动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。
" K# y; s8 u6 L, ^
变分法简介

变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

1 变分法的基本概念
- M3 }3 V7 ?! l3 A  X2 g; s5 G' ?1.1 泛函
% t* d2 Q4 G# Y* H
. b, O6 d+ L& ]# ^* f: v& Q' D


8 H2 s" n- R1 f# i& ^. a# C! F- U 1.2 泛函的极值
# X3 k( M# p8 I$ N

6 e9 V, }' n1 a' M4 W9 h
- b$ P2 W$ R* T! a1.3 泛函的变分

. g1 B) Z# D# N+ V% N* V

& N' u' N! z' M0 {+ Q7 X; _

4 P5 ]6 @; m3 D- e8 W" U0 ~, e  I6 u% k1.4 极值与变分
+ z% K' ^5 r) E  C利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：



6 ~0 E# H  ?9 n' f7 y/ [1.5. 变分法的基本引理


0 Z% n; @6 M3 w
) y5 v% ^- d/ K, T% o% ?' d; o$ u2 无约束条件的泛函极值
% _+ E0 L" n( y# m7 R3 G. m" ~2 \: c
- S7 _( \: P% c: ?- Q

2.1 端点固定的情况




2.2 最简泛函的几种特殊情形




例 1 (最速降线问题)  
最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
+ O3 y8 `! R& b# i, L


) x8 r6 t% C! ~: g' h6 U; m( W4 c1 P
: w5 y7 Z5 m1 o+ R
例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程

# h, {5 _+ f, @, F

, i7 x; }3 y& z: H7 Q  z2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
! P, E8 n' M3 w, u6 |+ G
（ⅰ）含多个函数的泛函

; G: n4 A$ c, H" ?
9 B/ _9 _( p- D' w( {# @
（ii）含高阶导数的泛函



  [9 E7 N" G# O, z) l" Z! e: t' X& o（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
9 T0 u5 o8 u, c* a+ B* p  R


  m8 `3 T7 |5 ~1 b7 n4 n0 k2.4 端点变动的情况（横截条件）
; r4 S, s$ h! T+ P: {% V  q" M/ P0 A

! _/ v- p( M3 g

横截条件有两种常见的特殊情况：

+ }8 e. A9 s" [) t9 p$ |* p/ y
2 b: ]9 f$ Q7 T# ]1 {
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。

0 z6 Z/ s; G3 b- f+ e 3 有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
' _3 K; k9 K' n: {) F
- D9 N1 c' X' ~- p
+ w* i5 j+ D5 C' C, b% O! y" D

7 d: C' _. A6 y8 Z8 p2 X


$ ]! _: v! u" C) M! H' l2 L) o

4 最大（小）值原理

1 M; [# u" U4 R; M: L8 Z' y4 b
0 Y+ _* L' A( Q% ~, y1 c9 B& u
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