有瓶颈设备的多级生产计划问题

浅夏110

问题实例 ：在制造企业的中期或短期生产计划管理中，常常要考虑如下的生产计划优化问题： 在给定的外部需求和生产能力等限制条件下，按照一定的生产目标（通常是生产总费用 最小）编制未来若干个生产周期的最优生产计划，这种问题在文献上一般称为批量问题 （lotsizing problems）。所谓某一产品的生产批量（lotsize），就是每通过一次生产准备生 产该产品时的生产数量，它同时决定了库存水平。由于实际生产环境的复杂性，如需求 的动态性，生产费用的非线性，生产工艺过程和产品网络结构的复杂性，生产能力的限 制，以及车间层生产排序的复杂性等，批量问题是一个非常复杂、非常困难的问题。 我们通过下面的具体实例来说明这种多级生产计划问题的优化模型。这里“多级” 的意思是需要考虑产品是通过多个生产阶段（工艺过程）生产出来的。

例 1  某工厂的主要任务是通过组装生产产品 A，用于满足外部市场需求。产品 A 的构成与组装过程见图 1，即 D , E,F,G 是从外部采购的零件，先将零件 D,E 组装成部件B ，零件 F,G 组装成部件C ，然后将部件 B,C 组装成产品 A出售。图中弧上的
数字表示的是组装时部件（或产品）中包含的零件（或部件）的数量（可以称为消耗系 数），例如DB弧上数字“9”表示组装 1 个部件B 需要用到 9 个零件D；BA弧上的 数字“5”表示组装 1 件产品 A需要用到 5 个部件B ；依此类推。


* d, u! z" R. c
( _3 x6 W/ r, g! M, |3 u# a假设该工厂每次生产计划的计划期为 6 周（即每次制定未来 6 周的生产计划），只 有最终产品 A有外部需求，目前收到的订单的需求件数按周的分布如表 1 第 2 行所示。 部件  B,C 是在该工厂最关键的设备（可以称为瓶颈设备）上组装出来的，瓶颈设备的生产能力非常紧张，具体可供能力如表1第3行所示（第2周设备检修，不能使用）。 B,C的能力消耗系数分别为 5 和 8，即生产 1 件B 需要占用 5 个单位的能力，生产 1 件C 需 要占用 8 个单位的能力。  
8 G; h/ b" H9 [
) L& r' U+ k) Q. i

) X5 m+ x8 [( N8 o* g1 h9 a对于每种零部件或产品，如果工厂在某一周订购或者生产该零部件或产品，工厂 需要一个与订购或生产数量无关的固定成本（称为生产准备费用）；如果某一周结束时该零部件或产品有库存存在，则工厂必须付出一定的库存费用（与库存数量成正比） 。 这些数据在表 1 第 5 、6 行给出。

按照工厂的信誉要求，目前接收的所有订单到期必须全部交货，不能有缺货；此外，不妨简单地假设目前该企业没有任何零部件或产品库存，也不希望第 6 周结束后留下任何零部件或产品库存。最后，假设不考虑生产提前期，即假设当周采购的零件马上 就可用于组装，组装出来的部件也可以马上用于当周组装成品 A。 在上述假设和所给数据下，如何制定未来 6 周的生产计划。
! K" {4 }6 u0 o+ C) Q
) S6 G5 R* H/ u7 q$ u( n5 j* C2  建立模型

) U- E5 o3 S2 \) G' {, N8 h（1）问题分析

这个实例考虑的是在有限的计划期内，给定产品结构、生产能力和相关费用及零 部件或成品（以下统称为生产项目）在离散的时间段上（这里是周，也可以是天、月等） 的外部需求之后，确定每一生产项目在每一时间段上的生产量（即批量），使总费用最 小。由于每一生产项目在每一时间段上生产时必须经过生产准备（setup），所以通常的 讨论中总费用至少应考虑生产准备费用和库存费用。其实，细心的读者一定会问：是否需要考虑生产的直接成本（如原材料成本、人力成本、电力成本等）？这是因为本例中 假设了不能有缺货发生，且计划初期和末期的库存都是 0，因此在这个 6 周的计划期内 A的总产量一定正好等于 A的总需求，所以可以认为相应的直接生产成本是一个常数， 因此就不予考虑了。只要理解了我们下面建立优化模型的过程和思想，对于放松这些假 定条件以后的情形，也是很容易类似地建立优化模型的。
" b& }; E$ C3 y! v: t
（2）符号说明

