航空公司机组优化排班问题的参照资源

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                     人力资源安排的最优化模型
, _5 S& p! _) O* m' ?1 描述
某大学数学系人力资源安排问题是一个整数规划的最优化问题，通过具体分析数学系现有的技术力量和各方面的约束条件，在问题一的求解中，可以列出一天最大直接收益的整数规划，求得最大的直接收益是42860元；而在问题二的求解中，由于教授一个星期只能工作四天，副教授一个星期只能工作五天，在这样的约束条件下，列出一个星期里最大直接收益的整数规划模型，求得其最大直接收益是198720元。

2 问题概括
数学系的教师资源有限，现有四个项目来源于四个不同的客户，工作的难易程度不一，各项目对有关技术人员的报酬不同。所以：

6 M/ h4 J) E3 |' p; t( Y( J1.在满足工作要求的情况下，如何分配数学系现有的技术力量，使得其一天的直接收益最大？
" Z) x. g4 i8 T0 E+ Z; X6 b
2.在教授与副教授工作时间受到约束的条件下，如何分配数学系现有的技术力量，使得其在一个星期里的直接收益最大？

- P1 {0 U; ~; f& Z& R% `3 建模过程
! y* u: I8 _- l1 F* k! B7 `$ `3.1 边界说明
$ r; H+ J& m, c) r6 u( A5 H1.不同技术力量的人每天被安排工作的几率是相等的，且相同职称的个人去什么地方工作是随机的；

) L  b/ q- d% k! ]$ b4 k6 t3 W+ R2.客户除了支付规定的工资额外，在工作期间里，还要支付所有相关的花费（如餐费，车费等）；
2 t) m$ ?" G) _$ H( N4 H$ G( P
+ s- S- ], g- k0 T) h& k3.当天工作当天完成．

* R6 e5 u+ E9 p3.2 符号约定
. @: `4 e% Y1 x$ h+ X
* b! c9 ^! [0 r7 t% j8 ]4 T/ ]
  y$ F% y3 c6 L; B  B. d
8 x2 i% I# k( k2 \6 Z3.3 分析
由题意可知各项目对不同职称人员人数都有不同的限制和要求．对客户来说质量保证是关键，而教授相对稀缺，因此各项目对教授的配备有不能少于一定数目的限制．其中由于项目技术要求较高，助教不能参加．而两项目主要工作是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支．
! l( |5 C: A$ b1 D# X3 E
6 C( a+ d& f$ E/ [* ?9 _( p5 y" b由以上分析可得：最大直接收益=总收益－技术人员工资－、两地保管费．
- l$ z4 s4 H( S
3.4 模型建立
# N: r- |4 c5 Y! L! G
2 n! h7 }! Q/ Y) M
. v3 \) D" j5 M; Q1 [1 G1 B3 C

3 _8 S$ `6 d; y9 b; ?
5 m. t$ D3 s5 s2 x: {4 q0 ?7 \
  l% l: R$ r0 x% W, P0 y6 K4 B

3.5 模型求解

相关数据表格如下：
数学系的职称结构及工资情况

8 M' \3 }- P2 v) i) R: P
$ Q  J$ z# l$ L5 F
4 A# C. U& a3 t# S6 p" q
: j. w9 _9 l1 L  R
4 模型评价与推广
% I' E0 V7 F1 M6 C本模型通过合理的假设，充分考虑各方面的限制条件，得出的人员安排和直接收益

都是本模型的最优解与最优值，对武汉大学数学系的人力资源安排有一定的指导作用。但从模型假设中，我们可以知道对数
. l* f9 @- Y9 V
学系现有的技术力量的安排是随机的，在相同工作时段里，可能会出现部分人工作次数较多，而部分人较少的不公平情况。
7 A$ y, K6 a) r8 }! s: N/ d% Q4 v
所以在满足工作需求的情况下，分配工作时应该要人为地尽量使得每个人的工作次数不要相差太远，或者相等。
7 t/ o* s/ m! z  r  m8 h4 r* ]+ ^' F1 [4 W
/ M# k% t- M  G# g( v( L此模型通过对人力资源的调配，从量化的角度得出数学系的最大直接收益。利用此模型的方法可以求出所有类似本模型的线性规划模型。但是，本模型只是单目标的规划，可以在此基础上，增加目标要求。如在数学系的直接收益尽可能大的基础上，使得客户所花费的资金最少，等等。从而建立多目标规划模型。解决更为复杂的实际问题。
" t) D; T. D. }) E# y, o; i) ?
5 实现代码
9 o5 @; U8 D- ~) |0 [; m+ xf=[-1000;-800;-550;-450;-1500;-800;-650;-550;-1300;-900;-650;-350;-1000;-800;-650;-450];
A=zeros(9,16);
for i=1:1
   for j=1:16
      A(i,j)=1;
   end
end
for i=2:5
   for j=i-1:4:11+i
: l1 D; }) ^. B0 Q& r5 W      A(i,j)=1;
5 j; M- [# u  d$ \! P   end
% j( R+ Y5 I3 w. tend
i0=0;
for i=6:9
   for j=i0+1i-5 )*4
, E1 Y% I; B: |( s2 F      A(i,j)=1;
   end
5 E; r% i( ?8 K5 i( g   i0=j;
end
) p5 r: l6 G' m/ @/ nb=[64;17;20;15;18;12;25;17;10];
% z( n( Y$ ]/ W7 g  r" `9 r1 SAeq=zeros(1,16);
  A5 {1 H. y; s8 d: Q; F. A! D, O8 kAeq(1,3)=1;
beq=[2];
LB=[1;2;2;1;2;2;2;2;2;2;2;1;1;3;1;0];
( M: n# C5 e0 s( j, nUB=[3;5;2;2;inf;inf;inf;8;inf;inf;inf;inf;inf;inf;inf;0];
+ J) x. N% X! T& U[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)
; ?, D7 K5 d2 r+ ]
, v0 K/ U! }6 f5 F- u0 S3 W

