动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

3 A' r3 }/ ^; g$ U5 q4 M变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

1 变分法的基本概念
1.1 泛函
7 Y& R% [# `6 w& J& T9 H1 A
* T( c3 P: {- x8 V


$ n* G9 M8 d( N/ j' I 1.2 泛函的极值
8 r. b0 M, j8 t: O7 z


+ f) b/ M& ?0 p) G1.3 泛函的变分

: |8 j6 {; @) I( N. P5 z. T9 M3 Y3 J

" e) S! T7 E% W5 P: f2 ?
. G+ N; J0 `& f; ^
" |$ v- H0 o+ G1 V' X1 B1.4 极值与变分
$ ]! Z1 F4 O  D: f利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
; d, K; A' J3 Z9 D* I
4 z) z0 X% z; q* R; T, I- H
+ m( I  z# f& P& E( j
1.5. 变分法的基本引理



) }- b( D4 \. j* \2 无约束条件的泛函极值



2.1 端点固定的情况
' J+ W4 k! w) b3 _* N$ M' ^


: x2 o- t! o2 a0 X' q/ N
; K" w2 N& b; ]1 L. M2 C* [2 j: W2.2 最简泛函的几种特殊情形

' x2 ~- ?- g8 o  @


例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。

. a$ [% r$ A- `# h) D2 z; J  g

; h  p( y" p4 W

例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程


- r' @; K2 Z) q; u! a: q
$ O7 [, h5 A( z: W" G9 q4 u2.3 最简泛函的推广
6 U; {5 c0 v  H: L. ~% n2 d+ |最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。

（ⅰ）含多个函数的泛函



（ii）含高阶导数的泛函


: c( R# W$ D; ^1 @* E0 F
（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
8 s, u% L) }& a/ V4 U
8 ]% h5 v1 s+ [; z+ j6 M

2 v- P/ n& _1 S, \$ ^8 e2.4 端点变动的情况（横截条件）


  S  W+ l, q7 A  c  q1 y& P3 u; w2 i  P

横截条件有两种常见的特殊情况：
) l5 l  R. Q/ \6 }' b
0 z' L3 N% u& ?! J4 x
! t% G# @- V( P( X7 w0 j+ g3 m9 ]
4 }7 F6 H$ |" A9 a6 N注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
  v( v) H; c; `/ K
3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统

* ?1 b1 Z$ N& ?% |



* B) B) g( K, _. O7 |/ [) i% A
5 `8 O, N/ r, R# E0 K! _. `
2 V' y  p0 l" ^% \
. ]* m; U' u) Q/ n
: }( c) I3 _$ E$ M4 最大（小）值原理

$ t  @0 l& T: ]9 `# J/ g' x

! {4 f$ k0 U3 o8 ~————————————————
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7 |: b( o# }6 l( E0 S. o& s

9 u; g1 p. z4 D7 k8 J1 S0 V