动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
4 ]: I! G4 o: T5 a
变分法简介
+ U# L; |: }( H' W
9 A9 S" Y& x1 R8 r2 Q变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
; S! f- }5 ]/ Z9 h
1 变分法的基本概念
1.1 泛函
# q1 j( h" R2 q- m. C( f/ O
# c5 \5 `; D) R* Z$ w9 Q

1.2 泛函的极值
1 |4 I. h- m4 T) V' L' w


, F& D# l9 M! t' o" @. ?* O1.3 泛函的变分
; l# T, U: n5 f: u
( ^- Q6 x' R3 n- b) c  j. T% L
5 r0 n, y# ^! q
( o3 S9 X) {/ g4 x( ^
1.4 极值与变分
! E: W( t% l+ s  ~  w利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

3 E1 h: z2 G1 t3 u. k, n# f' w

- |0 C* }3 {3 S: }' Z# w2 n1.5. 变分法的基本引理
( o, I7 T9 x7 r9 N9 g
! a9 y& a+ S4 T  l
. [5 H# S. R; c. b, c; Z, e
2 无约束条件的泛函极值
4 J* l* W; T: u4 o2 U. q# Y
3 m' X1 Y6 k3 Y- V  Z) l0 C
) z) L+ B2 v: \! b- j; c
2.1 端点固定的情况




" V0 c8 p  r; a/ j. |2.2 最简泛函的几种特殊情形
/ o: b4 [8 E/ T" \



; V8 }6 f) i0 r- q1 Z
" o5 M8 u5 D. B: L) v2 M3 |; h8 {" P例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
& c# J: u2 z7 l2 l- X4 @6 r# n
0 p: |( F: n; ?( @8 i# w8 G" k
+ W1 V# J/ |& S! B- Y, z; k0 ]
5 @$ g' T  @' g# n7 x
1 M% Y- I' y* ?2 W3 \4 U3 m
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
7 ^) \. B8 `8 |  ]" g+ H6 H! l! d; w


2.3 最简泛函的推广
: u* G8 j4 l  a6 K) M  N最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
/ `' F6 N3 d7 N" n+ K6 ?" M
9 q% X$ Q/ E* O! C0 G; ^（ⅰ）含多个函数的泛函


2 [" C) R+ }, ^
（ii）含高阶导数的泛函



（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程

- J" F+ P; v! _/ R1 i6 A; |
0 F6 E! G* {$ a( M" d4 @
0 s2 \' K: X/ a( G4 x( b2.4 端点变动的情况（横截条件）
& Y6 G. V7 A* A9 o4 D
* c5 z7 y* R0 V; ]
  i- y" g# E" a+ ]

横截条件有两种常见的特殊情况：

% p3 R; @1 ^; T" o% Z4 k3 w
& t, C6 s' {" t8 s; s$ h& ]. c3 o. N
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
! h0 j- h3 g0 Y+ L在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
  V  e/ a6 |2 U4 Z9 k/ c+ n- p5 Y0 C
5 ?- ^& y2 @* U6 r( c
" t" G1 A. W( r  B7 O$ I

" W& c! v5 n0 C- N2 ?$ H

  L4 S2 K# a: Q' q
; ]9 A( H$ A8 r. b. r. r
. o, M7 ^8 J4 p
4 最大（小）值原理

' q) V- p! W# Q2 B! @# p$ a$ T

/ f: V% D1 T" O( K. i3 r————————————————
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8 u# F8 X/ D1 E% d, y