飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。

已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。

$ w3 H, `& ^, {: i1 s* I$ I( U: N1 T如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？
3 j! C: L% @0 W: o  j4 k: _5 t$ I
8 o! U; E. E1 T. x8 ~* Q  U( Y1 d9 Z

（1）问题分析
7 K9 s0 i. G, @! e+ ^, n. y
: V: C* |& N) Y8 r1 I  l这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。

: }8 S$ k/ a$ c% E9 p（2）决策变量
) ?  z2 Q0 E7 p' w/ a9 y
, g8 _9 `5 A9 x% h设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。

（3）目标函数

& e  d$ p0 D8 r" Y优化目标是

/ [9 t- x$ D2 O0 ~9 {2 Q+ C
' C& O% B0 f! r0 K  i4 I- T
（4）约束条件

$ n* P+ C- z" T; ~, L2 D1 q1 Y需要考虑的约束包括：

6 a* A: ]- c, c% b' Q  H1 Gi）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。
: V: d; s0 F/ H3 W* |3 J
6 l8 L/ c1 r" A8 U. }) v
6 j. w* F$ {4 Q+ J& O8 [( [
5 C- p: x. h% ~7 c- n9 B0 o& sii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。

3 K; |/ @1 ~6 o! D# n

（5）求解 编写 LINGO 程序如下

0 ?& q' }; d1 `model:
sets:
col/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
( g( G7 V: b3 Lrow/1..3/:b1,b2;
! F5 y9 M8 C! i2 Gendsets
data:
; B( c. E/ W; j7 }. Mc1=200 195 190 185;
$ E  U# x* R. v) y  j5 c* Qc2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
& T: J. q. b0 T% I/ u/ Y* Ib1=70 30 80;
& V, ?" C) ^. Tb2=450 210 240;
enddata
min=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
7 r$ K+ U4 |! d* z+ K" Ny(1)=10;
@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
% L+ _" M1 v% e6 v0 ~9 k) |end
1 F( K! U: t9 C( C
; u$ E+ [7 N9 `1 r( [9 X* j

: k9 b0 {( b& o+ X+ f: N7 W2 v6）问题讨论
, s/ R2 t; L5 A& C' G
7 @5 u1 f1 h  Q: i) E; @9 ^如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为


& l- M; C# C: [. b$ X* I0 d. Z
目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：

# m7 U4 S* ^' p3 f& G; f, vmodel:
* \! D! W3 h9 @sets:
col/1..4/:
c1,c2,c3,x,u,v,w,y;
row/1..3/:b1,b2;
endsets
$ T# y. c" I0 @3 g. l5 xdata:
" G) H1 X% S: y* d7 R. kc1=200 195 190 185;
c2=10 9.9 9.8 9.7;
c3=7 6.9 6.8 6.7;
, N) j  t, ]& a3 o5 H6 `b1=70 30 80;
7 }$ U  S6 u+ j/ @# ^% r1 K  hb2=450 210 240;
; k3 f- d/ m& k: u6 Yenddata
min=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
! r9 U' K  i& x7 m( E4 {y(1)=10;
  ^( P: }  R, @0 l0 @@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
6 Y$ I! O0 Z+ `& E; [3 M@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
4 f8 C) T* {9 z% y5 M" b2 y@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
4 I# c# Y( \& X) f, Fend
4 y2 `8 m  k2 K6 x" D
. e  s& N7 r( f! B' Q7 t
+ M( d8 x: ~% Q$ R0 T7 j; a) ^————————————————
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