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[建模教程] 排队论模型(八):Matlab 生成随机数、排队模型的计算机模拟

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    发表于 2020-6-13 09:35 |只看该作者 |倒序浏览
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    1 产生给定分布的随机数的方法3 T/ R" }0 ^9 `3 M. o
    Matlab 可以产生常用分布的随机数。下面我们介绍按照给定的概率分布产生随机数的一般方法,这些方法都以U(0,1) 分布的随机变量为基础。
    ! M3 ~! B" B9 {% O2 Y! ]4 P/ ?3 J# W: t# D5 ~
    (i)反变换法. K( F$ r2 ^" z1 J- g
    定理 设 X 是一个具有连续分布函数 F(x) 的随机变量,则 F(X ) 在 [0,1] 上服 从均匀分布。
    ; ^! b9 @6 m* L" ~
    & ?' h8 K. v6 s' v1 i
      G  z( D; B+ o
    2 A1 a! q0 r4 ^5 X
    + @* [& ?* E, N( X, V4 y. u/ `6 x2 x3 P7 m& G9 G3 E6 v$ G. S
    (ii)卷积法& ~5 k4 P3 |, d! F# L4 c- \
    6 p6 Q, x$ _+ n$ g8 r; F

    ' u& a/ y. ?. ~' r- u6 J% }8 ]* a2 `. b
    (iii)取舍法
    ! L! d7 H- \; u若随机变量 X 在有限区间(a,b) 内变化,但概率密度 f (x)具有任意形式(甚至没 有解析表达式),无法用前面的方法产生时,可用取舍法。一种比较简单的取舍法的步 骤是:
    $ H1 @: x  g, Y# j
    ! H, }1 m: e* x" I
    - V& `! F; m; m$ A$ Q) D( `' |, ~- A5 v' h, Y" u5 B
    2 排队模型的计算机模拟
      G; T/ `$ ?  |2 N, N$ `- k2.1 确定随机变量概率分布的常用方法
    ; v1 M( j4 W) \5 |* _* p) f# ]在模拟一个带有随机因素的实际系统时,究竟用什么样的概率分布描述问题中的随 机变量,是我们总是要碰到的一个问题,下面简单介绍确定分布的常用方法:, y9 a: N3 h2 I3 }& R4 K

    - k' \5 {& T- o# `: w- Y7 t【1 】根据一般知识和经验,可以假定其概率分布的形式,如顾客到达间隔服从指数 分布 Exp(λ) ;产品需求量服从正态分布   ;订票后但未能按时前往机场登机 的人数服从二项分布 B(n, p) 。然后由实际数据估计分布的参数 λ,μ,σ 等,参数估计 可用极大似然估计、矩估计等方法。' T* {, X2 |# T+ `
    - x8 \/ Z4 c' y6 E6 h5 j: @1 S
    【2】 直接由大量的实际数据作直方图,得到经验分布,再通过假设检验,拟合分布 函数,可用  检验等方法。 3 o 既缺少先验知识,又缺少数据时,对区间(a,b) 内变化的随机变量,可选用 Beta 分布(包括均匀分布)。先根据经验确定随机变量的均值 μ 和频率最高时的数值(即密度函数的最大值点)m ,则 Beta 分布中的参数   可由以下关系求出:
    ' _7 @3 u8 X- [. A4 b3 u
    : Z  W& O3 c$ ]( q) U* y4 X- b0 N
    3 n# h+ a$ g1 z2 U7 x; a
    / ?# c" f8 V; `# v6 W& n$ N2 ] 2 .2  计算机模拟! s! K* l) V6 f- l
    当排队系统的到达间隔时间和服务时间的概率分布很复杂时,或不能用公式给出 时,那么就不能用解析法求解。这就需用随机模拟法求解,现举例说明。
    ! m; n' v& I2 @  u
    " z9 O& g9 ^0 h/ D例 14 设某仓库前有一卸货场,货车一般是夜间到达,白天卸货,每天只能卸货 2 车,若一天内到达数超过 2 车,那么就推迟到次日卸货。根据表 3 所示的数据,货车到 达数的概率分布(相对频率)平均为 1.5 车/天,求每天推迟卸货的平均车数。
    ! S1 M9 d6 k4 K. [4 Z6 O- z! N& t* }9 r3 J# h
    / E. _  w" s( m! p, L* I
      N' h( `( A6 m8 p7 h) d7 Y9 [
    解 这是单服务台的排队系统,可验证到达车数不服从泊松分布,服务时间也不服 从指数分布(这是定长服务时间)。 随机模拟法首先要求事件能按历史的概率分布规律出现。模拟时产生的随机数与事 件的对应关系如表 4。
