面试顺序问题：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

例题： 有 4 名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即 在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的）。由于 4 名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如表 5 所示。这 4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨 8:00，请问他们最早何时能离开公司？

  R) M5 g% {4 x7 ?' B- y, [
2 p( k3 {* P6 Z5 v2 ^
1 建立模型
7 \5 a) W: ]; |" U   实际上，这个问题就是要安排 4 名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时 间最少。

& ]' _# H6 F" L记  为第i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令   表示第i名同学参加第 j 阶段面试的开始时间（不妨记早上 8:00 面试开始为 0 时刻） （i=1,2,3,4 ; j =1,2,3），T 为完成全部面试所花费的最少时间。

优化目标为                            （1）

; s# \5 N' U+ A8 y  o约束条件：
& Y) b( b6 c# ?) c& S" D% s
1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）：                                （2）

" {0 M4 [: p  A3 |5 A+ ~( I2 ）每个阶段 j 同一时间只能面试 1 名同学：用  0− 1 变量  表示第k 名同学是否 排在第i名同学前面（1 表示“是”，0 表示“否”），则

    （3）
5 N3 X- a. A( q) n3 O
可以将上述非线性的优化目标（1） 改写为如下线性优化目标：
7 t) {# B4 S8 `2 Q, t- |
                   （4）

8 o: Q' Y  G( e5 C0 M式（2）～（4）就是这个问题的  0−1  非线性规划模型（当然所有变量还有非负约束，变量   还有  0− 1约束）。

/ M3 j. F! u% ^4 F* n1 K! }2  求解模型
编写 LINGO 程序如下：
$ o% \1 }4 q% V2 b0 V
model:
2 a8 Q- S1 b$ o: KTitle 面试问题;
2 x4 l4 m6 ^/ [* j: ]% eSETS: Person/1..4/;
Stage/1..3/;
$ g7 j$ [' e' A3 }. q+ K0 g# ~PXS(Person,Stage): T, X;
PXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y;
7 |& o% E! C# }2 i4 cENDSETS
0 A/ P: P; h& ?1 P7 [, J/ [DATA:
T=13, 15, 20, 10 , 20 , 18, 20, 16, 10, 8, 10, 15;
, w! n$ O, A1 y# f0 h! X- w) aENDDATA
' o# p6 v9 L: m) m. h% S( Q[obj] min=MAXT;
6 K2 w% {6 S: P" p' RMAXT>= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage):x(i,j)+t(i,j));
! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段;
@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):[ORDER]x(i,j)+t(i,j)<x(i,j+1));
! 同一时间只能面试1名同学;
2 D/ X5 b7 x, j4 ^5 Y@for(Stage(j):   
    @for(PXP(i,k):[SORT1]x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)<MAXT*Y(i,k));  
( U+ K$ c: v2 Z" R4 \    @for(PXP(i,k):[SORT2]x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)<MAXT*(1-Y(i,k))));
@for(PXP: @bin(y));
end
! [6 H+ a' K5 e+ Y1 e) k  q计算结果为，所有面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4－1－2－3（丁－甲－ 乙－丙）。早上 8:00 面试开始，最早 9:24 面试可以全部结束。
( ?' g2 V7 T7 }7 f: l  n————————————————
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