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[建模教程] 市场营销问题 (一):用马氏链进行新产品的市场预测

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    1#
    发表于 2020-6-15 11:39 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    某公司开发了一种新产品,打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力,在大规模投放市场 前,公司营销部门进行了广 泛的市场调查,得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ,其中 A为新产品,表 中的数据的含义是:近购买某种产品(用行表示)的顾客下次购买四种产品的机会(概 率)。例如:表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客,下次购买产品 A 、B 、C、D  的概率分别为75%,10%,5%,10%。请你根据这个调查结果,分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少?
    6 p. ^1 ?% [  ?; d
    # l- ?  I- s4 s/ ^  g7 z4 G0 c" S% p8 n. l4 Y
    0 r, G6 _$ a: j' o+ [* }, x. n3 T' ~7 ]

    2 [9 Y7 ^" w/ V% e3 _8 p! D) I! J% h5 ^" [3 e! D
    (1)问题分析* B- Z7 G- q2 ]- g1 s) D! {

    : }# p$ p4 J* W7 R6 ]$ w, L6 D& g& f; ]新产品进入市场后,初期的市场份额将会不断发生变化,因此,本例中的问题是一 个离散动态随机过程,也就是马氏链(Markov chain)。很显然,上面给出的表实 际上是转移概率矩阵(注意每行元素的和肯定为1)。要分析新产品 A未来的市场份额, 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。
    / ^9 Q& L$ k% _/ [8 K' k2 q! c) `
    6 [' l* ]3 I5 Z& A(2)模型的建立
    1 A# N# l/ {& r
    # K' c; G9 f0 C9 |7 l记 N 为产品种数。产品编号为i( N i =1, 2,...1 L= ),转移概率矩阵的元素记为,稳定状态下产品i的市场份额记为 .  因为是稳定状态,所以应该有   
    , @+ s6 }9 T6 i( I* i
    $ A. a  M" m3 u2 h! X% g" V                                                              (1)
    - j, C7 v- ~% Y5 p: F; e5 c9 B" V* G
    不过,这N 个方程实际上并不独立,至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束,即 N 种产品的市场份额之和等于1
    ' j7 E" A. m. g1 {
    ( b2 C! r& o, p& g! T- }" q- N; \5 i
    # A* j# l$ f& ~8 r0 ~5 m; V                 (2)
    / {& C1 T2 ]4 R% ]
    : n' ?& F5 ~2 z; C; Y+ a0 m/ j% Y可见,这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组(当然,还应该增加概率  非负的约束)。如果把这些看成约束条件,那就是一个特殊的优化模型(没有目标函数)。
    3 P3 e# n4 K9 u9 m/ x( z. Y
    . e- p( L' |2 Y9 J (3)模型的求解
    ) |$ K8 Z1 G$ S) |$ p" S/ \& |% Y9 ?+ C. V# g3 Z  ?  d9 i
    LINGO程序如下:
    ; s6 s+ Z' F3 Q& Z& d0 M$ a7 W. V* k: m
    MODEL:
    ; C* q7 ^6 p( U5 w# u9 \4 `TITLE 新产品的市场预测;
    $ O: C4 G0 ?2 ~SETS:   
    2 Y( Z& n" U& f- B4 \" z" L( {" P- o    PROD/ A B C D/: P;    * N! m6 n% }, I, ]7 G( V
        LINK(PROD, PROD): T;
    - o% W2 n, s6 O, |" P! {+ T7 _ENDSETS % E( o8 B2 Q3 o0 w: |1 ?' P
    DATA: ! 转移概率矩阵;   6 {5 p+ O; d2 r$ J( G. H
        T = .75  .1  .05  .1       0 o$ j& k1 r2 L6 O, s- ~! t& ^& E
            .4   .2  .1   .3          C4 N) ?7 T9 v4 B  a# l! |
            .1   .2  .4   .3        
    / M  F4 _( g$ U1 C! p1 @$ J, ^. b4 I! S        .2   .2  .3   .3; ! p/ L3 q1 P3 ]. j. _
    ENDDATA
      w- @! }5 {8 B. F5 R" ?@FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
    + T, M3 a; K0 ^9 Y@SUM(PROD: P) = 1;
    # a% E2 }# |2 A  z; B; l@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001)); : G% n8 }* J, v7 J
    END . `" W4 I$ B* S  I+ {+ b* h5 Q
    可以指出的是,上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1,而且我们看到为了比较两个实数(如X和1)是否相等,一般不能直接用 “X#NE#1”,因为受计算机字长(精度)的限制,实数在计算机内存存储是有误差的。所 以,通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5%,15.25%,16.75%,20.5%。 7 G4 N% \' @2 x& u0 Y* W
    & E" p* u* E% x8 F  S
    ' M) }2 q# I8 q4 I* i1 C
    ! ]" I# M0 p) f" e3 m$ J* X
    习题:假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户,现金帐户利息很低, 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来(收入和支出)只能通过现金帐户进行,如果 现金帐户中钱很多,就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户;反之,需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见,假设以万元为单位,现金帐户的钱数只能 是-20,-10,0,…,40,50(万元)之一,分别记为状态1,2,…,7,8,它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外,根据统计,如果当月现金帐户的状态位于i ( 2 ≤i ≤7 ),下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1,i,i+1 三者之一,并且概率分别为0.4,0.1,0.5;如果当月现金帐户的状态位于1,则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2,并且概率分别为0.5,0.5;如果当月现金帐户的状态位于8,则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8,并且概率分别为0.4,0.6。 $ U/ Q& C+ s: n: u8 W0 e6 y
    6 K+ J/ s1 R1 k
    ) _% }" T) K& M7 Z% C

    / k1 [4 P: Y. ?+ b6 D 每月初你可以改变当前状态(即从长期投资帐户转入现金帐户,或从现金帐户转入 长期投资帐户),但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用,此外还要收取 转帐金额5%的转帐手续费。请你建立优化模型,确定如果当月现金帐户的状态位于i, 是否应该改变当前状态,如何改变状态?
    0 ^4 C& y1 x6 Q: b! i* n————————————————& H' Z' C( q7 Y+ r3 w
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。
    $ h# `* E: R+ s原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89412812
    2 g( I3 G7 a8 d4 z' n! @
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    * x" a% |; t$ T4 p) E( @) y
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