变分法模型的运用：生产设备的最大经济效益

浅夏110

某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损 程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总 是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转 卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。

! G, M7 I8 a! k; `+ P1 问题分析与假设


* ?8 f% z8 B+ g$ N6 T* |

- P* V3 E9 o4 J6 b' A! W& P, |2 模型构造
根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备在生产中的磨损—保养系统；转卖 价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可 控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选 单位时间的保养费u(t) 作为控制策略。这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成 为在设备磨损—保养系统的（转卖价）状态方程

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& I: f3 ^" V, O3 模型求解
首先写出问题的哈密顿函数


8 f& S* j4 U: _$ N9 ^



/ l, g) P6 m1 Y9 X
3 b$ ^4 z$ F, I, P" Z, x% X3 P
1 ^1 l9 v( S$ i5 ]2 t/ p
& a/ x/ o9 b, F3 o将（27）和（29）联立求解，编写如下 Matlab 程序
  ]; g3 t' F% V9 L
[x,y]=solve('(1+ts)^(1/2)=4-2*exp(0.05*(ts-tf))','tf=2*(1+ts)^(1/2)+28')
; t$ b8 c! b4 i. U1 P
. }# m# L9 H" j& z/ B( H4 E3 S$ M* t' J
3 y! c! R: d3 h: k; z/ Y0 Z
3 l& O- }. A3 n3 u
4 X! u' i/ F' K; O) m# X变分法习题


5 A( f, m: y$ w, M+ b( d
3. 在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突 然发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行 一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从 经济上看是否更为合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？
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