（算法）通俗易懂的字符串匹配KMP算法及求next值算法

杨利霞

（算法）通俗易懂的字符串匹配KMP算法及求next值算法
4 l8 C6 Z0 g0 w+ z6 M% p' W( ?6 M: @
大多数据结构课本中，串涉及的内容即串的模式匹配，需要掌握的是朴素算法、KMP算法及next值的求法。在考研备考中，参考严奶奶的教材，我也是在关于求next值的算法中卡了一下午时间，感觉挺有意思的，把一些思考的结果整理出来，与大家一起探讨。


本文的逻辑顺序为
7 U1 I% G. j# P( d8 s1、最基本的朴素算法
) w2 S! t1 m( [% x5 \2、优化的KMP算法
* `1 L$ U! Z! Q7 o* D( d3、应算法需要定义的next值
' W8 ]0 k/ a) |* j. C  d4、手动写出较短串的next值的方法
& [; }7 h, J8 b! S8 ^5、最难理解的、足足有5行的代码的求next值的算法
所有铺垫为了最后的第5点，我觉得以这个逻辑下来，由果索因还是相对好理解的，下面写的很通俗，略显不专业…


5 y8 w% p! c# x8 Y) [& B& k一、问题描述
给定一个主串S及一个模式串P，判断模式串是否为主串的子串；若是，返回匹配的第一个元素的位置（序号从1开始），否则返回0；如S=“abcd”，P=“bcd”，则返回2；S=“abcd”，P=“acb”，返回0。
2 H: f4 [+ x/ a; R
& m/ ?$ D% Q! {6 J! z8 k
% p0 u3 k# c. U) X2 |' H' |二、朴素算法
' l0 i7 P$ b2 f$ Q$ |. |/ I9 |* p; h最简单的方法及一次遍历S与P。以S=“abcabaaaabaaacac”,P="abaabcac"为例，一张动图模拟朴素算法：


  z: ^7 \. s! w* h* U1 i$ l  ]- [

  T- [0 h, V( V. ^0 J这个算法简单，不多说，附上代码


#include<stdio.h>
3 j# |% }: F6 a% j. W3 hint Index_1(char s[],int sLen,char p[],int pLen){//s为主串，sLen为主串元素个数，p为模式串，pLen为模式串的个数
- b4 D9 F9 f* c9 S; S0 ?* G    if(sLen<pLen)return 0;
4 F. a  ?! V6 r0 c    int i = 1,j = 1;
    while(i<=sLen && j<=pLen){
# c) R% K. S8 \# B: X- U8 V        if(s==p[j]){i++;j++;}
- O; m* u! n" Q+ n+ B7 D% v% i5 T        else{
            i = i-j+2;
            j = 1;
        }
; w+ Y4 Y5 R, q0 G6 ^2 n    }
    if(j>pLen) return i-pLen;
; D& _/ C# L' I& A& N& V    return 0;
+ C" I8 h5 s# m% |( ^2 W}
3 r  U' q" f' m5 b, wvoid main(){
/ Y/ j2 Y/ o; m" D, j    char s[]={' ','a','b','c','a','b','a','a','a','a','b','a','a','b','c','a','c'};//从序号1开始存
    char p[]={' ','a','b','a','a','b','c','a','c'};
    int sLen = sizeof(s)/sizeof(char)-1;
    int pLen = sizeof(p)/sizeof(char)-1;
    printf("%d",Index_1(s,sLen,p,pLen));
}
3 k! a: T; J$ c8 S$ g9 P1
2
& X! a( n4 h0 o; D7 f3
4
7 X8 \/ B* `" n5
6
6 r7 d$ v; Z9 E% J5 H3 h1 \7
8
9
7 t* e/ n" `  v$ Z10
& n! E1 h: W" i) ?11
12
13
+ V# C/ E) @! {( M( @7 v14
' z$ E  ]2 x- J2 o- r# h7 c15
& K1 T# x" @; o1 w# ~16
% j- T" [$ m2 M, J17
18
19
20
  L: z3 c$ E' |8 n# c+ g2 x+ ~4 ~21
9 w. w# F  E" [) S- |& g三、改进的算法——KMP算法
朴素算法理解简单，但两个串都有依次遍历，时间复杂度为O(n*m)，效率不高。由此有了KMP算法。
一般的，在一次匹配中，我们是不知道主串的内容的，而模式串是我们自己定义的。
朴素算法中，P的第j位失配，默认的把P串后移一位。
8 @+ d/ I8 B! K但在前一轮的比较中，我们已经知道了P的前(j-1)位与S中间对应的某(j-1)个元素已经匹配成功了。这就意味着，在一轮的尝试匹配中，我们get到了主串的部分内容，我们能否利用这些内容，让P多移几位(我认为这就是KMP算法最根本的东西)，减少遍历的趟数呢？答案是肯定的。再看下面改进后的动图：


