线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？
% K& I# m0 m( Q  ]" P5 f
5 `! r! x+ ?; @' Q* j8 s  t  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为
. s" N% @; R2 t- J2 e) `
                                         
          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）

, x( b* P  K0 K例题：

3 f# x5 k4 s7 ^  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？

解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：
3 [6 c4 T; x( K0 z4 M

% w% o5 E2 I. U# l0 j9 h6 c8 |; P将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：
0 v( g- B6 \; _, |
* N: V2 }' K( j$ \然后将已知约束关系整理如下：
/ Y! i6 U4 }$ h- K9 G2 a) l& S& Q
2 z4 q! E, H- x6 N7 U* {可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
7 z/ t# w$ A$ R/ MMatlab 程序实现
1 O( w8 [; z2 A3 |" ^clc;clear                                %清空数据防止干扰
2 E9 r2 e0 \  F2 j3 B4 o! }1 sf=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
3 W7 ?8 R+ t6 @0 T/ r3 x. U: H( [aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
) m0 L3 U5 @  o! K2 `: A& n    zeros(1,8),ones(1,4);
    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
# e6 X/ j6 g7 r7 y1 d1 U    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
题目答案：
" C/ H* c1 R/ C# ~( [/ _" mx=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
7 T: x8 [5 S' i2 |4 H5 Oy=85