动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
5 g0 s; y+ d' @0 Z# K
变分法简介
+ w  f& I2 }. Y, F! ~  M
7 o+ M% @3 J- x: a) D* H! B变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

1 变分法的基本概念
- Y$ J) e- g. i" y1.1 泛函



1.2 泛函的极值



5 M. s, ]# D" G8 y6 h* c1.3 泛函的变分
7 O5 }; B. G7 Q1 I

1 t7 H' c5 R, L

/ L5 w( e3 l8 }; ]1.4 极值与变分
  P8 T5 e0 m* ]# u7 y- c利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

9 t9 j# `5 q0 J

9 v6 z5 ~( T$ L* ?4 P) j! _3 E9 E& M1 ^1.5. 变分法的基本引理
/ S0 f- g7 d9 o* F0 Y

! u/ M. X4 z( m8 ]$ a' C. \
2 无约束条件的泛函极值

+ X% Z) K1 k) v* d5 K

$ b9 w, G  }/ k2.1 端点固定的情况
2 M7 Q9 W9 K: v* \& U" S7 S! P



! l" ?$ N- ~/ i3 s& ~2.2 最简泛函的几种特殊情形

; P8 M" Z7 I4 n5 O0 r

) b) V  V+ K7 @6 L" p

6 ]( s. v1 H5 A. R例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
4 G  [$ g2 W1 M6 @
" c; e! K9 K$ v
7 L7 @* P" H! ?& C

9 K" N9 y8 `8 Q7 b9 t
/ F; Q2 H0 Q4 w3 o例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
' W4 ^: q0 W6 z
5 M# y# ~( S' _) t# F; u/ E  l% l
" I% `3 w+ e8 }) i
+ {( e' I/ N+ i- l' Y2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
0 h" `- t. Y# t, B- i1 c' D# F' S
（ⅰ）含多个函数的泛函

2 X8 d% Z0 g% T' ~6 g" v
4 x/ j+ D* G9 \. E
3 C+ `' E) P( w: F, H* X# x0 I) J! J（ii）含高阶导数的泛函
8 N  u* p& N2 x% B  U, h! y
/ V9 O8 z$ |" v2 R: y
3 n  B% c$ H, i1 p9 ~. M% ^3 c# Q$ m- V
3 {% }9 J) U. J7 g  `3 y0 p（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
9 R0 {9 t# u1 [5 O5 o
. T* K9 w0 U' \0 t
# d0 `8 D! |4 B; r, Y
2.4 端点变动的情况（横截条件）

0 W! N, s/ S: G

* J8 |4 I9 _1 w2 y8 O4 D
横截条件有两种常见的特殊情况：
1 s- G* ~  o& q
' O6 P3 x% y2 W% @
4 Z  _! H4 w, {1 ]0 ?1 k9 V8 e
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

( U# S1 e3 N$ S! L( J# b2 ^ 3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
( Y3 z' F( g- R9 Y
: _, Q) g+ o; k. M% O, w2 X



9 ^& x4 Q% B, _% t3 H' L0 j, i
1 V2 ~- M5 Q4 t3 y7 E

2 _. m3 \, ^. j1 M
4 最大（小）值原理
* H7 {- Z) S6 t) U2 G$ i
/ ~' {* i, [  G$ ?

: M- b0 s# M5 J# u5 F, H# t————————————————
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