线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
9 s/ W  O8 b9 Z7 P  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？

9 r3 \5 P2 Q+ _- ~  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为
  j! \- N- ~. F+ R4 ?" q1 o
$ Y2 k6 l% B+ O, g7 z8 H                                         
          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）

例题：
) c$ T  S7 y% R& c% J; [
3 M' {: ^  c* [3 s- N; S1 j' {  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？
( }( J4 v" x' u. l
, c8 j/ j6 Z! Q- ^9 {; L4 u/ y9 [解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：
; e7 }7 F; [$ Y6 M

将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：

然后将已知约束关系整理如下：
: a: ~& G/ N* M# |" c) o
可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
7 V2 E! A  z4 R# dMatlab 程序实现
1 h* U# T0 o# T! `/ ]( Qclc;clear                                %清空数据防止干扰
( |+ Q$ C" W$ b1 a& z. Q0 ^f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
! z2 P6 s4 h7 Q% v+ k) _aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
$ y' U0 ^+ C# C: Z0 Z    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
    zeros(1,8),ones(1,4);
    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
+ \9 ]( R5 q. f% b' U    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
3 w: J: O8 e. x7 h1 a    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
# R. f( D9 n* Y* W0 ?" b[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
( d: L2 Q9 ?0 }6 p题目答案：
x=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
y=85

' A) t# r0 d, h. F7 d
2 w3 K5 h1 A+ k$ ~