动态优化模型/ 变分法：泛函、极值、变分

浅夏110

动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制 函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又 简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方 法。

变分法简介
0 Z! S# f8 X: b" }7 x
8 ^3 O" M+ H+ {( M8 x2 A* b) v变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变 分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值 原理。

! m7 T8 _3 r1 A4 B/ J. N* J7 W1 变分法的基本概念
4 q! i$ O! x# ~1.1 泛函
/ J5 \1 D: v( e  V# t- ?0 ?


) e# E5 p& v" O! O5 I3 Z6 C
1.2 泛函的极值

0 v* a  }) ]9 }1 B

7 i: b5 \, F3 S! c9 v9 q1.3 泛函的变分

8 p/ T/ [# {0 l& d



8 l" i7 L& p. V3 [1.4 极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：

. Y2 L( p) P4 F0 {7 Z) W

" |9 b3 g  N! U) a$ q* q* J1.5. 变分法的基本引理
( h) Y7 Z) L/ C1 m# B' M% S7 [, [

6 C8 [; I) I4 e  h* M
$ `, A% B' |, s" I0 j' K) |2 无约束条件的泛函极值

3 |9 Z& v& _  t6 H7 a. }# Y/ }  `* I
, k" [( G( j& K' V9 X0 l/ C. Q
5 b$ r% @' \7 k4 t2.1 端点固定的情况
4 P2 K6 O5 G1 o2 p. m



& ~+ P* Y: f! e: ?0 H2.2 最简泛函的几种特殊情形

$ ~' c( W9 D  o, e8 s: t; t
7 {+ X  C* r+ z" l3 F  }

例 1 (最速降线问题)  
3 N( A, C, \. B; M) g最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于 1696 年提出的。问题的提法是这样的：设 A 和 B 是铅 直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，当 质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 A 滑行至 B 时，使所需时间最短。
8 D: H4 T( `! O4 p5 m, H

2 z; q! S  ]2 {( @3 b! r0 x; Z


' {$ V3 f$ `5 x4 V例 2 最小旋转面问题 、悬链线方程
: p6 n, h# t4 G' A, B
+ J, o% j; ?4 j$ h0 J9 o1 e
$ _: @: L! }: z/ ~
: S3 {' g& U- }3 Y' d' M, Z$ l5 O8 L2.3 最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
6 n- s" V7 A4 }( a# B' Y
（ⅰ）含多个函数的泛函
; |+ b/ |) c4 [. T& z5 t

8 K" T  M" m* c/ @, N6 c# _
) K! p; X. X* g. O; N  q% r% ~" E（ii）含高阶导数的泛函

# g, r! y: B) K; y7 t: }) `
' w9 T) s  U" L. q) r! ]+ C& T
! B- I# s6 S& p3 Y! Z  }* u（iii） 含多元函数的泛函、奥式方程
; C& M  J3 M, Y3 V
" [1 `! X0 ^: K& n' q/ Z

6 K& _" k3 J* }2.4 端点变动的情况（横截条件）
, f/ U- k$ N1 z  ?( H
$ W' }. E% S0 u/ D; y* h) n

0 x0 N! F: M* H  r" {1 j
横截条件有两种常见的特殊情况：

  o' \7 A: ^, x5 W! h' l
- g8 y' @/ }3 o; d7 q
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
4 ]9 i( E. y& T; I, ?2 `
, E( L6 B1 d  _9 a% H; R 3 有约束条件的泛函极值
( E/ }9 o7 D. N1 q在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
+ l8 [. c& N9 ^: u/ E1 A  b# K4 K

' N0 w* C6 ~/ v3 l9 ^$ z

9 I- z. ]0 C# L* L4 b: c% R




4 最大（小）值原理
9 o' d9 ^& n. E: J; ]


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