面试顺序问题：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

例题： 有 4 名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即 在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的）。由于 4 名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如表 5 所示。这 4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨 8:00，请问他们最早何时能离开公司？
. e1 s% z/ X6 P, {

8 O9 I& u. z9 T, _3 q8 K
1 建立模型
* Q3 F* _' r( W9 h& h- \' f   实际上，这个问题就是要安排 4 名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时 间最少。

记  为第i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令   表示第i名同学参加第 j 阶段面试的开始时间（不妨记早上 8:00 面试开始为 0 时刻） （i=1,2,3,4 ; j =1,2,3），T 为完成全部面试所花费的最少时间。
5 @+ F: t/ Z. l2 G
# V- R$ D2 K: d 优化目标为                            （1）

约束条件：
3 `/ E& }2 [8 ~7 g3 \  w- e' M
1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）：                                （2）

+ L0 q. w/ @2 L( C+ {* [' m2 ）每个阶段 j 同一时间只能面试 1 名同学：用  0− 1 变量  表示第k 名同学是否 排在第i名同学前面（1 表示“是”，0 表示“否”），则

    （3）
* p, }3 F  C; g/ Z2 F, H# v
可以将上述非线性的优化目标（1） 改写为如下线性优化目标：
* g3 m3 F  p3 x( {: m' y
( |* X+ x: h* G+ a                   （4）
5 K) Y8 D; H$ ]% W' L6 A. }$ _, z
式（2）～（4）就是这个问题的  0−1  非线性规划模型（当然所有变量还有非负约束，变量   还有  0− 1约束）。
; J, X  Q8 C& Y
2  求解模型
编写 LINGO 程序如下：
: l/ g- c  _3 x! m( k; S- u1 ?, m
- V, I8 t1 {1 B# F1 M# ]model:
/ K) t4 Y3 T! p+ `Title 面试问题;
& x3 H4 y2 \) ~& p9 V1 eSETS: Person/1..4/;
) ~  k. ?6 Q! Q: G1 @" LStage/1..3/;
7 A# w! F% y9 f* u9 h$ cPXS(Person,Stage): T, X;
8 w2 r$ H" |8 L8 _4 t8 MPXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y;
" D9 ^9 a' ~; M) d8 [0 H$ ZENDSETS
DATA:
T=13, 15, 20, 10 , 20 , 18, 20, 16, 10, 8, 10, 15;
1 x. {) ~' |7 L& Y. uENDDATA
/ R% V6 B; k5 V7 ?) j[obj] min=MAXT;
* _* b$ u) A. ~* U* p- cMAXT>= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage):x(i,j)+t(i,j));
' T% U# @/ ^3 F& B) R8 B! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段;
@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):[ORDER]x(i,j)+t(i,j)<x(i,j+1));
! 同一时间只能面试1名同学;
@for(Stage(j):   
    @for(PXP(i,k):[SORT1]x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)<MAXT*Y(i,k));  
: R( Q& `  j# k4 }: l    @for(PXP(i,k):[SORT2]x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)<MAXT*(1-Y(i,k))));
4 @8 _3 u/ ?- z@for(PXP: @bin(y));
end
计算结果为，所有面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4－1－2－3（丁－甲－ 乙－丙）。早上 8:00 面试开始，最早 9:24 面试可以全部结束。
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1 Z4 _/ q$ S) B7 Q4 J. n5 u
3 b. O% y$ V2 t7 e/ h