动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
) Z: t1 x6 I' s$ M
变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。
- N, T$ ?$ y+ p2 Z
  k( e  N8 P: ~( w# z" n1 变分法的基本概念
# y  B' Z6 ^0 x7 d1.1 泛函
+ B7 g) N' b- n- k" G

  _4 ]- l6 E  s4 B4 \9 C& l

4 c# Y, Y! w3 u& F" o6 f 1.2 泛函的极值



1.3 泛函的变分



4 e. K* V8 L. Q, S

* L* C( }. @7 o* R" m. ~+ Y2 O: \1.4 极值与变分
: t! \1 p9 e, P, F0 v: M; U利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
8 N1 [. i" \3 O2 A( y# ~/ h

  Z$ {" d8 Y% ^8 c- Z  U) e
1.5. 变分法的基本引理
& z7 S9 b9 b  g4 j8 w

- ~0 }. |& p; R1 u( @- W
2 无约束条件的泛函极值

$ ]* V* R! J. A5 x3 L$ G( V
! l0 x. {! \9 P+ K0 y2 \! Z
8 K$ `1 ?2 P4 L/ e0 d2.1 端点固定的情况
' ?) F6 D2 t3 e$ o. P

; O$ u3 v( \: i4 y* G# {# l) @
; u) m7 {( G4 {. ^0 J  q& U6 l! j
2.2 最简泛函的几种特殊情形
/ @- B7 {4 O( `- V" D) Q- h
; F2 P5 I. {% G2 b  [; U, J
3 k7 [0 C% l2 I3 V8 q( i+ e" K

例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

' h) |% e; G- H

3 D" J: @: Y, j8 g

例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
  M9 `9 z+ n- `. \' E. K/ G


# S# A: U# m: a+ Y; z8 L2.3 最简泛函的推广
1 L; ?# w; m0 N+ H5 ]# b) w最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

2 n8 K  L9 h& B: L（ⅰ）含多个函数的泛函

* v9 T% G8 V; m2 l# |
: M8 r7 V$ e) s  e& Y* a. Q
* P/ q% F3 U8 y6 A: X$ V/ Z（ii）含高阶导数的泛函


- z7 s" z) R) B& _1 A: W
. K+ m1 r3 @9 l7 {- W- O5 z（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程

* N9 u" S1 J1 |2 f
2 }6 H( A# K: o2 k1 N! l3 ^* x+ R
2.4 端点变动的情况（横截条件）

0 t% E% b9 q# a) l: H0 f
- D, t0 X9 E  J3 E5 _

; \7 J4 C( w/ N2 D横截条件有两种常见的特殊情况：

3 z- v5 }5 Q' N2 ]1 U: k% j0 }( H

/ R( e( p" Z& Z: v! ?4 y注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
1 B9 G$ ~# |4 Q; w8 J
3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
6 M5 a5 R( i- d- G



  U. K  P. q% |+ G) }6 `6 x- Y
# q7 y( T& B; M4 `7 x9 q  J
6 a( g& i  f+ J0 f: a! K8 a. m9 t
4 U& z- a/ C/ f+ v( w3 l. g1 H

2 l( P/ w9 h- d) g  ^7 ~% f6 a4 最大（小）值原理
$ D. H* s( X2 S7 y% q( l
* o7 m- Z3 m* g' {+ v

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% P0 ?& O6 R+ ~; V9 e: `  |( F" g

7 c4 x/ q. x% f6 y2 E' T