全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
4 `8 S& }6 A; q- L& K6 m这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
% C* z! G. B8 ^' J+ @0 T; ^

& l! q/ w$ b; m  t$ {; d/ N1. 求极限问题
. l8 X- [+ j/ I9 o; M& a% l/ o1 y1.1 洛必达
9 @8 G) f5 K% g6 }" B; L& o* B没啥好说的。

; ^( [0 Q& ?- x9 n
1.2 等价无穷小
- ?2 l5 b; M5 c9 S) n

8 y/ D( C- l0 ?6 s. P1.3 Taylor公式
3 M9 r  v' s: e/ `$ I" p熟记公式~

8 I$ |* Z& p! A
1.4 两个重要极限
$ H7 I$ v( Z5 x, M1 P有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。


1.5 利用导数或微分定义
7 g! |& ^" T* H; G. P( O, M看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
; v* R$ |( e8 c

0 g9 F6 e. z8 F3 K1 z) G  Z1.6 微分中值定理
; p; {  _5 C: d. f) Y5 |遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。
; {0 O9 G/ Z: h0 `, s6 Z
; r- ]; e2 A, f  j! l7 T
% X) P5 G- m5 i/ A( Q1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
4 P/ [/ e7 [0 m  U- O* M4 a- B
+ i- S) q2 Y( `/ D4 J6 w把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：




' j9 a- t' B% b9 t$ E; V' M2. 导数的计算
/ m" U) i2 o2 i" }* ^; Y2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
' i$ c! A7 h* M( `" V
2 `7 o  F1 U& r
2.2 隐函数求导 对数求导
$ @. {+ t5 d( {6 n- V8 ~: t当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)

  ?2 c) S& K1 g, a! H# T
  F" w" L3 ]* V+ f* k2.3 参数方程确定的函数求导
" U+ p) H6 e8 a5 A# [$ u4 e理解过程。
# M/ z6 C8 O. P- X
) w; x$ F+ A( ?4 U, F  u8 A
9 _; l$ v7 L0 q' t8 p. q2 ?2.4 高阶函数
Leibniz公式
; z' P  Y/ ~5 c- i+ m% P

8 D" [9 c1 l2 K% x) U常见高阶导数

7 S1 _7 p2 z0 P, u3 j8 k/ X
; ~6 u# }% d/ f# M; r2 g
2 A$ H( X' m: u& t9 H3 F+ Z
; M* P* f/ @- p3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

9 E: e/ \& {" p

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  3 e# S- c/ s/ Y& y/ b# u  T# M

2 e: e* p! `: i+ `0 u, o
3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

: g$ q6 J- T3 O- ?" z



! X" }% V$ [9 t- g' \" U" ^

5 d+ c0 Z7 a% d2 V  e) L



& U% {( L9 N. y4 P, g5 F