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TA的每日心情 开心 2020-11-14 17:15
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[LV.6]常住居民II
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某公司开发了一种新产品,打算与目前市场上已有的三种同类产品竞争。 为了了解这种新产品在市场上的竞争力,在大规模投放市场 前,公司营销部门进行了广 泛的市场调查,得到了表8。四种产品分别记为 A 、B 、C、D ,其中 A为新产品,表 中的数据的含义是:近购买某种产品(用行表示)的顾客下次购买四种产品的机会(概 率)。例如:表中第一行数据表示当前购买产品 A的顾客,下次购买产品 A 、B 、C、D 的概率分别为75%,10%,5%,10%。请你根据这个调查结果,分析新产品 A未来 的市场份额大概是多少? p4 o4 g1 n: L/ x* h
6 H5 L. s# v3 \
& B9 A- W! r8 D. i/ t# R0 C. p 1 z; b; E) J8 c# p' H1 ]/ ?
2 U' N) T d' L7 t o7 q( m; s
6 S. m. V; K& }" M! y- F
(1)问题分析
1 B' N0 F8 Y' `8 S4 C% J; S' t, X * c5 H. O3 h" U# `
新产品进入市场后,初期的市场份额将会不断发生变化,因此,本例中的问题是一 个离散动态随机过程,也就是马氏链(Markov chain)。很显然,上面给出的表实 际上是转移概率矩阵(注意每行元素的和肯定为1)。要分析新产品 A未来的市场份额, 就是要计算稳定状态下每种产品的概率。 6 s- @9 y8 i8 y+ f
% U$ q# G+ }/ j; I
(2)模型的建立 ( e1 P* o8 }% f/ G* m
6 U2 s' _0 B3 S7 F. N4 E/ l
记 N 为产品种数。产品编号为i( N i =1, 2,...1 L= ),转移概率矩阵的元素记为,稳定状态下产品i的市场份额记为 . 因为是稳定状态,所以应该有 & C# c1 t" W G7 b9 |
. m4 C* z8 L% F
(1)6 X W A( ^# a6 `8 q0 P2 Q( p
1 j1 c; g' }1 n" @+ Q6 h8 ? 不过,这N 个方程实际上并不独立,至少有一个是冗余的。好在我们还有另一个 约束,即 N 种产品的市场份额之和等于1 ( |+ e$ T8 Z6 w" e1 x8 b
3 Q8 q+ n# c: Y4 t % G/ U7 G4 C6 l" M
(2) + ?, v/ Y, H9 T' d0 O' K' _+ j
4 z9 |1 M. U4 d4 a# t
可见,这个问题的模型实际上是一个非常简单的方程组(当然,还应该增加概率 非负的约束)。如果把这些看成约束条件,那就是一个特殊的优化模型(没有目标函数)。
/ G6 J8 f% D' ^ }/ u' x4 w! P
% x# `" a2 i; q6 b3 E* p (3)模型的求解8 r+ w' d# Z; G7 T9 S' @' o' S. n& i: W
0 L& _7 X4 a& O% U4 _ LINGO程序如下:
8 C# P' ]$ e) r9 m4 y6 f # p$ ?2 T @0 o) H5 u7 T4 y r
MODEL:
5 c2 _8 |" }2 C TITLE 新产品的市场预测; 0 a+ M2 I a& k' s1 m' F, G
SETS: . Z+ M0 w5 O1 t. C6 e/ d" d! a' c
PROD/ A B C D/: P;
m( g0 T4 |1 \$ L LINK(PROD, PROD): T;
& n8 z) W6 M, }* p0 x ENDSETS
2 B- M$ X2 R% A4 j7 `5 H- @1 [ s DATA: ! 转移概率矩阵;
) u+ s: G2 I( s2 G T = .75 .1 .05 .1
) l6 k, x, k* F$ G& [; z! b .4 .2 .1 .3
9 \) _% p9 b0 x" F% y' P/ g8 F .1 .2 .4 .3 $ a5 i3 {( o l) c& L. i
.2 .2 .3 .3; + b6 C$ A; p) O8 p. ?0 |
ENDDATA
1 b! b, ~6 [$ ^/ S6 B @FOR(PROD(I): P(I)=@SUM(LINK(J,I): P(J)* T(J,I)) );
) D5 Q, x1 H+ d8 m: v" } @SUM(PROD: P) = 1; 0 J: ?2 K! m( S5 }6 H
@FOR(PROD(I): @WARN( '输入矩阵的每行之和必须是1', @ABS( 1 - @SUM(LINK(I,J): T(I,J)))#GT# .000001));
' ~/ d# s! H" e+ B5 l% R END % ^+ W, A- C) f- Q( H; ?
可以指出的是,上面LINGO模型中后的语句@WARN只是为了验证输入矩阵的每行 之和必须是1,而且我们看到为了比较两个实数(如X和1)是否相等,一般不能直接用 “X#NE#1”,因为受计算机字长(精度)的限制,实数在计算机内存存储是有误差的。所 以,通常的方法是比较这两个实数之差的绝对值是否足够小。 求解结果为 A ,B ,C, D的市场份额分别是47.5%,15.25%,16.75%,20.5%。
* f& y% |/ Z; H9 l6 i$ d& a
2 V# o) s5 F0 f, W8 g, I ' n; m" y. \1 S% D5 r4 [ {7 v
3 |& l! |/ m+ G5 m0 d9 f 习题:假设某公司在银行有一个现金帐户和一个长期投资帐户,现金帐户利息很低, 而长期投资帐户利息较高。所有业务往来(收入和支出)只能通过现金帐户进行,如果 现金帐户中钱很多,就可能需要将一部分钱转入长期投资帐户;反之,需要将一部分钱从长期投资帐户转入现金帐户。为简单起见,假设以万元为单位,现金帐户的钱数只能 是-20,-10,0,…,40,50(万元)之一,分别记为状态1,2,…,7,8,它们 每个月分别导致的费用如表12所示。此外,根据统计,如果当月现金帐户的状态位于i ( 2 ≤i ≤7 ),下个月现金帐户的状态只可能位于 i-1,i,i+1 三者之一,并且概率分别为0.4,0.1,0.5;如果当月现金帐户的状态位于1,则下个月现金帐户的状态只可 能位于1和2,并且概率分别为0.5,0.5;如果当月现金帐户的状态位于8,则下个月 现金帐户的状态只可能位于7和8,并且概率分别为0.4,0.6。 1 O- U5 }# H9 k( i' A" L+ v
: E8 F0 ~; l+ Q, F
3 }3 C' j9 w# w6 {8 k1 { # o# R, v4 X) Z& D
每月初你可以改变当前状态(即从长期投资帐户转入现金帐户,或从现金帐户转入 长期投资帐户),但假设每次状态的改变银行收取0.3万元的固定费用,此外还要收取 转帐金额5%的转帐手续费。请你建立优化模型,确定如果当月现金帐户的状态位于i, 是否应该改变当前状态,如何改变状态? 4 P" m% e! w( f; x6 t4 t# a' D
————————————————1 @( ]3 c2 w+ p" e
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