排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。
' ^9 n. T' ?! F8 X; ^0 c% |
# n# E% `  H9 x在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。
3 K5 t! m6 e- c3 e
1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
4 |7 p9 \- K, y$ p先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即


: {) b1 G( V7 G. `! m2 v
3 i( _9 d  L! H6 e& M
0 \2 W0 W% Y, K4 Q6 E

  V1 m9 C  A  s( n7 \5 W; f
编写 LINGO 程序如下：

) Y5 @, X/ R$ N  Y" q% A9 hmodel:
s=1;k=4;lamda=1;
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
6 o/ O2 T  I* Bmax=100*(k-L_s)-75*mu;
/ h9 P8 X+ s* H. b* ~# m- A" ^end

+ `' h& F# ]& t: \

1 X3 n- J! [) G
, |( u% z- \( F6 p5 g编写 LINGO 程序如下：

model:
sets:
state/1..3/:p;
! `# W# i* {9 D  pendsets
lamda=3.6;k=3;
lamda*p0=p(1)/t;
3 \& Q/ n2 J, I2 h5 q- E8 B- ^(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
% m( }' \' S$ v, p/ F@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
3 b4 g* t3 C# j/ w9 Z8 N) ^% g(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
p0+@sum(state:p)=1;
5 h' m2 j& G! N2 O  pmax=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
% _" |) Q+ w! {1 K$ y+ Z0 Hend
求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。
, N# \, d- \2 G  L) \3 a
2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  
+ U7 ?  g4 C$ h
4 \; V' r0 j5 b! ~% ~: E# m2 F1 p

' e& D& D7 M) `. p+ o  t4 l
例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？



求解的 LINGO 程序如下：

model:
lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
/ z% }) p% f) p. A: P  _P_wait=@peb(rho,s);
' y. u7 K) `( L  a# _; xL_q=P_wait*rho/(s-rho);
L_s=L_q+rho;
min=4*s+6*L_s;
+ |* d! {/ W9 |4 Z/ J& T  N4 k2 v@gin(s);@bnd(2,s,5);
end

4 t' y' W5 d' Q- ?: M————————————————
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$ q0 m0 K- R9 k9 b' T7 T2 f
; l; h6 Z* o& F+ U# Z5 M) K" |9 T
* I, x, j5 M! L, ]5 {3 a; M