面试顺序问题：用数学建模优化生产与服务运作中的管理问题

浅夏110

例题： 有 4 名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先 找公司秘书初试，然后到部门主管处复试，最后到经理处参加面试，并且不允许插队（即 在任何一个阶段 4 名同学的顺序是一样的）。由于 4 名同学的专业背景不同，所以每人 在三个阶段的面试时间也不同，如表 5 所示。这 4 名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司。假定现在时间是早晨 8:00，请问他们最早何时能离开公司？

( L  P$ m7 Z' `/ B

  r+ K6 I4 u' |9 w2 M 1 建立模型
   实际上，这个问题就是要安排 4 名同学的面试顺序，使完成全部面试所花费的时 间最少。
$ {9 s% c* K8 e6 q  [
记  为第i名同学参加第 j 阶段面试需要的时间（已知），令   表示第i名同学参加第 j 阶段面试的开始时间（不妨记早上 8:00 面试开始为 0 时刻） （i=1,2,3,4 ; j =1,2,3），T 为完成全部面试所花费的最少时间。
7 l+ P( L/ i, H( a7 ~4 e. P
6 v; k1 h+ P( {; X  z$ _ 优化目标为                            （1）

约束条件：

1）时间先后次序约束（每人只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段）：                                （2）
- R: q  j$ J5 G: t8 ]) o; `
2 ）每个阶段 j 同一时间只能面试 1 名同学：用  0− 1 变量  表示第k 名同学是否 排在第i名同学前面（1 表示“是”，0 表示“否”），则

2 b" y& O5 @# ?2 e. Z    （3）
9 M" }! L( X3 K$ _
% Q/ p* N6 `7 A2 }可以将上述非线性的优化目标（1） 改写为如下线性优化目标：
. v9 {( s5 t/ Q/ J1 I6 b
# v* p* z8 ^( g( r) z% a8 Z' f                   （4）

/ K  k/ m9 c4 e  W式（2）～（4）就是这个问题的  0−1  非线性规划模型（当然所有变量还有非负约束，变量   还有  0− 1约束）。

" J  @* m9 K0 W+ y3 g! k2  求解模型
4 b" T; [3 g; e' z7 p: o: ~- ^编写 LINGO 程序如下：
% i6 ]" f7 I3 W0 ^
* {4 x) w: d8 V7 Amodel:
6 ^) Q  C; G4 l5 Z" yTitle 面试问题;
SETS: Person/1..4/;
2 _) ]* f$ ^8 y5 D$ HStage/1..3/;
& G& g- U- ~: f6 ^% \5 XPXS(Person,Stage): T, X;
8 F+ Y0 m4 {4 j, ^) n+ SPXP(Person,Person)|&1 #LT# &2: Y;
ENDSETS
- F2 ?8 O+ i3 u% g, q1 T1 r4 jDATA:
/ k- ^: C4 m" c0 `  t9 vT=13, 15, 20, 10 , 20 , 18, 20, 16, 10, 8, 10, 15;
, V: ?, Q% r, B) ^5 }ENDDATA
[obj] min=MAXT;
MAXT>= @max(PXS(i,j)|j#EQ#@size(stage):x(i,j)+t(i,j));
4 g/ i9 z$ z$ w1 W& Q! 只有参加完前一个阶段的面试后才能进入下一个阶段;
/ W+ w* B+ w! m+ T: Q" y% ^1 r@for(PXS(i,j)|j#LT#@size(stage):[ORDER]x(i,j)+t(i,j)<x(i,j+1));
! 同一时间只能面试1名同学;
@for(Stage(j):   
    @for(PXP(i,k):[SORT1]x(i,j)+t(i,j)-x(k,j)<MAXT*Y(i,k));  
' A# A# N6 c* [( R: e    @for(PXP(i,k):[SORT2]x(k,j)+t(k,j)-x(i,j)<MAXT*(1-Y(i,k))));
! ]7 H! _, m4 {/ e@for(PXP: @bin(y));
% R$ c4 _1 r3 Xend
* e! p% D, A7 ^9 o# G计算结果为，所有面试完成至少需要 84min，面试顺序为 4－1－2－3（丁－甲－ 乙－丙）。早上 8:00 面试开始，最早 9:24 面试可以全部结束。
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