排队论模型（七）：排队系统的优化

浅夏110

排队系统中的优化模型，一般可分为系统设计的优化和系统控制的优化。前者为静 态优化，即在服务系统设置以前根据一定的质量指标，找出参数的最优值，从而使系统 最为经济。后者为动态优化，即对已有的排队系统寻求使其某一目标函数达到最优的运 营机制。由于对后一类问题的阐述需要较多的数学知识，所以本节着重介绍静态最优问 题。
* x, E/ L6 s7 q0 S: A3 l6 F
1 K) W) r1 a: W0 \1 I6 a* U8 f在优化问题的处理方法上，一般根据变量的类型是离散的还是连续的，相应地采用 边际分析方法或经典的微分法，对较为复杂的优化问题需要用非线性规划或动态规划等 方法。
+ g% {7 @$ q' I) F3 G- }, B' C
! O# a% F, n: p2 ?9 _) G: u1.  M / M /1模型中的最优服务率 μ
先考虑 M / M /1/ ∞ 模型，取目标函数 z 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留 费用之和的期望值，即
& `; Z4 p0 L; Q5 Y7 k; [+ {8 O. q




0 a% R0 `8 j) E3 L- ~) O/ D# A* c

编写 LINGO 程序如下：
4 D8 B% k1 |2 `6 c, r& Y
" W) W! F" R# @2 kmodel:
s=1;k=4;lamda=1;
L_s=@pfs(k*lamda/mu,s,k);
max=100*(k-L_s)-75*mu;
end



  Q. [9 I# q+ G0 x! E# b
' K: T& c, y& j* e( c" t编写 LINGO 程序如下：
' c$ u, r9 i" p9 Y+ ~# y& D
model:
sets:
state/1..3/:p;
endsets
# I$ d, V- m3 Z. wlamda=3.6;k=3;
, o% L# V. y3 ^/ f: z" B0 slamda*p0=p(1)/t;
& h2 s& X4 l3 x(lamda+1/t)*p(1)=lamda*p0+p(2)/t;
@for(state(i)|i #gt# 1 #and# i #lt# k:
(lamda+1/t)*p(i)=lamda*p(i-1)+p(i+1)/t);
lamda*p(k-1)=p(k)/t;
+ ~* M, E0 p; j2 K; _0 _! Lp0+@sum(state:p)=1;
max=2*lamda*(1-p(k))-0.5/t;
5 B0 C# H! ]9 _! P) g" mend
求得系统为每位顾客最佳服务时间是0.2238h，系统每小时赢利3.70元。
7 C) \0 k8 o0 J0 y  D
) M. D6 S7 [: j' S7 N" @2   M / M / s 模型中的最优的服务台数  




例 13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服从 Poisson 流，平均到达率为λ = 48（次/d）；每天来检验由于停工等原因损失 6 元；服务（检验） 时间服从负指数分布，平均服务率为 μ = 25（次/d）；每设置一个检验员的服务成本为 4 元/d，其它条件均适合 M / M / s/ ∞ 系统。问应设几个检验员可使总费用的平均值最 少？
0 P( n; h& y8 t" G; S5 b2 H
5 ?: Y6 D: _$ Z4 w! |& X& B

求解的 LINGO 程序如下：

model:
lamda=48;mu=25;rho=lamda/mu;
4 C" R0 U9 I" l7 g3 J+ z- r9 `7 s% z; }P_wait=@peb(rho,s);
" A& g2 ?& j# Y& t2 \) qL_q=P_wait*rho/(s-rho);
L_s=L_q+rho;
; B- F8 k2 s' T9 n  R! J: K( `6 J6 Hmin=4*s+6*L_s;
' K9 x% }! }5 E7 z4 \/ G3 l( E@gin(s);@bnd(2,s,5);
) G% K9 Q+ Z+ e* F' k$ a3 Eend
( B( `( i9 b& \
* }9 g5 {/ c/ F2 ~————————————————
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