排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。

4 n& j2 g4 b; L$ H: {3 I8 J在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。
- k4 A3 K5 c6 F  T" w
1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
% G* d; ~9 q$ |, h& R0 l先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即
; e2 y+ y8 ^5 |
% E) b* g- c! \% [) O
5 e4 t4 v# ^$ a% v$ r

7 {) f9 R9 j' l+ h- S- B

. R# `2 r, M/ u' W7 [! b6 b3 v/ c/ ?
编写 LINGO 程序如下：

" w: F. O- i/ ^+ P- Mmodel:
# m* |( d" e3 s3 k# Es=1;k=4;lamda=1;
4 Z) K7 H9 _1 e" v4 C1 o6 ?' UL_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
max=100*(k-L_s)-75*mu;
end


: W/ o/ D8 k/ d# e& _
8 X  ~/ c5 T0 ]# N, s
编写 LINGO 程序如下：
7 `& M$ E2 b6 l& P- [- F5 x
) Z3 G! r8 W9 i& p0 ], N1 Rmodel:
  Z7 p4 U  m5 ?sets:
state/1..3/:p;
endsets
% r2 U: I% Q5 \" m+ b, G$ i+ ]$ dlamda=3.6;k=3;
lamda*p0=p(1)/t;
8 E/ i" F& ]1 a& S5 a% K1 }(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
. D5 N0 z& u$ `3 Z  S0 x% z4 [p0+@sum(state:p)=1;
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
end
! w9 j8 k4 l2 O5 p# |  O& C4 U) u( l求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。

2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  
; c" C( ^' y9 {6 Y9 [; [
: {' T' g8 x+ o


例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？

- Y, e) O2 z9 F& F. Y* l

0 O9 u: ]+ m/ R5 ~( _1 J1 b% N求解的 LINGO 程序如下：
4 ~- s* }. `5 F9 l5 y$ ^
model:
lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
P_wait=@peb(rho,s);
L_q=P_wait*rho/(s-rho);
4 M2 `6 R. t2 c# s6 m% uL_s=L_q+rho;
; ~) E/ e( I; [! {2 T+ f1 I& R9 `min=4*s+6*L_s;
: [1 ?4 t' L# g' w: s0 V' z@gin(s);@bnd(2,s,5);
) r( d5 b4 W6 o+ F' kend

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