排队论模型（五）： 有限源排队模型、服务率或到达率依赖状态的排队模型

浅夏110

1. 有限源排队模型
现在，来分析一下顾客源为有限的排队问题。这类排队问题的主要特征是顾客总数 是有限的，如果有 m 个顾客。每个顾客来到系统中接受服务后仍回到原来的总体，还 有可能再来，这类排队问题的典型例子是机器看管问题。如一个工人同时看管 m 台机 器，当机器发生故障时即停下来等待维修，修好后再投入使用，且仍然可能再发生故障。 类似的例子还有m 个终端共用一台打印机等，如图 2 所示。


- l/ N, P) x0 ~6 f; {) R. q" D+ t1 o
关于顾客的平均到达率，在无限源的情形中是按全体顾客来考虑的，而在有限源的 情形下，必须按每一顾客来考虑。设每个顾客的到达率都是相同的，均为λ（这里λ 的 含义是指单位时间内该顾客来到系统请求服务的次数），且每一顾客在系统外的时间均 服从参数为 λ 的负指数分布。由于在系统外的顾客的平均数为 m − Ls ，故系统的有效到达率为


8 w. X8 V3 S1 `4 k
下面给出系统的有关运行指标
, a* U5 |( k6 I) z2 B$ d

. Z5 c% P* h) R' o+ @
; Q# z% \& r# s+ V例 7 设有一工人看管 5 台机器，每台机器正常运转的时间服从负指数分布，平均 为 15 分钟。当发生故障后，每次修理时间服从负指数分布，平均为 12 分钟，试求该系 统的有关运行指标。

8 g0 r+ l: c: w# Z3 e# O解 用有限源排队模型处理本问题。已知
# c, j' |4 z, d7 C% n8 J8 y, ]; ^
- q' g0 t* l7 b( |5 j

/ Y0 S7 U6 p9 k7 Z* ]
8 D& V1 d3 t/ ]6 o
+ C) e% J' k- {  Z即该工人每小时可修理机器的平均台数为0.083× 60 = 4.96台。 上述结果表面，机器停工时间过长，看管工人几乎没有空闲时间，应采取措施提高 服务率或增加工人。 LINGO 计算程序如下

model:
4 H4 r; c8 d7 K6 h+ q  y8 Ylamda=1/15;mu=1/12;rho=lamda/mu;s=1;m=5;
7 d# U8 C  R  q6 Wload=m*rho;
6 i  g* k# l+ t8 LL_s=@pfs(load,s,m);
& y( R* j  S5 ~) q9 [# h5 Sp_0=1-(m-L_s)*rho;
5 o/ e' b( X& k* ?( Y5 F6 Qlamda_e=lamda*(m-L_s);
p_5=@exp(@lgm(6))*0.8^5*p_0;
, c# e4 l( U, j1 |L_q=L_s-(1-p_0);
! A+ E, r/ c1 ~w_s=L_s/lamda_e;w_q=L_q/lamda_e;
2 `) s9 u9 ]# fend
2 服务率或到达率依赖状态的排队模型
在前面的各类排队模型的分析中，均假设顾客的到达率为常数 λ ，服务台的服务 率也为常数 μ 。而在实际的排队问题中，到达率或服务率可能是随系统的状态而变化 的。例如，当系统中顾客数已经比较多时，后来的顾客可能不愿意再进入系统；服务员 的服务率当顾客较多时也可能会提高。因此，对单服务台系统，实际的到达率和服务率 （它们均依赖于系统所处的状态n ）可假设为

: R4 H) M7 P. b* {. D* q2 i2 L
5 L  k2 @" {. k+ |( _' i6 u


% G! o4 ?; Z, Q
* t) c5 r9 c2 ^————————————————
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