变分法模型的运用：生产设备的最大经济效益

浅夏110

某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损 程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总 是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转 卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。

3 b0 b- \: T+ \( j1 Y1 V) x1 问题分析与假设

% J/ Q& c% J+ j- d3 ?  h6 S

' F6 L$ K. F6 t# U9 V& f
2 模型构造
4 y! _- P7 Z2 S! H/ Y3 w! c根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备在生产中的磨损—保养系统；转卖 价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可 控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选 单位时间的保养费u(t) 作为控制策略。这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成 为在设备磨损—保养系统的（转卖价）状态方程

( x8 y% E4 b7 I- ?, v
  M0 y4 c* v- R' q- l5 e# R: ~# r
7 H2 G5 l% c% ]" v' o0 N+ o3 模型求解
首先写出问题的哈密顿函数
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$ l1 `& P' T. C  F
3 j$ v3 O0 C5 ]/ _! N; V2 h' \; t$ d
6 _9 ]. T, n. j# P9 S7 L" N5 g2 B  A
9 Z" R* C. `/ \" i' K( V* H

/ M; ~; q4 u3 n9 C5 y" [9 \
将（27）和（29）联立求解，编写如下 Matlab 程序
- F1 P4 f& s' l9 y2 j
7 H2 F$ C! s; Z/ _4 D. h4 C- h[x,y]=solve('(1+ts)^(1/2)=4-2*exp(0.05*(ts-tf))','tf=2*(1+ts)^(1/2)+28')
6 T; h) V+ M: P: C: o- N5 X7 P
7 a# r( f/ j* r9 ?
/ Z& J3 b. h1 L& p* T7 c

变分法习题

7 W8 ~  A3 b* n5 q7 e1 S, g

' c7 B/ ]( n7 w  A: f3. 在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突 然发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行 一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从 经济上看是否更为合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？
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