  |8 Q  l8 L4 `  \0 p+ v2 W& S

这个模拟过程即KMP算法，若没有看明白，继续往下看相应的解释，理解需要把P多移几位，然后回头再看一遍这个图就很明了了。


相比朴素算法：
朴素算法： 每次失配，S串的索引i定位的本次尝试匹配的第一个字符的后一个。P串的索引j定位到1；T(n)=O(n*m)
KMP算法： 每次失配，S串的索引i不动，P串的索引j定位到某个数。T(n)=O(n+m)，时间效率明显提高
0 S3 p6 a2 E8 [1 Y* _/ i
5 `1 B  }  ]; \  [! S  v) \
而这“定位到某个数”，这个数就是接下来引入的next值。（实际上也就是P往后移多少位，换一种说法罢了：从上图中也可以看出，失配时固定i不变，令S与P[某个数]对齐，实际上是P右移几位的另一种表达，只有为什么这么表达，当然是因为程序好写。）
+ B0 B0 r" N2 W5 v% Z& u
$ A9 [5 ~5 P2 x/ ~. m2 W
开——始——划——重——点！（图对逻辑关系比较好理解，但i和j的关系对后面求next的算法好理解！）


8 ^/ P! G* l9 w# c比如，Pj处失配，绿色的是Pj，则我们可以确定P1…Pj-1是与Si…Si+j-2相对应的位置一一相等的
5 {4 A0 r+ H* p" \

+ |# a, L1 o/ ~6 A
" D! D- \5 |2 f' q+ I+ W, p6 @, @' r假设P1…Pj-1中，P1…Pk-1与Pj-k+1…Pj-1是一一相等的，为了下面说的清楚，我们把这种关系叫做“首尾重合”


' j1 c' ^7 b- k: a  Z
. f0 ~6 E8 {/ [+ q( k
那么可以推出，P1…Pk-1与Si…Si+j-2


% A/ Z) f9 F& F4 v6 U; X7 _2 j
$ T& W1 `4 L0 e
显然，接下来要做的就是把模式串右移了，移到哪里就不用多说了：



* k# M, K9 J; |2 Q) i
为了表示下一轮比较j定位的地方，我们将其定义为next[j]，next[j]就是第j个元素前j-1个元素首尾重合部分个数加一，当然，为了能遍历完整，首尾重合部分的元素个数应取到最多，即next[j]应取尽量大的值，原因挺好理解的，可以想个例子模拟一下，会完美跳过正确结果。在上图中就是绿色元素的next值为蓝色元素的序号。也即，对于字符串P，next[8]=4。如此，再看一下上面的动图是不是清楚了不少。

7 t+ i) w. B8 p+ D. `& `
  N# T2 o  O* a- K最后，如果我们知道了一个字符串的next值，那么KMP算法也就很好懂了。相比朴素算法，当发生失配时，i不变，j=next[j]就好啦！接下来就是怎么确定next值了。
7 |0 Z; O5 v# y; r

四、手动写出一个串的next值
我们规定任何一个串，next[1]=0。(不用next[0]，与串的所有对应)，仍是一张动图搞定问题：

1 A% d2 x% h4 H
0 v/ J& D& e) v, p4 G" @这个扫一眼就能依次写出，会了这个方法，应付个期末考试没问题了。
5 x$ Y- A2 [. n( g! n2 ?
2 d; P0 g; X9 A% o. L# Z' d
通过把next值“看”出来，我们再来分析next值，这就很容易得到超级有名的公式了，这个式子对后面的算法理解很重要！所以先要看懂这个式子，如果上面的内容通下来了，这个应该很容易看懂了：

5 `6 l2 v$ H4 J

8 T0 \% B: s, H$ V) s' q- Z
五、求next的算法
终于到了最后了~短的串的next值我们可以“看”出来，但长的串就需要借助程序了，具体算法刚接触的时候确实不容易理解，但给我的体验，把上面的内容写完，现在感觉简简单单了…先附上程序再做解释，(终于到了传说中的整整5行代码让我整理了一下午)。
' |$ V4 F% ?. b- w

. @: `) c1 C* u8 A9 j  W" V# Rint GetNext(char ch[],int cLen,int next[]){//cLen为串ch的长度
6 f# R' s/ G7 q6 y6 l    next[1] = 0;
    int i = 1,j = 0;
    while(i<=cLen){
        if(j==0||ch==ch[j]) next[++i] = ++j;
& X# G3 Z& ~. }; n- j- d1 ?        else j = next[j];
    }
}

