全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
# P& _% s- q& \! X! J这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。


4 c3 v7 J3 y5 ?. q4 q9 F; a1. 求极限问题
1.1 洛必达
' D; c" e4 H( l/ O' k! x没啥好说的。
& {$ z+ j5 ^- d7 [

1.2 等价无穷小
, k! Y" x- h. F

/ h' k( i+ B+ x- m5 A0 \0 o( ~1.3 Taylor公式
熟记公式~


1.4 两个重要极限
! D+ j7 I$ i  q" h3 g  c有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。


4 w2 @2 z1 e7 V$ X$ q1.5 利用导数或微分定义
2 Q2 g; |& I0 F# H, l看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
1 e5 V0 T5 I' x: H- W. Q- f
" t" R* D. c* U# S. w
1.6 微分中值定理
" p( t9 f* S5 i( p$ c2 a' N* y遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

" j  L4 R* X, y- R遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

4 X7 U  g9 V) l; H5 ~1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。


0 w8 p. C- t8 y' e) h$ ]/ e: O1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
) L8 ^! j$ |7 X- Y, n
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
, Q3 l7 m& `8 ]8 o
( F2 u$ l' B6 E/ f/ q
  e! M5 U- t5 z6 q4 v1 y. E, G( V" C4 Q
+ g/ g3 d9 p9 A, N& }  x4 x
8 g5 N- d, R# \0 m* O3 N2. 导数的计算
+ P3 q: J: T, i- U4 b: S7 Q% V2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
, @- Z. w, |7 o. k! f' L' f
6 p/ W! O* t. v* ^% z
; `( p: I. O# s- n' u7 b5 I2.2 隐函数求导 对数求导
! W* o5 [  J) S当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)

# E7 t3 h, B' d$ S1 x) f
2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。
% ]- s% J/ i: Y$ P
. d: o8 _1 s+ u0 R# I4 M3 f/ x$ Q
  I6 U0 ^2 M2 M4 y; l" ~8 C1 ^2.4 高阶函数
Leibniz公式
% R4 i' R% [% W1 V0 V
0 B  C# ?( c4 [8 Z* R
! I/ E4 @* }; m5 @常见高阶导数
" R$ X; s- `  q$ G% c
7 `, J  P9 [+ ~, y6 [  h
$ b  c1 W% R/ n" D5 M! D
6 L. w' @+ ^/ H
3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
' U1 ?& D% S- W+ U; u/ q
" W* a$ Z. a6 v8 r4 E+ X- F3 K

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

3 I+ E! Z* T" S" W, v2 j+ u2 y4 g3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  ! y: {0 W' V$ `) A( n$ P

$ _2 R* ?& H. s8 L4 n) r
" L" E- e0 S) T. a  b) m! ]3 n% N


3 I0 Q! g9 j. N


# j6 V" F" G/ l) u* c- O

" j* s0 _3 v+ ^' e: ^; D' N" d
1 B8 m/ ]- O% [9 _2 C