线性规划——运输问题（产销平衡）

1047521767

运输问题（产销平衡）
7 |( A+ \) c: a& S2 p2 S: O  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？

  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为
1 ~( r, `) t$ z7 R% }
                                         
0 p+ q/ e  f4 z/ i$ I6 F3 F          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）

/ P/ ~4 L  P3 Y. X, b例题：
. l) U4 x8 H$ K2 B: y/ y2 O
& F9 V7 n4 L1 D8 e# q  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？
8 ]; w. L" H- Z- z
7 T/ M: [5 n1 w: S+ j' B2 l解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：
5 R" K* S: l; E& Z. W* t
: y' u1 O; V% K- F" ?
( H) [7 {& D8 n0 V4 _. x  ~4 j将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：

' D3 q& a/ [% ~7 f6 \9 R, @  q* Q然后将已知约束关系整理如下：

可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
6 Y% K+ T5 I" K- g  LMatlab 程序实现
clc;clear                                %清空数据防止干扰
& z; n2 X+ T5 B3 ]  L/ sf=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
$ d! d# k& }$ A$ T, f* gaeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
8 n7 P/ K7 C* h( \; e# ~8 R    zeros(1,8),ones(1,4);
    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
: ?' K  S. i5 c( a    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
题目答案：
x=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
2 }" A/ a2 B  c$ W/ ?0 u* ny=85
% x( n! \0 O5 Y$ N, [' d6 s8 v
" S: i- g: j, i- H5 a7 Y$ f9 ^
% j8 F/ S: D0 f( m: L
) v7 @2 F+ n7 b3 a9 X9 q