飞行计划安排问题

浅夏110

例题：这个问题是以第二次世界大战中的一个实际问题为背景，经过简化而提出来 的。在甲、乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包围长达 4 个月。由于乙 方封锁了所有水陆交通要道，被包围的甲方部队只能依靠空中交通维持供给。运送 4 个月的供给分别需要 2，3，3，4 次飞行，每次飞行编队由 50 架飞机组成（每架飞机需 要 3 名飞行员），可以运送 10 万吨物质。每架飞机每个月只能飞行一次，每名飞行员每 个月也只能飞行一次。在执行完运输任务后的返回途中有 20％的飞机会被乙方部队击 落，相应的飞行员也因此牺牲或失踪。在第 1 个月开始时，甲方拥有 110 架飞机和 330 名熟练的飞行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。新飞机必须 经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必须在熟练飞行员的指导下经过一个月 的训练才能投入飞行。每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导 20 名飞行员（包括他 自己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后，必须有一个月的带薪假 期，假期结束后才能再投入飞行。
, ]8 x+ e3 K7 h" M8 I+ r- [6 U1 m" j
# V1 ~5 ^2 H8 T已知各项费用（单位略去）如表 10 所示，请为甲方 安排一个飞行计划。
# A) D4 f: _2 S; e9 U
如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员（包括他自己在 内）进行训练，模型和结果有哪些改变？

: m' u- e8 \, |6 _" C* t
% W- f  U% K* [" [1 S! \1 ?( y
" _4 q2 t2 r. G- o（1）问题分析

3 K# c  K* D: u; A9 e  s! ^2 v这个问题看起来很复杂，但只要理解了这个例子中所描述的事实，其实建立优化 模型并不困难。首先可以看出，执行飞行任务以及执行飞行任务后休假的熟练飞行员数 量是常数，所以这部分费用（报酬）是固定的，在优化目标中可以不考虑。

% D2 S6 r* ?+ p. I( ]（2）决策变量

设 4 个月开始时甲方新购买的飞机数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）架，闲置的飞机数量分别为  架。4 个月中，飞行员中教练和新飞行员数量分别为   （ i=1,2,3,4 ）人，闲置的熟练飞行员数量分别为  人。
. L; W+ c8 A5 |( i+ I5 g
（3）目标函数
5 l) g" \+ `8 x$ B
% U, a5 ~: H7 p优化目标是
& L+ u2 W& J1 F7 ~& A; B
" W" _. T0 e8 k, o

7 ?8 k3 A9 f4 i/ g5 O3 X（4）约束条件
' e/ M; g9 G% ~9 G2 ]
0 h3 F0 E- `# i& B- ?) y需要考虑的约束包括：

  U5 e* H7 s4 p( e- c" i, Ti）飞机数量限制。4 个月中执行飞行任务的飞机分别为 100，150，150，200（架）， 但只有 80，120，120，160（架）能够返回供下个月使用。

, g% Z/ A/ A* g+ }& p

ii）飞行员数量限制。4 个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为 300，450，450， 600（人），但只有 240，360，360，480（人）能够返回（下个月一定休假）。
% O$ q- f. V4 I+ _: s0 [4 w
; o- a" E& j2 V, L: \; }; u" J. k
$ m5 d1 O1 M0 j& p- `+ o' C5 [
9 s, t; ?$ ^& U5 d' j0 S3 H（5）求解 编写 LINGO 程序如下

) Y% j  w) n% }9 H: Jmodel:
9 ?% \9 N; v, o9 X  K3 Wsets:
3 m3 n# P, V+ r+ I7 Acol/1..4/:c1,c2,c3,x,u,v,y;
row/1..3/:b1,b2;
" K& T% l0 K: ^, s) Nendsets
! M1 y5 b  b$ A; e' s7 {$ _. `data:
4 f$ z8 a( g8 T/ f& O  Bc1=200 195 190 185;
c2=10 9.9 9.8 9.7;
0 Q. J) q( `* p( Zc3=7 6.9 6.8 6.7;
" b; G3 @1 {& N) ob1=70 30 80;
- @2 ]0 B) x) }b2=450 210 240;
- R  @) X1 r  renddata
min=@sum(col:c1*x+c2*u+c3*v);
y(1)=10;
; G+ h+ B4 I" {@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); 0.05*u(1)+v(1)=30; @for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)-0.05*u(i+1)-v(i+1)=b2(i)); @for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(y));
end
+ Z) }& P& q( {) ^/ n* K& ~


6）问题讨论
8 a/ b# l1 f  H5 {7 Z) o! t
如果每名熟练飞行员可以作为教练每个月指导不超过 20 名飞行员(包括他自己在内）进行训练，则应将教练与新飞行员分开。设4个月飞行员中教练为 （人），新飞行员数量分别为  （人）。其它符号不变。飞行员的数量限制约束为
: \, W1 y9 j; y8 e" {4 z/ I" T8 ^


' s+ l+ k9 W; D$ T  E; L+ H目标函数作相应修改，输入 LINGO 如下：

model:
sets:
col/1..4/:
c1,c2,c3,x,u,v,w,y;
7 A: I9 J, ~4 ]3 k! Brow/1..3/:b1,b2;
endsets
data:
# B) J4 f7 H7 s! ac1=200 195 190 185;
c2=10 9.9 9.8 9.7;
/ n6 d/ Y% |4 c1 uc3=7 6.9 6.8 6.7;
b1=70 30 80;
, t( a! A  I# \9 L! vb2=450 210 240;
: `" v( H, ^) V; V2 ~- j! A. G4 zenddata
min=@sum(col:c1*x+c2*(u+w)+c3*v);
y(1)=10;
2 _" K6 S- b/ Z8 m0 i+ j@for(col(i)|i#lt#4:y(i)+x(i)-y(i+1)=b1(i)); u(1)+v(1)=30;
8 e# g) ?. L4 a5 O; o  ]. U1 e@for(col(i)|i#lt#4:u(i)+v(i)+w(i)-u(i+1)-v(i+1)=b2(i));
. O. K" c) t! Y4 N8 [@for(col(i)|i#lt#4:w(i)<20*u(i));
@for(colgin(x);@gin(u);@gin(v);@gin(w);@gin(y));
0 X7 T: v7 l# J5 y3 w' t8 t6 tend
* q! {- y/ i) H+ r* l! ^/ \
1 ~4 p7 |0 V. L( o$ s
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5 U& d' U1 u- K) T7 D/ p