全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
( {/ E/ \2 u) `$ b. X

# U. K; q1 [3 e! Z. L5 x! P5 M8 a1. 求极限问题
1.1 洛必达
没啥好说的。

% M- D% A4 J, M7 Z2 M
( w3 N& e9 M5 \* {' T+ z1.2 等价无穷小

. Z( q+ F% e! b
5 Q6 \  S) c2 C5 I1.3 Taylor公式
熟记公式~
0 ^# Z% _* Z1 E) d
; p/ }8 l9 H9 B3 V! F' N
1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
% ^9 C9 o/ r- E3 A' r2 B1 a5 G1 V; j$ L

) R" B& @' |' f1 H1.5 利用导数或微分定义
6 ]$ o7 h& D$ B7 K看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。

! [6 X3 F- R* @; p
5 ^/ n' N5 u. }2 N& t6 B5 ]1 W0 Z1.6 微分中值定理
& ?9 i" d4 R# r1 |遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

/ X9 B0 b7 D7 r) r遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

, u- R, u6 V* ^8 E! @$ v1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。


1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
5 `1 q1 \" W$ [. E
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：

' i  F, V4 t4 U
0 p9 w1 c+ \7 _0 T* |# \0 J! T
% o. ~; o. ?. @$ Q
( j  E; a( Y# B7 ]2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
4 W) o  r( s  q* R, Q3 M如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
9 ?8 T- G  m/ X9 L$ \5 }- @3 ~
8 w0 B! X( N! }
2.2 隐函数求导 对数求导
+ W+ r; {" q7 l& _当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
2 R, Y0 J% S6 ^  T

2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。
. v4 y. d) T" G' q

* Y) }/ C  I& O6 }8 O2 ^2.4 高阶函数
* s% h3 o1 W0 S2 V& G/ gLeibniz公式

9 y' Y5 k+ G1 F
常见高阶导数


) B' b& v: q& S+ g

6 g& u) T) y- ^3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  ; }1 ^0 D+ o( N5 C; r

3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  # `6 ]8 t% ?0 ?" B

% O, t% k  n) e: Q2 U% v
5 f% r$ s# Q! h! v8 \/ v. g

$ H. {- J, L9 Y' y- p





7 L) v5 F' O, I+ B
! e! _6 N, m) ]; e% I

1 m- }& G6 E* M6 p3 C