3 Q  x7 @/ {. b- d- @. F还是先由一般再推优化：
直接求next[j+1]（至于为什么是j+1，是为了和下面的对应）
根据之前的分析，next[j+1]的值为pj+1的前j个元素的收尾重合的最大个数加一。即需要满足两个条件，把它的值一步步“检验”出来。一是“个数最多”的，因此要从可能的最大值开始验；二是“首尾重合”，因此要一一对应验是否相等。
不难理解，next[j+1]的最大值为j，所有我们从next[j+1]=j开始“验证”。有以下优先判断顺序：
if(P1…Pj-1 == P2…Pj) => next[j+1]=j
* R4 W. h! b' f& _9 Y" selse if(P1…Pj-2 == P3…Pj) =>next[j+1]=j-1
else if(P1…Pj-3 == P4…Pj) =>next[j+1]=j-2
…
…
…
else if(P1P2 == Pj-1Pj) => next[j+1]=3
else if(P1 == Pj-1) => next[j+1]=2
else if(P1 != Pj-1) => next[j+1]=1
  R+ c8 a( @, [: ?# M$ B" O每次前去尾1个，后掐头1个，直至得到next[j+1]
5 }2 k8 e7 f0 f* R7 Z

/ L- x% f: k" o/ D' ~再进一步想，next值是一个“工具”，我们单独的求next[j+1]是完全没有意义的，就是说要求next就要把所有j的next求出来。所有一般的，我们都是已知前j个元素的next值，求next[j+1]，以此递推下去，求完整的next数组。
  q) q1 W' F4 g8 x1 |- y1 P: ^  n但是，上面的思考过程还是最根本的。所以问题变为两个：知道前j个元素的next的情况下，
; P+ z; s, L- l) B* P4 C5 w& t①next[j+1]的可能的最大值是多少（即从哪开始验证）
②某一步验证失败后，需要“前去尾几个，后掐头几个？”（即本次验证失败后，再验证哪个值）
看一下的分析：

  M: {7 S, N3 A5 o
8 B- i, c' x2 B9 y4 B1、next[j+1]的最大值为next[j]+1。
因为：
/ y5 {# l, b& [- g+ b. \假设next[j]=k1，则可以说明P1…Pk1-1=Pj-k1+1…Pj-1，且这是前j个元素最大的首尾重合序列。
如果Pk1=Pj，那么P1…Pk1-1PK=Pj-k1+1…Pj-1Pj，那么k+1这也是前j+1个元素的最大首尾重合序列，也即next[j+1]的值为k1+1
2、如果Pk1≠Pj，那么next[j+1]可能的次大值为next[next[j]]+1，以此类推即可高效求出next[j+1]
- L; N3 B4 O( ?$ }) l% t这里不好解释，直接看下面的流程分析及图解
% ^# q& E& _5 T: F: T8 R
  J3 w; j6 R: _9 ^2 Z
! c) m7 ^8 e2 k( s- z$ D9 R" J- K' i开——始——划——重——点！
从头走一遍流程
①求next[j+1]，设值为m
+ \- X& o; M! `/ W( Q! \②已知next[j]=k1，则有P1…Pk1-1 = Pj-k1+1…Pj-1
0 J; b4 O+ \# V. N# ]③如果Pk1=Pj，则P1…Pk1-1PK = Pj-k1+1…Pj-1Pj，则next[j+1]=k1+1，否则
2 d8 P4 h$ C; @2 u+ c4 g④已知next[k1]=k2，则有P1…Pk2-1 = Pk1-k2+1…Pk1-1
⑤第二第三步联合得到:
P1…Pk2-1 = Pk1-k2+1…Pk1-1 = Pj-k1+1…Pk2-k1+j-1 = Pj-k2+1…Pj-1 即四段重合
⑥这时候，再判断如果Pk2=Pj，则P1…Pk2-1P~k2 = Pj-k2+1…Pj-1Pj，则next[j+1]=k2+1；否则再取next[k2]=k3…以此类推


上面几步，耐心看下来，结合那个式子很容易看懂。最后，再加一个图的模拟帮助理解：
! v* a: k1 G3 H, e% B) ]. c1、要求next[k+1] 其中k+1=17
/ T- c2 U# c; \* O
! i! W! e* [) w( j# ~* o
+ U+ [. y1 T: j+ ~$ M8 @* ]2、已知next[16]=8，则元素有以下关系：


7 ]! p& I" V; T1 d9 X8 f3、如果P8=P16，则明显next[17]=8+1=9
: @6 N2 i3 D4 n0 r/ h* A4、如果不相等，又若next[8]=4，则有以下关系
! d# j* j- B+ F; B6 y( f0 ]7 X3 ]2 a
( W+ @8 A/ ~0 i5 `2 e4 b7 x6 f; Z+ J
( V; m3 v5 Q! I; J# n. k又加上2的条件知

1 x8 N- d) A; d0 y, s. G# p* H
# S2 [3 V. h3 N9 o& P主要是为了证明：
: u4 B6 `2 f; H- \
) d+ Y4 |( Y* v. h. F# u6 r( N
5、现在在判断，如果P16=P4则next[17]=4+1=5，否则，在继续递推
9 u. F) }( ]& p# I* j6、若next[4]=2，则有以下关系
1 u. X4 x, S) _& T

7、若P16=P2，则next[17]=2+1=3;否则继续取next[2]=1、next[1]=0；遇到0时还没出结果，则递推结束，此时next[17]=1。最后，再返回看那5行算法，应该很容易明白了！
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