全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

1 L5 c" C, Z! E# i3 |8 v7 v1 z
1. 求极限问题
) }9 F) s* \5 C5 `( r' Z1.1 洛必达
9 c4 K4 A! H, n& z" L, O没啥好说的。
8 S: ^* @  P  l. A# R# w  k

* l" o& A! a- _: Z8 c$ m$ {" C1.2 等价无穷小
3 s/ ]" O6 }3 L" k; @2 ~
  [8 B/ k8 @( C. c8 g* X/ i5 R5 D
1.3 Taylor公式
熟记公式~


4 [$ B0 ~7 N; l1.4 两个重要极限
9 `( o. H' C8 t* J+ _8 c' |有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。


1.5 利用导数或微分定义
0 {: L' W. v2 x+ p8 _看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。


+ ~( Z+ Q4 _' i5 `/ h7 ~1.6 微分中值定理
2 P& p# u9 N' e6 N/ ~; C遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
& h6 N( }: Y/ g. x0 z
遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
/ w' x6 `4 O9 U& \% J' P  o# y
1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。

1 P6 I1 o5 `- Y1 H" Z! E3 Q
1.8 利用积分
* s$ d5 x. \- g$ w( J. P  \% e看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
1 c' f5 V: W. r7 i% j6 D+ Q
+ T; N' {! z$ j! I* @( l. ?3 g
+ Z# F3 E  z2 {" Q! N' I
6 b) x) D+ U$ e, M; s
1 F* X: n7 l6 p& ]! l6 M) d2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
3 |( O2 g1 @; \  h! d- h- y$ ^' e1 A8 ]- C

  W  Q2 i% n3 L% x. {, a2.2 隐函数求导 对数求导
: q- y' k2 n; {3 ?- H当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)

- w" v) X& u# U8 j) {! g9 |2 c
2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。
, S/ s7 ^) B. \8 T) d$ [0 H8 w, F
- Y: b3 U" b1 s& V9 _2 Q5 g
% {3 q" j: [0 c; `* z2.4 高阶函数
8 W+ w8 W' L: B: L7 u6 rLeibniz公式

8 R" g( I- R  X9 }0 y
常见高阶导数



% x0 E. Z& v$ R' G) p
- M. {; _$ {2 F0 k) `0 {3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  1 \# }6 m6 z3 k

8 ?4 C0 [0 o1 L
1 ~8 d7 f7 z4 \. J3 f6 a% L3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

7 W% W# P3 ]/ t" w# C6 g- g/ l
2 A1 K0 G' R$ ]: x" x8 A
) ?6 N. x: `0 N3 V1 q
0 a( }8 y+ T( m9 y# i


: z) v& a0 z3 \+ U# C* H


6 `  Y- H! k$ G5 O# p

" _% H4 U: E) [  J$ }* z8 Z3 }: i