数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
) ]5 s6 |3 p" d/ A9 E1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
! j, O" |0 _; ~型、马氏链模型等。
" R" D0 h( i$ l( s8 z; L9 J$ k1 i- [2. 按模型的特征分：
' r$ E: u4 V; O% x& u静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
! V( Z# V+ l' I( i$ E* U性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
. m9 P8 e4 Y- r- b" `( A人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
/ @! S1 x/ m4 w& a7 B' W# Q3 {  I一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
* n' {4 ]! C" f" h$ q/ z5. 按对模型结构的了解程度分： ：
& `# a3 u. P0 r# A" y有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
4 V8 n" a3 `% D! H% B9 H2 N9 \比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
1 X3 {( z+ M( B* j' C! j, Y1 Z运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
( x) D$ \8 t1 {: A0 c该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
& {# ]9 t! y3 N3 C. t9 j通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
  B# B0 O* s! V2 L4 i建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
4 t3 L: x( ?# J+ s9 {& }法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
4 x' v% ?3 z3 t6 q( \这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
; g9 @. `6 K+ ^+ E, p) m5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
" w. e. `) y$ f' x这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
: M% G2 D6 R8 k2 G6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
+ }* P/ w2 s& D) {) J; G7 ]帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
' \, U0 D5 h9 }$ q一些高级语言作为编程工具
- }0 V& o, h8 u8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
1 f- K0 p: P- m7 r! f! p据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
0 c, S5 t) s- O5 ^+ H/ f" ^! j10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
. M& _. Z: N+ h  F% }2 X# f算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
9 I6 E) p& A0 b个条件可用：
8 R  U* N( b' q$ \4 w9 C( M) t5 z% a①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
- T# O1 }% r' {- n8 r  C" x2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
) e9 D3 ]* B& D+ v& A微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
' `6 m( S7 i7 a% \( T0 W* Z其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
5 B' T/ F7 {% e( J0 Y& m8 Q找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
$ ]) c5 ?2 t* x9 B* d. c化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
0 P0 N8 B$ D; U' p# q. p" N一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
' H0 c& G. o0 R0 v# X; O1 v/ U概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
' u  f6 W2 g/ X* [0 u& ?5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
5 L8 c% m4 {, d7 f5 q- O数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
; c* M: _5 _) ~预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
, T" u0 [% S9 t. T' C/ j0 w预测波动数据的函数。
2 b$ w# j* M1 y7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
% e1 X! e! `: z( |4 c5 h8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
- Z2 y% p( m* Q6 M% `8 s9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
2 A* f* i1 O% r! R: `逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
0 n3 l, o( H3 x5 Y, ?8 o2 g  }评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
* i# F$ p' i: i5 ~9 e( u" _11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
8 i  O9 D7 I% }& V12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
. q) S5 K; m7 O4 g0 L* e秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
4 v; H7 W# m' P( F法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
- ?% w8 {$ f5 u! ^5 @似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
  b1 G$ M5 E1 n2 J$ K* V其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
# Z8 r) L4 [! q解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
' d! {4 @  C- k, D2 r5 u% g. X的最差值。
# A- m! g. H+ Q15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
$ m" ~, g9 ~4 ]5 Y* C4 d来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
( _/ ~- J- p! n该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
  F# `9 k4 y! P) c; Y! s3 q量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
+ e& g: j" a- V2 A18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
! d3 v+ z8 {+ D; j# U智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
5 O* I% A; z2 y6 ?" ~$ A其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
4 N. J( G/ I" Z19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
1 r6 S8 |4 f6 Y离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
. Q9 |0 S0 n& |8 q- U2 ^排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
% G, I" c8 H0 ?1 r有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
; d1 E. w1 T# ^7 f9 o" c计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
2 y! |2 x1 G( c/ y- c21 、图像处理 （ 较好） ）
- J8 A7 T. @7 k4 T; SMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
, [' a! d+ V: ^0 d$ x例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
. J  a; k% J/ Q22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
/ e5 V1 k5 \) K( f5 X) K% N支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
: L' E- v6 }+ E3 B6 x! a6 B: L射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
% {3 f8 R0 g5 `$ u' ]23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
  o" v% T1 T! }& i/ e3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
4 V! V4 p# F) z2 O2 s5 x各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
; H- i- T% ~) [" [  M/ t从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
: |5 J: t% C; m" O$ e2 L24 、分类与判别
; ~: |; w/ z. J主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
% p9 D$ I5 S7 Z5 W! {* t8 ~' s2、关联性聚类
  k$ c: t$ \$ d  A3、层次聚类
% \+ Y# ?1 e$ `4、密度聚类
; `* r0 Z( e" U5 M5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
5 r) V8 F4 S" S+ j! M2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
* z1 G6 B0 T! p3、Person 相关（样本点的个数比较多）
  U' |, g0 _! C* _8 ?* b% H4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
6 h' }) t6 _2 a( t* O% P# }（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
2 l: M/ f7 ^9 u5 z  U6、标准化回归分析
' z2 ?$ j3 d; P7 m/ {% |" s) J若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
2 B1 r9 O2 E0 Z9 {8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
7 o3 w* K. o& m& c26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
. V; J  H8 P+ t/ s, s7 `7 G量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的