数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
3 x7 C. n8 a& V  j" B! F# [5 R1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
! P5 q- s* B9 j8 }& s" x型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
6 w9 w: u  a9 O& m- m性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
0 t: E/ u4 _8 Z  w8 Z+ i4 |人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
! C2 l) p6 S5 E- q" S" \! C4 ^5. 按对模型结构的了解程度分： ：
1 S+ o9 r% e" {- ^7 ?, h有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
+ J( ~* i& K& X9 ]; B" {数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
' e5 r6 S( o& Y$ X( T8 V建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
- V( X$ ~' d+ K/ I- N4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
7 S: X' q( y+ s2 Q$ H; d论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
# p) J; g4 R; ?4 \; F: g( C1 o5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
5 [5 c7 K) f/ @这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
! I* k* f: I% ~& Q& x这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
, y4 k8 q) _3 y9 A0 [帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
, \% F- P, q* \  E8 F7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
" m9 g; q) R' O; N一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
7 F7 B3 F9 B7 j; ~4 ~/ F据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
5 m, O5 ~4 T. B# H2 Q如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
1 v; |7 ~) F$ ]4 F+ x10 、图象处理算法
3 j/ H/ R7 R; d) k3 R赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
  ?. }  M' x; a) t- s0 d的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
7 J% e( Z! X+ w. \- }) S2 \2 R个条件可用：
9 |0 v* M8 |# x) O* N  m7 a5 q①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
5 }/ N; w: {9 {9 c( [3 C# f找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
$ [0 I7 |: {: a- w6 ~; {化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
* P8 X3 A9 L- `  G4 Y& j) |- n5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
( A7 n, i8 g) n1 K3 D% d9 O$ V（较好）。
$ q! U( W  y) P. q6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
" [* C9 W7 ~9 j预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
1 h) r; y  k. g预测波动数据的函数。
% R) ^, a2 P8 @/ N4 e" t& W) x7、 、 神经网络 （ 较好） ）
! F6 h  Y( s. B2 s大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
- A8 L* h! H, e. c5 @7 D8、 、 混沌序列预测（高大上）
) s8 D: A! D" O1 P适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
# G1 y8 j# t" E, z! I) \9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
$ N/ B3 |4 Q: z* w* p9 r. C逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
/ A" j$ m. o1 L/ |3 a# k11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
; q+ x' }5 |$ v$ Z0 t作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
$ d5 `$ W# ~' m/ o0 y4 @12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
0 u& a) E9 [% ~) G) A" {$ ^优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
( i& K/ S2 b1 K; P似。
0 `+ h! ~' W- q! K3 b14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
" V3 ^( l: L$ o" d- P5 Q评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
5 J8 X7 j" d: ?的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
- {& T' E+ h( `3 V, [* v可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
; J2 `$ ~! ]5 D3 f: T该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
# g( V3 L( c, e3 ~7 y) \) q- B' `: w协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
, u( Y" d# M5 |) |) w0 y. a/ u此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
: A2 @# X/ [4 E- n( g优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
; b: x) ~) l/ l1 o! \. U' G智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
0 O$ _5 p, {" ?# _" o, Z! X算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
: _1 ~  }; x& |. ?+ {19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
5 n+ q) O  ~! z& c0 G计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
9 y- R7 w9 j! E: Z1 }4 e! ?* f般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
4 i% {1 B: Y  N' Q8 m21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
9 f: T; O* j5 M/ D# G1 |8 E* d例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
% m' v! r: w# m. D22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
, i9 {* h, b$ w( L射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
& G- A! J- o! f8 c7 ]: K1、聚类分析、
3 w' {+ p0 h! B7 T5 `" |2、因子分析
" J7 E* b( c2 X$ D) T: V: m7 c- m8 x3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
+ @/ n+ K7 K* c$ r各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
6 ^1 ^! I8 U8 \4、判别分析
% i% V% `' }* a! ^% q4 U* L" G5、典型相关分析
+ O* y/ J/ ]  R) n4 c$ u6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
1 V. B4 ]* }1 G1 U: {$ V+ Q; H2、关联性聚类
3、层次聚类
* m; o6 T/ @8 s* c1 F" H0 e4、密度聚类
$ V5 v. {7 B3 X* ~; k$ @: Q; P' f5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
5 T6 S' h: i2 O& j7、费舍尔判别（较好）
+ B; P; e0 l6 h# |$ m" W& m" V8、模糊识别
25 、关联与因果
' n1 E; {% t: Z7 v3 K5 n* V- D/ B1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
3 x& R! }$ \2 j3 S一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
) T8 a6 s+ Z' m$ R' j( Z若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
+ T! |/ r4 A2 \0 M* V3 [! p数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
7 s" Y* }( ]9 D计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
+ j) ?% ]+ T5 C2 X0 [% S% X9、优势分析
$ p" ?; C! k" C26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
8 m  A: V3 ^4 |+ {, X" x1 w量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

6 E9 G- {: t. ]+ K

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的