全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
- d# s" B& c2 w这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。


1. 求极限问题
7 [* `. M5 A+ M& M/ U, K) Y1.1 洛必达
没啥好说的。

- |0 W1 `; Z# S; \) X6 q3 k  N. V
1.2 等价无穷小


1.3 Taylor公式
) H  p; ^7 ]" r, r% W4 U4 H$ F熟记公式~


2 a' ]2 d% e4 K% Q! I4 r+ Y1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
7 `: D8 T* Z' B4 j  j. y: x
; v- c+ k9 E$ H( {; d
& \9 [0 t9 u3 H$ W4 _6 F* p1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
  p3 f6 E5 |, W% v& ?5 L) h
- T2 l0 H8 l& N3 o( D' f
8 @; J* \* ?: z9 @1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

0 {* j# H7 Z. [- x6 b" \& s7 W% B遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

9 f8 J) N8 }7 A& f1 a1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。


  H+ e1 O, O- T4 m1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
& p$ N3 C. Z4 B% q) H0 ~
# b8 M6 G  u' R6 g( k  V/ V/ n6 S把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：


- g; F% L# N$ a& F

2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。


2.2 隐函数求导 对数求导
8 m3 X5 h# i, Q0 n4 X当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)


8 ]1 x9 r& u, H2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。
' O+ E5 Y5 w! x  X$ D- b: i

2.4 高阶函数
Leibniz公式
) W  n  u% k$ L# L% W; _
9 G, S# F7 D0 V- L
常见高阶导数
; h4 h  C: i" W9 a6 s  a. G
/ Q: H! l6 x; t+ j$ U3 T0 i
! v% K. Z: x- ]' ]8 @9 W

: a# K0 |5 M% L% h' ?$ ^3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  * G( t8 @& J4 [

4 k5 t" _. B0 X: A. R# B9 O' t
3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

* _: D, g9 u/ S& K2 X8 A- e
% U$ P( V6 v$ B, A
, x7 p6 A; a7 A& L1 Y4 P! p

3 S2 N5 `. [& ^6 q
0 \* n4 v6 O- ]- @; t



0 ^' y* f! e/ l1 C! k
2 n, g! Z% [% W0 b* K

* \! B% D9 @; V! }" n, _