动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

变分法简介
) a, l7 ^1 Z" ~, T
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

1 变分法的基本概念
1.1 泛函


- B' P, U8 D/ i) N
1.2 泛函的极值
1 z' Z6 X# S$ T2 l) e


/ u9 L) B; N+ @% M: @' F& Z7 d1.3 泛函的变分

4 o% }: }0 V1 ^1 c1 ^

3 r1 H  h7 G" u0 Z: u
1.4 极值与变分
& k" `6 X% m" v; T! K利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
% w4 K& X, J/ h  m3 i0 t

' X3 S8 E/ ^3 f+ P; e1 \
7 R4 D- R6 p8 p1.5. 变分法的基本引理
6 {9 e. _9 V4 U. L% j


2 无约束条件的泛函极值


  a, @. T' i1 D3 o' g( V
' l7 S1 x. C# j6 J( U, w9 D2.1 端点固定的情况

7 n) N# C0 ]5 [1 K( r' e- X$ I, {
8 |7 B. J/ \! R/ p' H
2 G' g8 {# R4 D& c+ B* M0 Y) S; f
5 y0 E/ q% J1 U+ a3 Z5 \7 a; X2.2 最简泛函的几种特殊情形
& S" {! R7 N% f! c. g  [+ s$ l
2 ]* K5 U8 i8 {4 W3 D

0 S* {3 w2 L4 C) v

2 }( z' K' o1 i5 h) f2 z: B( E例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
7 ^1 o4 b1 B7 F8 ~# v
6 i) g1 ~9 }) J% S2 t. B

: B* ^# J2 W1 M+ M/ ~

( m4 z3 j- \; {! r0 g例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程



5 @! G3 D& I. ?% z, z2.3 最简泛函的推广
( j9 N5 d$ F- V最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函

. r9 k! F! e: ~1 v9 G

（ii）含高阶导数的泛函
- R- [  `* x5 q1 I% J


（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
4 m2 \3 ~3 |2 G
6 T$ `# ~4 q. x7 \9 S2 p

2.4 端点变动的情况（横截条件）
' A! i- D, K( K+ V
, L) x1 u8 N: {% a# u0 Y


% I: g2 O; I* K7 B横截条件有两种常见的特殊情况：



注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
5 n1 W! k2 q4 p: Z
3 有约束条件的泛函极值
& N" S' s7 I% W$ G2 T在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统



6 R! _& Q; ~" V& [
+ P0 {2 l! f2 N' y  \6 l+ c7 f




) B/ |; [4 K+ i1 A, o4 最大（小）值原理

% R* y( O" x7 f/ J, ^  ^- c& J
% C( I6 L& a; p
. T% f7 s$ G$ g4 n* |————————————————
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6 A$ O* R) h! c7 F