动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

% ^+ k' N: S+ o5 w! ~+ L变分法简介
6 x/ W5 ?4 p& ^9 }' ~& Z& e! g
) S8 G6 [. q5 {. P: \变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

& ?- s$ Q7 P6 G# a# v! {9 o$ Z1 变分法的基本概念
( [# ]1 W1 M4 S1.1 泛函
4 q$ Q2 ^2 ?. Y  i+ `
; e: \5 b* f9 ]/ q, G1 K6 c

1.2 泛函的极值

( A/ z( e$ S+ \) C) _0 e( r7 v

5 z. `4 C3 ?) @$ [1.3 泛函的变分

. U7 b9 `+ v: J# d


1.4 极值与变分
; Y% l" ?5 w+ D/ ^3 \  M* k, k利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
& A2 r5 R6 G: N; K1 E# _8 k2 o

- e2 y7 |/ u1 S1 h) k! i
" `  h6 [9 e0 x1.5. 变分法的基本引理
1 E& W4 L% E4 K) }; N9 F( [
" B9 E: m0 A7 E4 B4 O

2 d0 R$ b3 ^9 j3 y* B3 G2 c2 无约束条件的泛函极值


) I+ T1 p( i% y2 u) l. a% f, m
  X+ ]5 d6 s4 m( s; \2.1 端点固定的情况




  ?' O7 }. f) l) G! y2.2 最简泛函的几种特殊情形

- P: w$ ~1 j* r* s/ c: W
" v4 j, x4 M3 R5 F, ~: Q


例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。



/ V" g. _& o( H. t6 K4 p

1 |$ e; W# L/ F' L7 l例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
9 O6 j; U( t8 }- g& f1 l
5 ~4 _6 @: `& y. O/ z( n' M8 R
- o8 O" V, u! z8 F# {( A
8 I" N6 J2 v. V2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
' @% N2 W6 [2 B  _* z! Z
/ j* q; V0 ~  `（ⅰ）含多个函数的泛函

: A0 _1 ~+ V4 |' ^, _: R
/ ~$ I4 G6 w0 x+ s# M  Q
! c  j5 B4 E0 y9 ?  Q. G（ii）含高阶导数的泛函

2 R6 M, g0 q% o- k$ j! i

* }5 J3 [6 m: H$ m2 B! J（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
* k6 P, U, \+ W

6 l3 M+ U! z6 k6 i2 e
2.4 端点变动的情况（横截条件）

8 t' j9 g/ h& I' [
# ]4 U0 @$ B1 D% e7 ~

横截条件有两种常见的特殊情况：

# c5 D, S7 b2 F7 M" s
, c( W2 v+ q7 d
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

3 有约束条件的泛函极值
' ^( \& l& [8 c  a$ C在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统

; \0 ?$ c. A9 o* n


* l: h4 u; t6 f8 ]8 d% ]
+ t' x0 p3 e4 Q/ n9 b1 [

! i3 v1 u, y/ O+ m1 O
0 p5 M: E0 l; j1 v# y  y( u# d5 P
7 }( x% a# O5 z0 Q4 最大（小）值原理
8 j2 _  Z% \+ f, ]


9 F8 U! |$ q' K' |$ B; H. j0 h, b————————————————
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