飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。

; f, ], f. X. w" ^% d已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。

- T2 W# P8 {: R6 u1 g, s) z% ^4 a- F: x如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？
: A6 _4 T; t4 l& W

0 \% v1 [$ h9 N+ r: S( r% d
% u; O* F/ f5 m1 k8 \' }（1）问题分析
8 ~+ [9 o% C# {
# A6 E: r3 `' F/ t% n& r% X这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。

/ A$ Q/ ]( s* O* L% o1 [  \（2）决策变量
% n% l  j' V2 s% \3 V2 v: J( I
设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。

1 A6 e7 X/ s" Q! X4 e（3）目标函数
8 w& o( N0 o2 r6 x' s
优化目标是


9 E& u4 P7 H- I8 ^% n# ]
; t+ l; d5 x: U5 o- Q; q* X1 f1 v6 v' {（4）约束条件

需要考虑的约束包括：
- [) z( V; x) `- T6 b$ o
i）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。
1 Q9 r# R+ @+ q$ ]

" J- ^/ e/ |0 b( `
ii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。
) T" R5 }" C0 [4 K2 V( g2 m

/ e& q, p4 Q" B# e0 Q
0 T2 [6 j# k8 a$ ^4 ~（5）求解 编写 LINGO 程序如下

model:
sets:
col/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
row/1..3/:b1,b2;
, G) ^6 x' T. J3 @% Iendsets
data:
3 l% j1 \  ?  U- j; Mc1=200 195 190 185;
c2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
& R1 R5 X' U- Z, e, s" bb1=70 30 80;
1 i( ]4 [) c' x. W; n0 d. {+ qb2=450 210 240;
enddata
/ k, T* S0 L$ p- b& Vmin=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
y(1)=10;
@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
end
4 [( A5 q* |$ p

' I  V. [; x- u# v7 p
6）问题讨论
" Q; b4 u; C6 r+ V
如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为

' ]" G0 d% j- ?( I* @) e
" t# @. g* P6 K- ]7 F
6 T0 ~, I1 |# s6 O( A6 U目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：

5 |/ H  e  G+ u  [  R( k# dmodel:
" Q. }5 Q# q( z: f# m  s7 gsets:
col/1..4/:
c1,c2,c3,x,u,v,w,y;
9 D8 X4 Q6 \$ U6 Crow/1..3/:b1,b2;
endsets
  w9 o( z6 i# s1 i6 t# i. \data:
c1=200 195 190 185;
c2=10 9.9 9.8 9.7;
  E  `3 D' k; B  }: h. cc3=7 6.9 6.8 6.7;
b1=70 30 80;
7 U( e- ^: s7 }! D) m: Cb2=450 210 240;
enddata
3 c' i8 N! ~5 [* W, @min=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
; ^# H5 t; H: O  w) K+ hy(1)=10;
" ]1 B* ], {, V2 i; G$ k! e@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
& t. k( M) ?2 l( ]+ |1 e@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
% B6 a; x2 P/ V* J2 s/ @( [3 T. C@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
. A( e6 a# a, ^/ |3 i- D2 kend


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