线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？

: X' Q" z; i+ y. q3 ^3 _5 q% A  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为

: H1 B* d; h4 U+ g# _                                         
          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）

例题：

9 ^$ S0 H. t/ U$ N' L/ q  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？
) _+ i7 V' f5 L
- V) k0 G" u( H& c0 j  U& `解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：
; `4 l+ i" `- t8 S- p9 y8 o* X+ v

( e9 c/ n/ M7 E, R将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：

5 @' V0 o" Y' ~4 ^4 |然后将已知约束关系整理如下：

可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
Matlab 程序实现
% [& m2 H5 i; L2 wclc;clear                                %清空数据防止干扰
' W4 i, I' v6 v* rf=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
. P) |; U# Q- q! _& K; k9 X" T2 ^aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
0 Z$ l0 O$ x9 S- ^& Q" b    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
* Y7 j1 ^, N; _  b! O( y0 \4 p$ K    zeros(1,8),ones(1,4);
    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
" L" \9 l9 L4 N; \    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
1 o8 T) ^" B! C" x  `    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
( I7 ?& g+ q0 J' @$ a题目答案：
x=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
y=85

, n. k3 u0 ~# R4 t
% ?/ E5 L7 ^3 o