& ], O3 g" X0 A# z; z为了建立这类问题的一般模型，我们定义如下数学符号：
7 r# z* |8 V, L% i
& \% q" A, O; B- E; ~( L* \! XN ：生产项目总数（本例中 N =7）；
1 m& H" _5 W% A0 W4 \1 L) X2 b
+ v  ~5 ^0 p# eT ：计划期长度（本例中 T =6） ；

K ：瓶颈资源种类数（本例中 K =1 ）；

M ：一个充分大的正数，在模型中起到使模型线性化的作用；

" q- R) H$ ^( g) n ：项目i在t时段的外部需求（本例中只有产品 A有外部需求）；
$ W% M: f, W1 F2 s& R
7 K& a- J0 C8 |2 u. d: N ：项目i在t时段的生产批量；

：项目i在t时段的库存量；

  }4 P* o2 q- o ：项目i在t时段是否生产的标志（0：不生产，1：生产）；

/ p; G6 V2 V% u3 D9 ^2 x ：产品结构中项目i的直接后继项目集合；

( ~3 \7 |0 f" l/ e; | ：产品结构中项目 j 对项目i的消耗系数；
9 v" m# I4 R7 L
：项目i在t时段生产时的生产准备费用；
$ W( G, j  ^" y0 S
  ：项目i在t时段的单件库存费用；

：资源k 在t时段的能力上限；

6 {: k7 s  D( z ：项目i在t时段生产时，生产单个项目占用资源k 的能力；

+ ?/ l, w: w3 R# Y+ y
: y1 V. E3 B/ M0 Z0 \
（3）目标函数

这个问题的目标是使生产准备费用和库存费用的总和最小。因此，目标函数应该 是每个项目在每个阶段上的生产准备费用和库存费用的总和，即

                                 ( 1 )

3 k- L) |7 y( C( v, b" P（4）约束条件
5 V; @! z- L% @
这个问题中的约束有如下几类：每个项目的物流应该守恒、资源能力限制应该满足、每时段生产某项目前必须经过生产准备和非负约束（对  是  0− 1约束）。 所谓物流守恒，是指对每个时段、每个项目（图中一个节点）而言，该项目在上一个时段的库存量加上当前时段的生产量，减去该项目当前时段用于满足外部需求的量 和用于组装其它项目（直接后继项目）的量，应当等于当前时段的库存量。具体可以写成如下表达式（假设 ）：
3 U- [: K6 g2 m7 X2 q) b5 J2 V" R; Z
) T, \- f3 T+ `$ ]) V" }. g                       ( 2 )      

# f# W9 W! `! {8 R! Z3 r资源能力限制比较容易理解，即
) ~& h! |7 b8 e
                      ( 3 )         
3 x  b7 c' D# [5 |$ M5 L+ x
6 Z% }6 e4 T, q* J  _/ W

