飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。

; [" g! n& A  \* E已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。

如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？

0 r& C: D3 e5 `$ D2 R4 X- _

（1）问题分析

这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。
. H, k+ b3 i! S4 k; H
（2）决策变量
2 q4 ], [; r% O
7 I; M5 r/ R' T- \( |$ h& [设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。
$ p0 ^0 K3 u: h1 `. `9 a
（3）目标函数
6 t0 |2 U: m8 e# J2 q
优化目标是
" c, M; Z5 \4 |' ~
4 G( V2 I1 Z  m. s" q

% k3 {! _7 Y  U（4）约束条件

1 F0 r+ P/ {8 o需要考虑的约束包括：
1 L4 g8 E, H( u$ y) ~9 M
9 P$ V" m4 |  Z' O) ^4 }i）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。
9 E1 q& W: Z/ @$ A: X1 a, G

. m; v* P9 R; n% i: G" H
ii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。

0 }3 ?' [. i: R5 r/ H# S. z

（5）求解 编写 LINGO 程序如下

model:
sets:
col/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
/ t& u# T7 ^* }% }$ c$ ]row/1..3/:b1,b2;
endsets
data:
c1=200 195 190 185;
( m# m% r2 j4 O$ T% Y. kc2=10 9.9 9.8 9.7;
- P$ G: e7 ~; g7 E4 O* M8 }0 bc3=7 6.9 6.8 6.7;
b1=70 30 80;
3 a$ M, P: t) D$ C& ~, `- j2 i" I4 ]b2=450 210 240;
enddata
min=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
y(1)=10;
@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
$ U  w: O8 @' T9 D1 bend
2 `1 M& p8 k" h+ h" A


6）问题讨论
& i2 u5 F! [* ^3 N' E  V
: a( w2 X. c/ K, l( O4 z8 `如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为
4 n3 r3 H- ~, @* w2 v1 D/ m! i
) [( G/ l: i# F. g: S' ^
% @3 W  ^/ n% F1 f2 p4 {& q
目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：
# I- |: q7 X8 v- d: r' K9 X1 e
$ F- q* Y/ z  z0 Dmodel:
6 {) E- y( t* S3 [  Lsets:
( ^& A  t3 h" i- q- M" {col/1..4/:
1 I; K, H0 J" @c1,c2,c3,x,u,v,w,y;
9 m3 u: y9 y. Q  {/ ^; [. k; Wrow/1..3/:b1,b2;
8 r% z2 R4 X- B3 j! }endsets
data:
' u4 A' ~) ]* ]- C( a4 V* \+ M5 ec1=200 195 190 185;
c2=10 9.9 9.8 9.7;
" t6 J2 Q  |4 F+ Lc3=7 6.9 6.8 6.7;
! Y5 M- R1 J8 l8 p9 O0 y9 nb1=70 30 80;
b2=450 210 240;
enddata
min=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
y(1)=10;
7 b2 s) a3 w! w/ M@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
7 u2 V# Z  W  {7 V@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
( p- s0 B& ^9 X+ {, hend
$ [9 c7 |. w% q* t

  s8 \: z+ v  }) W" ~————————————————
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