线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
- d  ]( {% K. k  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？
$ p# I7 z! K4 Z/ D
  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为
, P6 G4 C0 B0 h1 v: B
                                         
          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）

+ }5 p3 y) G$ V+ G# b例题：

  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？
/ @5 A% e& y" K5 P2 f6 @. i; h
解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：

' E( Z3 k/ L; o% W) {; @
5 T" d' d$ J2 J6 t将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：

然后将已知约束关系整理如下：

3 n' q7 |* B  {0 X  k可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
Matlab 程序实现
clc;clear                                %清空数据防止干扰
f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
6 N) W- i7 `" a' \4 baeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
9 d0 \9 a& |1 Y1 v    zeros(1,8),ones(1,4);
0 V) d- v$ p$ n  U8 B* m    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
' V# q: S% w3 j( ?2 f8 q    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
$ l" G) {+ [! x/ @, X1 V- G5 x$ e    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
( s3 e  M, c+ L4 |- o    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
2 O3 Z- g7 c+ `/ }, b[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
/ Z& D: l6 y7 z, y3 Q题目答案：
) {: Z) B7 k7 f$ N: i; _3 R& wx=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
y=85


, P5 J9 {* r. C& g