数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
: S1 [& J) F/ `; B4 l+ f1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
2 t' q0 ]% ]: S4 w一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
! P. c" |! f+ ]( l2 Y' {比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
; ~4 K6 W0 h5 a0 D6. 按比赛命题方向分：
7 g$ {% W/ s, {- d3 E& T2 P( r国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
3 u7 n/ u" T8 B- H. D( o数学建模十大算法
1 u  w$ U# c2 ]$ R1 、蒙特卡罗算法
- \# ^3 U6 t! Q) h; i: N( ]6 i该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
7 M8 v& b* [) e5 `* W& M以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
# p2 e. F  ?& m2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
' d/ U8 Y9 K: E' o5 V4 d比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
! @6 H7 B; m0 B% R. ~& ?5 Y通常使用 Matlab 作为工具
8 I4 }5 `  U3 Y, c9 e$ Z3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
7 r; Y/ g' N4 u" _( A: G% S7 O法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
! m: r8 t% \6 t7 t4 s4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
" ?* P/ U; t2 E+ k$ E6 w论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
( S. r8 _7 ~; K1 x4 Q% P2 E5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
  |( O9 d' K7 i1 h8 r这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
% x: n& D0 r  `; C, h" Y. [帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
/ y' F9 t1 |7 I' p很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
: Z. {( g, o8 M0 O! x3 t据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
+ q, Q- u8 V+ O7 L! i( B0 h如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
2 u" W. j  W8 R! l' K赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
: e/ z; a; B& B% T2 `, h* Y的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
: Q- q3 C7 x+ W行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
% C- E2 G% W' H; b个条件可用：
4 `/ F) V6 G4 P4 {: K& N6 S8 G①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
: o; [- G- C, z. E" l& K& ^微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
* W* N! H" B: V其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
8 K0 _7 X) h0 A. m6 b, f3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
) b- L+ E( O, R1 Q) |化； 样本点的个数有要求：
' J7 n2 z/ y" I% z①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
* m* _7 D  Y& Y# F2 Y9 X* W; ?' z②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
2 I# a5 G8 G4 b" `& j: n4 e4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
  N+ K3 D+ i6 |$ x一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
3 L( P- n# L9 ^' C( U7 X互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
; P; \' o) j& t1 w: g8 S% u5、 、 时间序列预测
9 o8 R2 W+ r% _% ], W预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
' B" P5 l% `& [: Y& K- l（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
2 b! o7 ]: x. S7 n: L数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
  k6 }9 o* z- d, a% g* j* j预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
+ _* {' {' b! t2 C& r" V/ V预测波动数据的函数。
$ N$ o( e3 T* \$ X' ^' \) ?7、 、 神经网络 （ 较好） ）
% o5 |% i; U/ q! X  J) c大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
) Y: i3 M0 W+ }8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
' {5 d4 x+ c  s8 v5 i3 V9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
& u7 D1 I* }, y- ~8 Z拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
, ~& R+ s0 |6 f% |- r6 `: {在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
9 M8 D( ^5 X# `: w& a% R& S' T6 n评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
/ _/ |( v& M" t$ b$ n, E0 Q0 C11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
3 o( R7 Q$ X8 T作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
, i2 y# r0 j7 _) M) z# J7 o: R5 _12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
2 x. `* b  F, ~$ D" w& P优化问题，对各省发展状况进行评判
/ P; q) _, N% K; `$ O1 t3 w13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
. F  e2 w5 e( T) `6 H- P7 E法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
' W5 ~2 O+ g' d. l* V, h14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
& a9 ~7 U* B/ ?0 m2 ?+ Y& z9 O评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
( S0 D- u( \' r0 |" o3 c解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
2 R' v6 Q$ ^+ G0 D1 e" c2 u的最差值。
) n% I' T! \" C. W, ^15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
# X; {& g* r3 Y- L/ d1 ]可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
/ e# P5 h5 E4 t3 ]. e16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
- O3 u" I, @8 \" n( m量有无影响，差异量的多少
1 y; `2 y. D" w1 Z) k协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
+ ^. ^# N. h4 Z7 J此外还有灵敏度分析，稳定性分析
" K4 _. x' p, p/ A/ c' @17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
& ~: H& s. z' w优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
: J4 z. L  f/ L离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
+ z- J: a# L2 ]2 @: H% k20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
, T1 E8 _1 U0 S# u. i排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
7 l; z& y" p3 L0 {' ^' b: c$ v计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
0 ]& z, V% a0 T6 g; L' ^) N射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
& v1 f/ [7 ^- ^4 c. z23、 、 多元分析
4 I2 d5 w1 C# {! }1、聚类分析、
  ?+ Q; e0 k* A. ]8 ]) L5 ]2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
3 J, [& n& t' [9 B9 }& L: e6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
# q1 ~, B! I% R3 d- G, a1 W7 C24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
, R2 Z" T( \( P1、距离聚类（系统聚类）（一般）
0 X" U2 t" P  V$ q! \2、关联性聚类
3、层次聚类
% E9 ^: h! @: h/ l7 P. G9 a6 O6 K4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
9 k6 h  \" X2 v) g7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
: b- E) U% m* K+ W' ~) W25 、关联与因果
0 H+ D( l0 p* ]6 S9 o1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
( l' N- Y5 Y' U  y4 W8 @/ t8 q（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
: c- I( i4 M- a7 C: Y( {一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
9 k- _2 [& b% G. B! O) `& }, Z8、格兰杰因果检验
- ~8 ~* N3 f  W- t计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
% X( N& g5 A$ V7 @9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
$ D1 p* c* r  G
4 v5 {5 A5 n) W3 R5 G$ I
) ^, ]4 o3 K; Z

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: J# ?& c# @! C: `9 y

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的