数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
1 s8 n6 \: q) M* a几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
( l! f2 `. j; e- ], B3 j静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
7 A3 g* v( d8 `3. 按模型的应用领域分：
3 Z( f4 c2 V) w! j5 j- l5 z! h人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
0 @7 ?& i& H9 w+ I/ T4. 按建模的目的分： ：
# V, s0 J( a5 n5 v7 H预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
5 R: q5 a1 N  w% w! {9 V( p: x往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
$ n5 [+ v' H2 }% b6 C比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
2 A$ l+ F: V8 }, r  Z: K5 e: d国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
; l' P8 l# B. i# Y0 o1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
5 i: n, q$ D6 f* p+ w0 ^2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
1 e: Y5 M4 t6 ]1 k: \& q" `比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
, R' b3 N7 o  M! s" d7 g8 Z$ Y3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
- S3 n9 ~7 M0 G' o; _) @. h4 B法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
9 ^) P/ r0 t+ u0 @8 T4 、图论算法
* \7 x! c. ^- F! G这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
7 T/ H& S! ]! n- H. ~* H论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
9 {6 p( N* C* t! ?6 y0 b- ?6 d0 g这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
) m$ B3 s- O+ V帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
4 {3 E/ @2 e6 |) _' ]7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
5 @9 R( D- @# `3 J$ u& `一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
! Z" Y* H) Q( p! x; v5 S9 、数值分析算法
" X) J6 W/ {. E9 i$ p如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
* w9 {/ T  u( D& n' x10 、图象处理算法
" O5 X' M( o" j赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
2 B1 E1 N  x- P5 s( u个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
0 m# u' ^+ @' b' L% r4 a②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
0 J7 b5 O9 V% [9 n微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
7 z3 C; [8 g7 C. I3 、回归分析预测 （ 一般） ）
: L4 e! j% u1 }8 W求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
. j2 a+ m' _# ^化； 样本点的个数有要求：
) U, K3 p( J  ^- ^3 J1 B①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
4 k8 J( H. x4 g+ ^, s一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
8 N% [' P  E6 `1 T* u: q6、 、 小波分析预测（高大上）
) v, \$ e; k' D* T数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
" c8 X& [2 O! X0 M预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
* b5 {2 W" Y1 Z5 W3 f3 S8、 、 混沌序列预测（高大上）
" z1 Q1 ~% `+ L  \% ~8 j3 z适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
- a& t5 T% ~+ f6 L拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
- ?, m2 q0 |! _8 {8 s在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
4 r3 |! p% a. h# S! V/ p) j10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
' ~2 v  S" v- i. ]  |& f作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
6 R. O& }# T3 n/ [. I& y优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
: E8 T. Z' M5 d% n法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
! Y1 e9 V7 ]* M! u6 c. y0 q其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
# |* o( G& |: ]- ?0 J, d9 m解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
7 a% ^2 V; X& Y/ O5 c/ [3 f6 Z" w15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
8 D* N/ U, Z: @% f# n( n' [可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
: W) Z$ Q, E4 ~: j  {3 }来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
. ?* S6 d" ~' A4 `# t4 Y该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
6 R0 n, D/ g, O1 H4 d量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
* J5 ^" N' _: k  V- f" [素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
+ P& U7 r- p1 H; C8 U18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
) [2 O9 b; _7 I# P6 q* z' C非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
2 q+ z' @7 X: _: X7 s6 Q( l- v离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
6 x, X, K+ `8 T; U1 L+ f. l20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
% z) b; ]+ _" ]8 n: c2 i6 V* R; |  N有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
; m/ ]# t6 D$ P) x2 c. h3 z计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
$ s& f$ ~/ `( i& U+ L% q" @支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
) n6 a/ \+ ?: v# U" P  B" k1、聚类分析、
. M* n* V% N8 Z9 L) W/ Z; D2、因子分析
2 v( B3 V4 ?+ E9 J1 W' S: I3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
$ x) G; o& ?6 J: B6 K各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
1 @0 t8 `- X7 R* T3 ~& o从而达到降维的目的。
7 m. [5 P- f" W4 C! ^$ z4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
2 ]7 e: B7 r" E* }# G7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
, e3 c" m+ u# |1 {# H8 L24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
0 F9 `7 v2 J2 [$ f6 I8 f/ _6 A5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
2 Y+ l( b: R& ~! \. r) W7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
  b* V) n# L2 k25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
/ p& ]! M9 W4 r* c, F9 }0 Y4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
4 F+ s" c( ?; x8 h5、典型相关分析
8 _3 F8 \7 `6 T! ~8 R（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
5 t. p5 Z4 {  O% k7 {6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
1 @4 A$ H% Z& n3 i数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
* }" E8 k  B# v- s8、格兰杰因果检验
+ I! @7 ]6 `) n计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
6 j- h) f, }0 ?! O4 r26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
5 @5 H; V9 Y+ [量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

7 ^6 w, ?2 Z8 U# `
0 b7 y" P9 s5 e

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/ J5 r6 I! v8 a

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& [3 m5 L- I) b1 Q9 x111111111111

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
: [! N; h" V$ l  I# h