变分法模型的运用：生产设备的最大经济效益

浅夏110

某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损 程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总 是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转 卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。
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1 问题分析与假设
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+ Y; L( Z# h3 f" ^: O2 \/ h
9 }# j* C# I' c# p+ N( \6 v. U
5 U4 I7 }/ p! u5 \
9 p+ F$ \* q$ i8 ~7 n  X/ W( H% ]2 模型构造
: c# ?9 q# B/ N, h根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备在生产中的磨损—保养系统；转卖 价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可 控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选 单位时间的保养费u(t) 作为控制策略。这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成 为在设备磨损—保养系统的（转卖价）状态方程

. w1 ?1 K0 t5 j3 r3 h
% B2 j! y! g" n6 Z
5 X2 l4 p: W0 U. y% q3 模型求解
+ T( A7 F" N% X6 A3 C  Q' l6 h首先写出问题的哈密顿函数

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7 t, y% n* V; j- y5 C, C9 V




8 q- L3 q3 ]( ~* {

将（27）和（29）联立求解，编写如下 Matlab 程序

* u0 T6 a. G, N8 ~$ o[x,y]=solve('(1+ts)^(1/2)=4-2*exp(0.05*(ts-tf))','tf=2*(1+ts)^(1/2)+28')

# c4 R1 K# M' }/ F4 ~% f& K

. ~. h6 d3 P) T8 X4 w1 r1 v# F
& t% [+ g# N/ R) Z% }8 ~$ P变分法习题

5 J# S9 m) q1 J0 N4 n

7 \1 P& s/ g5 j4 X: B. q3 _# F3. 在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突 然发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行 一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从 经济上看是否更为合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？
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