数学建模方法——SPSS主成分分析法

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Ⅰ.主成分分析：
) ?  C& T1 s  b) s! @/ y0 q主成分与原始变量之间的关系：
9 f. D% s' c" s" o2 A/ tPCA降维：
Ⅱ.SPSS主成分分析的步骤如下：
& I6 Z' o: I$ _( M! ?! ]A.求指标对应的系数
( U- i, E. x  H$ q% K1.方差图与成分矩阵：
. h4 ~: x  t5 J0 p* N* n) d2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和
' n0 p4 w2 [2 X2 D4.采用excel的公式计算指标系数
  l) r$ W- \$ @! k# r" r, ?1 F5.数据的归一化处理
: O" q' R/ U2 Y7 p, @3 N9 {a.操作如下：
b.得到归一化后的数据：
c.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序：
0 W: c  H" T9 K. @; Z% x6 }B.附spss的免安装文件地址：
Ⅰ.主成分分析：
2 `0 {6 g9 ~- L' U- U​ 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）， 将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种 多元统计分析方法。
. t/ ^% A, Q: N$ H5 H  G" p
主成分与原始变量之间的关系：
, x3 s: s- e1 G" T4 _( Y​ （1）主成分保留了原始变量绝大多数信息。
* S6 _' H6 [  K, E- |6 g1 k
​ （2）主成分的个数大大少于原始变量的数目。
6 _. s. s) ^2 L2 n! M4 O
​ （3）各个主成分之间互不相关。
2 F" K* H& T6 X
. N. m3 |; U; o. a+ L& x" w​ （4）每个主成分都是原始变量的线性组合。
, K; b6 @% r! Y" ^3 R/ U$ N) @+ I
PCA降维：
​ 假设我们所讨论的实际问题中，有p个指标，我们把这 p个指标看作p个随机变量，记为X1，X2，…，Xp，主 成分分析就是要把这p个指标的问题，转变为讨论p个 指标的线性组合的问题，而这些新的指标F1，F2，…， Fk(k≤p），按照保留主要信息量的原则充分反映原指标 的信息，并且相互独立。
& r3 M/ _( B# E) J" _7 E: l
) R; D% o3 C+ A, n  \​ 这种由讨论多个指标降为少数几个综合指标的过程在 数学上就叫做降维。主成分分析通常的做法是，寻求 原指标的线性组合Fi。

  X: r' n+ R" m& a" F0 t& bⅡ.SPSS主成分分析的步骤如下：
6 }5 y- D1 f, d/ h# ~: p! ]; @5 f

7 }! y( G' h, E2 q( Q! k

: W& g# `( t8 m, N/ |



" |2 G5 V6 Z( I7 b4 e& _% Q# k

' x, r/ m& \3 n; {. h0 k
# Y* l* D& I$ M- V6 g, t# |


- t& B8 k: j5 m" Z! [$ w


* B* Y7 h" b8 h( T
( }7 T- y% H# l  @
9 x5 W$ }) ~2 Y+ d$ f5 T, mA.求指标对应的系数1.方差图与成分矩阵：



8 A9 S; `( G8 P3 U2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
0 r! b0 a* S8 O1 `# uF1=0.353ZX1 +0.042ZX2- 0.041ZX3 +0.364ZX4 +0.367ZX5 +0.366ZX6 +0.352ZX7 +0.364ZX8 +0.298ZX9+0.355ZX10

F2 =0.175ZX1 - 0.741ZX2+0.609ZX3 - 0.004ZX4 +0.063ZX5- 0.061ZX6 - 0.022ZX7 +0.158ZX8 0.046ZX9 -0.115ZX10

" T& O" |2 m: r& |' ^1 q(注：ZX1,ZX2,…ZX10均为归一化之后处理的数据，而不是原数据表格中的数值，目的在于统一不同的量纲。)

! w$ D. a6 V0 E/ G3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和
, T. s6 I! e: O7 XF=(72.2/84.5) F1 +(12.3/84.5) F2
+ N$ ~2 v9 X2 m
# [; V0 P' o- A' D6 V. J8 J4.采用excel的公式计算指标系数
将成分矩阵的数据列导入excel表格。


然后通过Excel命令：
% ?/ l; P( e& m; A

​ =A1/sqrt(主成分的特征值)

得到结果：

5 s& i( y9 @" i  _6 ?9 ]# o
: g/ z5 \2 o' _+ I' J
+ w" C  {! K. ~; f& K9 Q5.数据的归一化处理a.操作如下：

& X2 [" d" H$ D) o5 v' r
9 M* w, P0 [, {& D4 S3 \

- m- e8 Z  ^5 g& |5 ^" ^b.得到归一化后的数据：

/ W; H8 R. c9 Y1 @4 w9 p8 V( Z4 a/ w
c.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序：

​ 通过F1的计算公式得到F1标准下的测评得分。

9 q. ^& G% z3 [1 s  P, s1 n2 F

F2同理可得；

​ 最终根据F的计算式得到最终测评得分排序。

& s2 A4 W& T. S- w
( ]0 u3 r; S+ b  O; I