数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
! ~% z* g. k( V1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
+ Q/ v# U% y6 H! m2 [/ V. o0 Q1 U静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
. \# f4 @7 V1 T人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
7 K) N7 R8 }- p% b/ W一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
' \  f' Q$ @; [6 K往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
8 s  c( o2 V7 C% h有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
/ j& }$ c; g% ^" O- {数学建模十大算法
. L- f: l2 }0 q9 m. @8 j1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
! Q' z& L; l- z5 h% X" k# J0 d2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
( ]6 c* ^5 J/ z* V通常使用 Matlab 作为工具
* [. K9 j8 J3 x% v3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
& n' ?; j& V- B! q% X4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
$ U" c6 z6 x5 o7 Q% @) h. G这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 }: W+ |$ q2 Z2 ^0 h7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
- U( A/ x$ d" W( j- C+ m/ x一些高级语言作为编程工具
6 I) K' r( s+ Y& D; n8 、一些连续离散化方法
1 |" |" A/ v9 Y6 b( A# m' z' a% `8 h很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
: |0 l5 \* E* Q! K据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
: f( O2 P9 b; Y7 E6 \5 S) Y& ~% ^如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
. K3 l8 T! [6 g* \  ^4 y! t1 Q的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
, B( N. W" `- _0 `: P4 L( `' n算法简介
* O/ S3 F3 p6 x: s& I* x+ r1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
$ l6 j" i" w* {$ V$ y* r' }9 B2 u5 n①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
8 N' C$ u$ Y0 w4 _2 j1 j2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
4 S1 m: h1 |# B7 y& \微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
& }; ]7 D/ c1 o2 q4 w- r找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
4 b; ~% T) R$ S3 a7 J% w8 l3 、回归分析预测 （ 一般） ）
/ j+ @/ \* `/ O) D* r+ J求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
( t! P8 C) R0 s5 R8 k( Z化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
9 q0 M& f; ^  m" S②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
& Z( k. t( p# u$ y8 U" C4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
8 g$ O2 |! x% v% J8 X互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
. S8 V2 @/ t9 y( w概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
( m+ g" r  N' O% p5 E' y5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
$ x, G  f' w) b8 m: f  v6、 、 小波分析预测（高大上）
/ s) H, a% B7 K( i5 B( D5 Q数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
/ G6 E5 R2 a: P7 x; r预测波动数据的函数。
* F/ z) s% ?& q+ Z8 `7 @9 p7、 、 神经网络 （ 较好） ）
4 R. K9 ]/ a- D( ~' l8 i2 \. |大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
; R, }: [. z% x3 S7 b7 \; }办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
8 F5 ~; a. A9 H) m9 r拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
! Q; B0 D! ~$ {* P2 b在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
" z- K$ L4 a0 I( ^: W4 @评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
5 y: W7 k1 `8 s! \! b! X% R2 K11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
. a8 }( h9 q' O+ _优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
4 i( u5 B8 v; \% b- B秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
; g# j4 R4 S( A" H/ `似。
9 {* c* ]+ s2 N9 I+ ?14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
% m( ?' A+ ~" y5 N2 [其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
4 H  t. f" y6 e) ^$ q评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
4 k7 c9 R6 M4 R$ W15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
) m* L, W0 D, [6 l) A16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
- {7 z  v$ S+ `: m方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
4 z. f8 X) f! U; W素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
0 @! e2 G9 W8 F, x0 J# y+ y此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
3 p6 U& e2 s4 [2 c- Q优解。
: Z$ K( X8 }2 o# ~18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
7 \( @8 v3 _: a8 F) [  \非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
8 D* \# m" Q( v5 x$ H算法、神经网络、粒子群等
, e6 k+ a2 h! R其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
% ~8 z$ x2 V2 m( |' p9 F离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
* Z+ e3 s  X$ u9 s$ k20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
6 d) @# i* X9 R, ^即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
, r- \8 h# n# ^$ v6 x5 x) R计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
- L8 r1 k, t; w. X5 p/ z! _7 B般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
$ M# S  Y9 @' \. w/ a% _- R21 、图像处理 （ 较好） ）
  G4 {4 i) `8 M9 vMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
2 E, \- K& d& K; \  B) f! d  [支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
0 i! [1 x4 q' I- x0 ]: w. g# D% W2 U射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
6 N9 k6 j/ O: Q  D% J23、 、 多元分析
) Y- q0 A& L+ }- E4 l+ [& e1、聚类分析、
  c# _  z1 e2 G9 b2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
2 W- n. {; C- ~8 ?6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
! G0 g$ u. }' ?, C6 b- n! C24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
: V5 ]' Y. @& `3 `1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
7 N9 ]3 {' q# S5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
1 a; a; k6 n9 g2 |: [8、模糊识别
25 、关联与因果
9 z$ Z9 T5 [8 ^$ Q1、灰色关联分析方法
1 d3 z; T2 T+ u3 s2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
# ?9 U, j( Q& |9 o4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
% ~( O; R* m5 N* g$ p# R5、典型相关分析
" c, J( I6 P; H3 b0 s（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
$ O9 g! E, ~* [6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
1 q- J7 O! s1 p3 ^  A! j/ H2 h1 t8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
7 A* m# T6 Y9 K7 u! i9、优势分析
+ p4 I1 c. K/ F, T/ l26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
- V2 M7 Q( ]0 }" A量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
8 T' M& [, t" @2 O2 E& A, c; o9 k2 ?


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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的