3 u, `$ A: [( K2 {) Bf=[-1000;-1000;-1000;-1000;-1000;-1000;-1000;-1500;-1500;-1500;-1500;-1500;-1500;-1500;-1250;-1250;-1250;-1250;-1250;-1250;-1250;-950;-950;-950;-950;-950;-950;-950;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-800;-850;-850;-850;-850;-850;-850;-850;-750;-750;-750;-750;-750;-750;-750;-600;-600;-600;-600;-600;-600;-600;-700;-700;-700;-700;-700;-700;-700;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-650;-500;-500;-500;-500;-500;-500;-500;-600;-600;-600;-600;-600;-600;-600;-350;-350;-350;-350;-350;-350;-350;-450;-450;-450;-450;-450;-450;-450];
" w: f# [) S+ yA=zeros(60,112);
for i=1;1
2 g* k  D/ Y8 C& `   for j=1:112
0 h$ f; U6 L, [! p) M8 ]8 r      A(i,j)=1;
% E* Y' f* p* }5 f( Q* ^   end
+ B" R0 u- K9 a% ]+ v( yend
0 e  }9 A  f  `7 O5 z4 ]i0=0;
5 p5 H1 J( ]' F; A6 Efor i=2:4
3 R# E) t$ s' J   for j=i0+1i-1)*28
      A(i,j)=1;
5 w4 d. t% {7 z. p1 j0 l8 r   end
   i0=j;
+ L% j9 O/ O; l2 g7 T$ s) dend
; x: t* F# Y. m% N' Q( ^for i=5:32
   for j=(i-4):28:80+i
      A(i,j)=1;
   end
end
for i=33:39
   for j= i-32:7i-11)
: d6 p% f$ N( m6 f2 H# D* Z" d      A(i,j)=1;
& a/ H/ T2 k9 V4 R( l, b* s* |   end
end
# `, g) N4 \2 t! z  j4 Aj0=j;
4 [+ [; Q# a/ ^; b3 a8 o- Wfor i=40:46
4 F: f6 t" _- C7 q   for j=j0+(i-39):7i-18)+j0
. x; k1 T1 l6 a2 l$ T. z/ G      A(i,j)=1;
   end
  I- E, c" [2 Z# U9 h/ i+ m; ~3 Cend
j0=j;
% a; g9 y( s- V3 a3 zfor i=47:53
   for j=j0+(i-46):7:j0+(i-25)
9 E9 p5 R5 A" M) g& s0 j      A(i,j)=1;
+ x* x+ X; M% e  w6 I8 J1 T$ Z   end
, d3 y/ A! n9 j$ g. ~end
% O. w! w, y& _* g2 t( B* ?j0=j;
$ b. C9 `# y) A$ U# lfor i=54:60
& B# P0 i! d$ m  X- \/ Z   for j=j0+(i-53):7:j0+(i-32)
. |7 r! C  ]1 M. w5 R4 l# |      A(i,j)=1;
" R; a5 c+ ~3 b8 m8 d3 U/ H& f   end
' A3 T- Q  D3 P/ }  z+ a' Iend
! n; b+ @. \& s: lb=[362;48;125;119;17;17;17;17;17;17;17;20;20;20;20;20;20;20;15;15;15;15;15;15;15;18;18;18;18;18;18;18;12;12;12;12;12;12;12;25;25;25;25;25;25;25;17;17;17;17;17;17;17;10;10;10;10;10;10;10];
UB=[3;3;3;3;3;3;3;5;5;5;5;5;5;5;3;3;3;3;3;3;3;2;2;2;2;2;2;2;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;8;8;8;8;8;8;8;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;+inf;0;0;0;0;0;0;0];
LB=[1;1;1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;2;2;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;3;3;3;3;3;3;3;1;1;1;1;1;1;1;0;0;0;0;0;0;0];
Aeq=zeros(7,112);
6 T" s7 h5 A3 A8 ~1 F0 |" B3 Ffor i=1:7
0 ]1 T/ `' `" j! ]; i. g   Aeq(i,i+14)=1;
! W- R( g% h! S& @" [# Tend
beq=[2;2;2;2;2;2;2];
[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB)
: I/ J8 z7 N3 b

* b. o3 L6 ^5 n- p- S, i
9 ]. p* J* L! A- J! g' F