3  求解模型

' {" j: D7 P" O


) ^1 r. n, u! j/ Q' x
4 w3 @7 ~+ K' E# c$ h
, ?/ Q9 e  z+ M* k
MODEL:
! v1 O/ A1 y: Q3 Y/ ]; QTITLE 瓶颈设备的多级生产计划;
8 X4 x4 W7 t5 E5 o* {7 `SETS:
6 n) N) W5 t# N3 t# ~! PART=项目集合,Setup=生产准备费，Hold=单件库存成本，   A=对瓶颈资源的消耗系数;
0 ]# K1 ]3 Q& ]9 Z: U1 V4 wPART/A B C D E F G/:Setup,Hold,A;
6 U4 |! `; k. E* q+ {! TIME=计划期集合，Capacity=瓶颈设备的能力;
TIME/1..6/:Capacity;
) ~' X2 d: O$ X: N) B+ u0 A7 D, ~5 Q+ x* m- {! USES=项目结构关系，Req=项目之间的消耗系数;
$ b5 V! j- o" x! {3 Z4 u9 gUSES(PART,PART):Req;
! PXT=项目与时间的派生集合，Demand=外部需求,   X=产量（批量）, Y=0/1变量，INV=库存; PXT(PART,TIME)emand,X,Y,Inv;
ENDSETS
! 目标函数;
[OBJ]Min=@sum(PXT(i,t):setup(i)*Y(i,t)+hold(i)*Inv(i,t));
1 e& d- _2 j8 F% `' m: ^2 B! 物流平衡方程;
@FOR(PXT(i,t)|t #NE#
1:[Bal]Inv(i,t-1)+X(i,t)-Inv(i,t)=Demand(i,t)+@SUM(USES(i,j):Req( i,j)*X(j,t))); @FOR(PXT(i,t)|t #eq#
1:[Ba0]X(i,t)-Inv(i,t)=Demand(i,t)+@SUM(USES(i,j):Req(i,j)*X(j,t) ));
+ ]. r9 B" ~- d6 j, }! P3 W! 能力约束;
# p; ]6 W& {, P* L9 A  f  ^" g@FOR(TIME(t):[Cap]@SUM(PART(i):A(i)*X(i,t))<Capacity(t));  
! 其他约束;
% x* r1 [4 o# ?) wM = 25000;
7 u$ Z% ^) s7 @@FOR(PXT(i,t):X(i,t)<=M*Y(i,t));
, s" b0 c( o. i/ L' |6 T; x@FOR(PXTBIN(Y));
DATA:
* t% [9 J0 }" v6 |5 `) N: _( `! Y" wDemand=0;Req =0;  
( B/ U3 n- x7 ~/ w1 p% M1 {/ ZCapacity=10000 0 5000 5000 1000 1000;
$ t) i9 A  Z$ c1 CSetup=400 500 1000 300 200 400 100;
5 t. `  P4 s' t  qHold=12 0.6 1.0 0.04 0.03 0.04 0.04;
A=0 5 8 0 0 0 0;
ENDDATA
' _! f% R8 _  P( n0 cCALC:
6 R# M7 w1 v8 t. ademand(1,1)=40;demand(1,3)=100;
8 @4 y) \- ^4 Udemand(1,5)=90;demand(1,6)=10;
req(2,1)=5;req(3,1)=7;req(4,2)=9;
) C  a! y  B# ?/ D, ~* Yreq(5,2)=11;req(6,3)=13;req(7,3)=15;
/ |/ v, @4 y: }% P! QENDCALC
END
0 `+ s; Q) `7 M# }/ M
1 H5 K6 M$ F& b/ j  I  A
1 `% t" }( _- r* K# h. `: X" G习题：
$ Q8 w4 O& f7 p) E
( X7 F+ j# _- ]& }. _/ H1．某农户拥有 100 亩土地和 25000 元可供投资，每年冬季（9 月中旬至来年 5 月 中旬），该家庭的成员可以贡献 3500h 的劳动时间，而夏季为 4000h。如果这些劳动时 间有富裕，该家庭中的年轻成员将去附近的农场打工，冬季每小时 6.8 元，夏季每小时 7.0 元。
, z( y- ?0 v( e0 o4 p8 r4 X
# H* }1 \! A' C) l4 z2 c. n& H" o现金收入来源于三种农作物（大豆、玉米和燕麦）以及两种家禽（奶牛和母鸡）。 农作物不需要付出投资，但每头奶牛需要 400 元的初始投资，每只母鸡需要 3 元的初始 投资。每头奶牛需要使用 1.5 亩土地，并且冬季需要付出 100h 劳动时间，夏季付出 50h 劳动时间，每年产生的净现金收入为 450 元；每只母鸡的对应数字为：不占用土地，冬 季 0.6h，夏季 0.3h，年净现金收入 3.5 元。养鸡厂房最多只能容纳 3000 只母鸡，栅栏 的大小限制了最多能饲养 32 头奶牛。
1 l8 ^) A) H& k! ]1 c, a6 `8 z+ g9 u
% q1 m1 ^& o* ?6 N. K根据估计，三种农作物每种植一亩所需要的劳动时间和收入如表 11 所示。建立数 学模型，帮助确定每种农作物应该种植多少亩，以及奶牛和母鸡应该各蓄养多少，使年净现金收入最大。

3 H7 y5 v4 Q  M7 `  ~
' I" s) D. ]* k  `6 ]
2．如图 4，有若干工厂的排污口流入某江，各口有污水处理站，处理站对面是居 民点。工厂 1 上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度，以及各个工厂 的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量 成正比，使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用（称处理系数）为已知。 处理后的污水与江水混合，流到下一个排污口之前，自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数（称自净系数），该系数可以估计。试确定各污水处理站出口的污水 浓度，使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小。
% Q: q8 o, T9 a6 U) F* s




2 R& e6 L) V: _先建立一般情况下的数学模型，再求解以下的具体问题：

  m) V$ O2 _1 }" b（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？

- j  s7 {- w7 B3 N% N* C( s（2）如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费 用？
————————————————
版权声明：本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
原文链接：https://blog.csdn.net/qq_29831163/java/article/details/89413903


& j+ V; q# U6 W/ p