动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
) V2 l. o/ q8 V$ n' H
变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
, m4 f/ q  B2 d3 f  X
6 e: X- Z9 ]2 t1 变分法的基本概念
, @8 F0 e; c) Y/ n% l  C1.1 泛函
0 I/ j; m6 P* z+ R6 n5 \. U
+ V1 [& _4 B. D, X
" R$ N# q4 [8 W% C9 {2 A1 _; j
+ Q) c; ~% f6 m# @ 1.2 泛函的极值
1 |  N- x& |: r' l& M


1.3 泛函的变分

( |# u5 d$ _  P
( M6 \2 \# C, F9 E! I

/ N$ l" D7 @# q% e+ j/ c1.4 极值与变分
! W9 ~7 Y% j8 I9 H4 D5 K利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
' s( T* b# I8 `" }- ^: U
3 Q+ Y; B  p) |
( L" @! i4 N* N2 e% L
1.5. 变分法的基本引理
. K3 q  F% I) A' ~) B+ ]
' u- |# l$ K9 E7 j0 _/ v

2 无约束条件的泛函极值
" v& I& m5 c; Y) k! d5 V
9 I/ w8 H! N$ h: c

- c$ H- c5 m  d. y# v) ?7 N2.1 端点固定的情况



0 l6 C3 d& y/ I) [) X/ J1 r
% i/ }# v' [" E, u0 W6 y/ z2.2 最简泛函的几种特殊情形

- c( l! E( L8 Y9 [$ m! j) C0 ], v
8 ]" q: [0 |# w4 f. p

- y# _4 J" N" d/ n, S# ]: B( f+ W
3 x; k  u, h; O3 p2 N例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。




8 n# ?; C; F+ @
" b5 p+ p8 f  C" U) r例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
- v1 W8 _0 W+ T

0 K! l% d) z3 {& c+ m& l
" q0 a& I3 _0 u% g( _8 B2.3 最简泛函的推广
+ U+ f$ Y8 i3 K9 w9 C最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

/ x+ A  |0 u2 t, w$ _9 ~( _5 s（ⅰ）含多个函数的泛函
- e+ `7 E  p# D& R7 ]) \
0 g# |3 S- f' Q- F4 A& a

（ii）含高阶导数的泛函
+ Z* q$ `5 h! m' }- P4 S5 O
1 f8 \9 }  \2 u( t" C0 H

/ |  O6 U7 n' `- Z6 i; c（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程

/ r9 B1 [( l) I+ f' Z: `9 t; D9 E
/ ^( G% W3 d6 b0 P4 z* A
8 L: o7 H; M6 l' O1 Q2.4 端点变动的情况（横截条件）
+ l3 ?& E- b5 y2 H& u
* @% ~0 [3 w3 C4 E$ ~
2 Y+ W2 ]' `$ h% O
; E( ~5 F* U- a( k$ X3 D
横截条件有两种常见的特殊情况：
. i2 H# U. b2 M. E1 t5 p: ?

3 v8 N  F; N$ A8 d% o2 G
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
: V6 E' k+ f, u
1 E2 ]; N$ p( @ 3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
# s+ {" `1 ]$ R2 r

& o1 j2 r, W7 D7 @

4 H* j# L. v) c% S) h, s  d
7 P+ t  a+ m4 N5 F  b


4 r/ m* ?: u2 R& R3 w' O
4 最大（小）值原理


3 H7 \& T# W! l- v' O
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