    / f" O  u* E& q" Y
    ! V2 ?3 l" l& B5 z# ]
    . |0 q8 A9 @; _$ D# @% M' n) F4 Q4 B- M' p
    我们用 a1 表示产生的随机数,a2 表示到达的车数,a3 表示需要卸货车数,a4 表 示实际卸货车数,a5 表示推迟卸货车数。编写程序如下:
    ( t) c# O1 B9 p$ A* r) l: r$ p0 d: H) d# j0 m2 u+ W
    clear3 `4 U) h% p0 w4 ^
    rand('state',sum(100*clock));
    0 P* J8 S- S$ v. q1 a2 un=50000;2 g' m" E, B6 X4 F8 c
    m=2
    - h: G: n- J2 D0 b8 ra1=rand(n,1);
    $ o( f" R& H4 I9 j! y2 ]a2=a1; %a2初始化
    : m9 m" E! q/ ~3 s; ?1 @a2(find(a1<0.23))=0;# M0 q6 q1 t6 U7 A' f7 a. Q6 i) {( {
    a2(find(0.23<=a1&a1<0.53))=1;. a3 ?: T3 L" g
    a2(find(0.53<=a1&a1<0.83))=2;
      z. C" s$ n' [$ L& j! Ja2(find(0.83<=a1&a1<0.93),1)=3;9 v  H# E# q2 q& O/ m) T" [0 U6 M
    a2(find(0.93<=a1&a1<0.98),1)=4;( \. g( G) C" {( N7 d) Y
    a2(find(a1>=0.98))=5;
    & d) C" B! h* \8 o9 ]6 n0 R3 Ra3=zeros(n,1);a4=zeros(n,1);a5=zeros(n,1); %a2初始化
    9 b; y# ?% U* v. c# @a3(1)=a2(1);
    6 N9 _& a! @& s" E3 R# a7 H# Mif a3(1)<=m
    . F* J( U8 b- }- x( j7 ?    a4(1)=a3(1);a5(1)=0;
    ' l2 X( C+ b! ~. z' n; telse9 D) P# @1 c  g
         a4(1)=m;a5(1)=a2(1)-m;8 Y  g+ O5 H" _& n1 x
    end# E& k) S$ O% \: _* S; \. j: @
    for i=2:n
    5 P8 _  C8 I" l/ m# n9 R& c    a3(i)=a2(i)+a5(i-1);
    / a$ B9 p4 x* z5 ^6 h    if a3(i)<=m
    ! v, n3 M( q8 Z: Z        a4(i)=a3(i);a5(i)=0;/ d+ J# L4 ^$ J# j: }
        else
    ' s  b' f% ?9 G/ J) s        a4(i)=m;a5(i)=a3(i)-m;
    * I- q: W- h% c8 p9 ^    end3 k5 P; m$ Y" Z. u% v' N8 d% d
    end5 G; l9 Y. z" u4 J( y# N: k
    a=[a1,a2,a3,a4,a5];
    * v$ l" T# G# ^sum(a)/n 3 J1 B4 M: ?$ K; C# F
    例 15 银行计划安置自动取款机,已知 A 型机的价格是 B 型机的 2 倍,而 A 型机 的性能—平均服务率也是 B 型机的 2 倍,问应该购置 1 台 A 型机还是 2 台 B 型机。 为了通过模拟回答这类问题,作如下具体假设,顾客平均每分钟到达 1 位, A 型 机的平均服务时间为 0.9 分钟, B 型机为 1.8 分钟,顾客到达间隔和服务时间都服从 指数分布,2 台 B 型机采取 M / M / 2 模型(排一队),用前 100 名顾客(第 1 位顾客到 达时取款机前为空)的平均等待时间为指标,对 A 型机和 B 型机分别作 1000 次模拟, 进行比较。
    2 b$ i2 U9 M- J, N6 D. k" @" i
    8 D+ ^1 f: ~0 N$ _, y/ m
    % Z1 N/ l8 E) m2 {" g& l5 g
    ) d. u7 ?0 W5 v! |/ w在模拟 A 型机时,我们用cspan表示到达间隔时间,sspan表示服务时间,ctime 表示到达时间,gtime表示离开时间,wtime表示等待时间。我们总共模拟了m 次, 每次n 个顾客。程序如下:
    0 d( e5 a4 Z3 S: l
    * s# H% z8 q  ?* i% Ktic! T/ ~: n- C0 \) G8 k  U
