动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
, v/ O5 u) E, v9 ?2 Y
变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
& U5 \  _" E4 f: r
+ \+ J- Q3 X6 B9 v$ C9 g9 K1 变分法的基本概念
1.1 泛函


5 k: h5 h& T# h  @" J0 W1 i$ U
! T; F5 w/ F/ ?$ L& r; }8 p
& R/ E* I# X! P  Q4 h5 T 1.2 泛函的极值

7 H9 }/ q8 C1 Z9 U) K9 U$ r

1.3 泛函的变分
' C0 _2 E' z) R, {




. H3 r! U2 ^3 [! c0 ]1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
+ ?" l6 I, c! m$ Z, I$ J: L% N5 }
5 Z" @& _' A8 D) ^3 c/ a' N
4 L1 t9 L5 L: Y1 a# ~. h( w
1.5. 变分法的基本引理

" b0 _) }* r- P2 L" P
2 H) ~( Q" x) p6 A
2 无约束条件的泛函极值
2 v% n  T& P* h4 a5 B* H
+ w: L1 B9 }& k( ?. K

2.1 端点固定的情况
  h! D) g7 y: Q8 H$ l: T3 C
6 C+ k3 e7 L1 \' y- l
4 l% S9 e$ E8 z5 F5 I

2.2 最简泛函的几种特殊情形
( C! g1 D& `% K8 s( ?
  a4 j: U9 f6 T9 h

! e& a; W+ s. d6 I
例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

. Q% D* P, q: @+ r/ p

5 E+ o( b, X# O8 Y! ?8 {3 [

例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
& z" T3 P- o  c/ b5 L  I

: S) y$ Z$ E6 v" `
2.3 最简泛函的推广
( Y5 W  H$ |: T# w3 G7 b/ J最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
. Z9 y2 p7 e8 Q% {5 D  w5 x
（ⅰ）含多个函数的泛函
* F' c- ]( q/ {8 U6 p
8 @, L% ^: G* O1 U  _

$ N: }$ K& F+ A) Y* Y/ S2 o（ii）含高阶导数的泛函


: s7 {% H+ G) s
1 E% ]( i( J% U8 Q. q（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程



1 }/ r/ C8 O' k; ]- W2.4 端点变动的情况（横截条件）
' f+ s/ f% N8 f3 U+ f
' M5 N( D/ }) a; m, @, ~


横截条件有两种常见的特殊情况：


7 |6 A2 T. V' B, Y% c
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
8 w0 i3 n, x% C& N; S4 I/ Z$ c% W* X
3 有约束条件的泛函极值
& S( g4 ~; \' ]+ K3 g在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统


9 P( q; b5 H* G- E4 J% T" o

1 l& u: o( ?5 M5 K& Q9 J




$ O6 T2 U0 r( e; F. o4 最大（小）值原理

2 J3 l& i8 j* d- a* V. \
' H) `, Q3 c$ J1 X8 J! |
. @2 @5 `9 }+ P% f————————————————
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