面试顺序问题：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

例题： 有 4 名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即 在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的）。由于 4 名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如表 5 所示。这 4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨 8:00，请问他们最早何时能离开公司？

: ^4 b; A7 m$ \( h& v) f* _
* }$ G5 H: {6 h$ N; T& c9 }4 w5 u
1 建立模型
3 G: Y6 l$ h9 v. L% N# j   实际上，这个问题就是要安排 4 名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时 间最少。

# |9 q0 X3 {& w( I+ D- \" c- Y记  为第i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令   表示第i名同学参加第 j 阶段面试的开始时间（不妨记早上 8:00 面试开始为 0 时刻） （i=1,2,3,4 ; j =1,2,3），T 为完成全部面试所花费的最少时间。
. e+ w7 j6 e! m* g/ i
2 ~1 R5 D! t% o, }  | 优化目标为                            （1）
, G9 H- g* {. X- l1 ~0 k. P$ ]
2 u' g9 b& m7 F0 _+ f约束条件：

1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）：                                （2）

0 b; X; S6 i+ @6 a; s. |: u( ~& ?2 ）每个阶段 j 同一时间只能面试 1 名同学：用  0− 1 变量  表示第k 名同学是否 排在第i名同学前面（1 表示“是”，0 表示“否”），则
* H0 u, D4 V# ?* V2 r- V4 S: k
    （3）

# A: B, N9 M# b$ S, M9 H8 c" ]0 E可以将上述非线性的优化目标（1） 改写为如下线性优化目标：

0 B0 V: v( `! |9 c6 w                   （4）

式（2）～（4）就是这个问题的  0−1  非线性规划模型（当然所有变量还有非负约束，变量   还有  0− 1约束）。
+ [; q3 d9 A6 `$ {* u1 Y% J
2  求解模型
/ K2 K5 d( L0 x, o! q编写 LINGO 程序如下：
" |& h' C' l  w# u/ t$ p$ N3 i
model:
) H3 {- M% b1 A, iTitle 面试问题;
; P  V4 X: N, f/ HSETS: Person/1..4/;
Stage/1..3/;
PXS(Person,Stage): T, X;
$ M& j; ?8 w7 [6 S- P+ oPXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y;
5 m% z$ q" ?1 u1 Q& U. S1 OENDSETS
+ S2 Q3 Z5 b: L, L* {9 A& y8 F0 lDATA:
( O: |8 |- I# B& r9 M. TT=13, 15, 20, 10 , 20 , 18, 20, 16, 10, 8, 10, 15;
# G0 d8 @3 Z2 Y' |* [9 fENDDATA
[obj] min=MAXT;
. d" _1 ~8 @. o! CMAXT>= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage):x(i,j)+t(i,j));
! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段;
@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):[ORDER]x(i,j)+t(i,j)<x(i,j+1));
! 同一时间只能面试1名同学;
! ~# J3 C- Y* |  w" o) G@for(Stage(j):   
7 u% W3 Y: R9 O    @for(PXP(i,k):[SORT1]x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)<MAXT*Y(i,k));  
6 B4 p1 e  F+ P0 L    @for(PXP(i,k):[SORT2]x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)<MAXT*(1-Y(i,k))));
@for(PXP: @bin(y));
$ Z+ l; X4 [: F' D9 ]) n0 gend
计算结果为，所有面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4－1－2－3（丁－甲－ 乙－丙）。早上 8:00 面试开始，最早 9:24 面试可以全部结束。
. V) R' N1 |8 L$ m————————————————
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