    rand('state',sum(100*clock));
    5 C0 m/ J4 @- T& nn=100;m=1000;mu1=1;mu2=0.9;9 X1 s; M, F' z& a$ w4 D
    for j=1:m
    9 C5 V- q! h% Q+ w6 B! I    cspan=exprnd(mu1,1,n);sspan=exprnd(mu2,1,n);2 ~  A/ V0 l/ |) T& H, j; M
        ctime(1)=cspan(1);/ k8 k% c" x% ]9 E6 |. h' S
        gtime(1)=ctime(1)+sspan(1);: i" l* e; o' P5 b
        wtime(1)=0;
    5 h2 k& [: Q0 p$ x) A    for i=2:n
    * N# ^5 E) Y- d+ |/ W        ctime(i)=ctime(i-1)+cspan(i);
    ' g( F4 z. j1 G$ V! V. @% X- f        gtime(i)=max(ctime(i),gtime(i-1))+sspan(i);
    ) I1 y* o4 c1 x9 m# {        wtime(i)=max(0,gtime(i-1)-ctime(i));
    , b) `, D( W8 i! Z4 g5 ?5 m    end) @7 k' e. [0 ^' W2 a
        result1(j)=sum(wtime)/n;
      k/ J" d3 Y! g- A! Uend
    / r9 N# ^5 X3 Xresult_1=sum(result1)/m : K/ o  E0 L' u  ~( B& W9 \# p
    toc
    5 S/ b' H8 m# N7 ^7 D- }类似地,模拟 B 型机的程序如下:, d4 F# Y& a4 e& P7 ?6 b2 Q6 ?
    & V" a$ ^+ r* e2 o( P) p
    tic
    - C' O: \2 X% h0 L9 Q/ Y3 z/ }$ s$ Xrand('state',sum(100*clock));6 A; X8 s# {% n# p0 ?! v) s& V
    n=100;m=1000;mu1=1;mu2=1.8;
    # D8 j2 @1 t  |  H/ w: lfor j=1:m
    " [- u7 C0 L. t) f$ K    cspan=exprnd(mu1,1,n);sspan=exprnd(mu2,1,n);
    ! ^8 l; y7 X) C6 i0 Y    ctime(1)=cspan(1);ctime(2)=ctime(1)+cspan(2);
    9 g1 ]; [$ g; e: S  `    gtime(1:2)=ctime(1:2)+sspan(1:2);
    ' x3 F2 m+ y& O, Y/ h    wtime(1:2)=0;flag=gtime(1:2);
    ' c: k+ _7 s, Y' w& w* A9 M    for i=3:n
    $ S& r/ K, X, n2 u- R6 Y1 T        ctime(i)=ctime(i-1)+cspan(i);' T1 t% C2 U! f+ t% q
            gtime(i)=max(ctime(i),min(flag))+sspan(i);
    ( @5 X# J- s& I0 ^  P+ U  g        wtime(i)=max(0,min(flag)-ctime(i));/ h/ T  \. X( l8 t# m" G4 d$ b7 a  @
            flag=[max(flag),gtime(i)];
    : i- |9 I" Q+ f- Q! S# s& F6 w* J    end
    ; m7 q8 a9 a3 Y+ H$ @    result2(j)=sum(wtime)/n;
    4 Y4 K3 Z4 R: B7 P, p+ Send; `1 d4 F' n# D% [& \5 v
    result_2=sum(result2)/m3 V7 y8 @/ a. @
    toc - m5 N! P4 i! A& X4 b  A
    读者可以用下面的程序与上面的程序比较了解编程的效率问题。
    5 d2 E% f& k# o4 j) s2 C) N* q  H* j) ~# Q, A# A
    tic
    ) p* F' v; B" j, hclear! g. t, @5 }% v# j4 e; u( _
    rand('state',sum(100*clock));
    ; n% u( A, Z: T6 bn=100;m=1000;mu1=1;mu2=0.9;
    & t. W1 y% E. f3 t0 Ffor j=1:m
