生故障时即停下来等待维修，修好后再投入使用，且仍然可能再发生故障。 类似的例子还有m 个终端共用一台打印机等，如图 2 所示。



关于顾客的平均到达率，在无限源的情形中是按全体顾客来考虑的，而在有限源的 情形下，必须按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为λ（这里λ 的 含义是指单位时间内该顾客来到系统请求服务的次数），且每一顾客在系统外的时间均 服从参数为 λ 的负指数分布。由于在系统外的顾客的平均数为 m − Ls ，故系统的有效到达率为

) T4 w  c' A3 X" o/ L& p
" S/ v3 T6 J! Y
下面给出系统的有关运行指标


; M/ a3 Q, S& s! N/ m; P
; b9 r; Y% H: }% f$ y  B+ k例 7 设有一工人看管 5 台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均 为 15 分钟。当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为 12 分钟，试求该系 统的有关运行指标。

; N; J8 H4 P6 i; r$ |! M! s解 用有限源排队模型处理本问题。已知

: ?. y$ W) N' h9 h! n& \
* S' B, D  o( f5 I; g, e" F


即该工人每小时可修理机器的平均台数为0.083× 60 = 4.96台。 上述结果表面，机器停工时间过长，看管工人几乎没有空闲时间，应采取措施提高 服务率或增加工人。 LINGO 计算程序如下

model:
6 B, E$ B2 w- u, }. k9 R% u# s4 Ylamda=1/15;mu=1/12;rho=lamda/mu;s=1;m=5;
load=m*rho;
L_s=@pfs(load,s,m);
) E0 d; {7 Z0 @1 `p_0=1-(m-L_s)*rho;
8 {! a: m; D8 _* O, K4 Y- tlamda_e=lamda*(m-L_s);
4 L+ g& U; C% @" @+ e4 Lp_5=@exp(@lgm(6))*0.8^5*p_0;
L_q=L_s-(1-p_0);
w_s=L_s/lamda_e;w_q=L_q/lamda_e;
5 T% C" u5 M: Z+ }) Dend
2 服务率或到达率依赖状态的排队模型
在前面的各类排队模型的分析中，均假设顾客的到达率为常数 λ ，服务台的服务 率也为常数 μ 。而在实际的排队问题中，到达率或服务率可能是随系统的状态而变化 的。例如，当系统中顾客数已经比较多时，后来的顾客可能不愿意再进入系统；服务员 的服务率当顾客较多时也可能会提高。因此，对单服务台系统，实际的到达率和服务率 （它们均依赖于系统所处的状态n ）可假设为
3 L8 y1 Z* x5 b2 r8 |

7 ~" a! t. O1 Y  j8 ]3 j( @) O
3 R8 L7 F8 D7 M7 q& E. s% A


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