    8 G8 q6 k& F" L% h* K    ctime(1)=exprnd(mu1);
    5 z/ z8 w6 v" b7 }) x% b    gtime(1)=ctime(1)+exprnd(mu2);
    . M" K1 |0 \# Y9 `) U; ^    wtime(1)=0;
    3 [( y* f! U3 u& ^2 ?    for i=2:n
    ; _: @, J& n( m        ctime(i)=ctime(i-1)+exprnd(mu1);. i: v5 S6 F* H6 _# c) O7 |& d
            gtime(i)=max(ctime(i),gtime(i-1))+exprnd(mu2);5 q! R5 z: h! j4 f0 W
            wtime(i)=max(0,gtime(i-1)-ctime(i));
    0 Y7 u* s2 ~  {  p. ~    end  `* ?+ ]4 j8 w5 a9 a
        result(j)=sum(wtime)/n;5 I2 r% q# \, m
    end
    ! ?. g# M, Z# y/ X! \! \/ m) Fresult=sum(result)/m3 ^: l" W* w" Q9 y7 \% @: J" P- f
    toc
    # c$ Z& C: o" \4 ^1. 一个车间内有10台相同的机器,每台机器运行时每小时能创造4元的利润,且平 均每小时损坏一次。而一个修理工修复一台机器平均需4小时。以上时间均服从指数分 布。设一名修理工一小时工资为6元,试求:! i6 I! S: B: V: H: j+ S/ b

    3 o$ b6 m$ V0 c8 O  Z+ @: r(i)该车间应设多少名修理工,使总费用为最小;
    " k" f1 W* y: e% L( i) p
    * A1 F5 d1 I% z* b- Z/ Z+ D(ii)若要求不能运转的机器的期望数小于4台,则应设多少名修理工;
    / w1 A5 a8 L' e/ ]) x/ w( @* x$ K; Z" S$ ^" R
    (iii)若要求损坏机器等待修理的时间少于4小时,又应设多少名修理工。
    ' x1 r. }4 A" x: E& ]4 k+ P
    4 b' l! j1 w/ |3 D2. 到达某铁路售票处顾客分两类:一类买南方线路票,到达率为λ1 /小时,另一 类买北方线路票,到达率为λ2 /小时,以上均服从泊松分布。该售票处设两个窗口,各窗口服务一名顾客时间均服从参数 μ = 10 的指数分布。试比较下列情况时顾客分别等 待时间Wq :
      l! p2 L) Q* T4 y
    ) t# E% G; h5 F- E(i)两个窗口分别售南方票和北方票;3 }9 j! o' a3 z' J* q! O: c' A
    ! J; ^) J" V4 [1 D+ |+ d' @
    (ii)每个窗口两种票均出售。(分别比较 λ1 = λ2 = 2,4,6,8 时的情形)) e) r7 S, Y" H# h
    3 f' _) z, o6 d+ ?: O$ r1 B
    3. 一名修理工负责5台机器的维修,每台机器平均每2h损坏一次,又修理工修复一 台机器平均需时18.75min,以上时间均服从负指数分布。试求:
    5 F" M8 }; a; p1 h* |3 f( Q, B- U: G
    , Z+ [# o! w) E0 h(1)所有机器均正常运转的概率;
    1 T; O5 l4 K% Q. U  [( v. O
    * O7 E+ r, K  q(2)等待维修的机器的期望数;+ w( J9 t7 S0 T; Y+ ~8 h
    ( o, Y! l- V/ o7 U) ^
    (3)假如希望做到有一半时间所有机器都正常运转,则该修理工最多看管多少台 机器。# Z' O8 o( X  Y% }
    ( O! Z1 K& P5 |
    (4)假如维修工工资为8元/h,机器不能正常运转时的损失为40元/h,则该修理工 看管多少台机器较为经济合理。9 w- H* S; t5 k- p2 C: h$ C
    ————————————————( x2 d5 ~5 k' G* j8 x9 h+ O
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。8 ^+ P, l& q5 ?2 a3 A, {- M( [
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89738145$ [7 D0 u- M9 @. p  x) b" L% h
    2 j$ f+ A5 X. O( I2 l

    1 T+ `( D( K# H6 q
    zan
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