动态模型之差分方程模型应用

普大帝

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我们有时把差分方程处理的也视动态过程，不过其变量是通过一序列 x1,x2,…,xn,…来表示，而所求的函数值在不同的序列点f（x1）,f（x2）,…,f（xn）,…上互相之间有关系.

我们来看一个经济学中的蛛网模型.

问题描述 经济学中认为，商品的本期产量由前一期的价格决定，而商品本期的需求量由本期的价格决定.

思路分析 生产时间节点为t1,t2,…,tn,…，某商品在时间tn的产量f（tn）由前一期的价格P（tn-1）线性决定，即供给函数为f（tn）= -a+bP（tn-1），而该期商品的需求量g（tn）由本期的价格P（tn）线性决定，即需求函数为g（tn）=c-dP（tn），这里a、b、c、d是正常数，分别代表生产基本消耗、供给弹性系数、基本需求和需求弹性系数.如果生产安排合理，那么需求量应该等于产量，则有f（tn）=g（tn）.

模型建立 将f（tn）、g（tn）的表达式代入，我们就得到一个关于价格函数的差分关系式

c-dP（tn）=-a+bP（tn-1），

或者写成递推关系式

模型求解 解这个差分方程并不难.可以通过直接解模来讨论其解的性质.迭代上式，可以得到第n期的价格P（tn）关于初始价格P（t0）的关系

把式中的等比级数写出来，也可以把这个解写成

从这个模型我们可以看出，a、b、c、d这4个系数决定了价格的走势，这里，实际上只有2个参数，分别记为

我们可以分别把它们称为收敛型、发散型和稳定型蛛网.

（1）当B＜1，即供给弹性小于需求弹性时，（-B）n将趋于0,P（tn）趋于均衡点为这表明需求弹性大，价格变化相对较小，进而由价格引起的供给变化则更小，因而由供给引起的价格变化随着时间越来越不起作用.这种情况就是收敛型情形.图3.4中，参数设为a=1,b=1,c=3,d=2,P（0）=1，即A=2,B=0.5.

图3.4 蛛网稳定图

（2）当B＞1，即供给弹性大于需求弹性时，（-B）n将趋于无穷，P（tn）发散.这表明当市场由于受到外力的干扰偏离原有的均衡状态后，实际价格和实际产量偏离均衡点越来越远.其原有的均衡状态是不稳定的.这也意味着产量可以无限供给，价格可以无限提高.这就是发散型的情形.图3.5中，参数设为a=1,b=2,c=3,d=1,P（0）=1，即A=4,B=2.

图3.5 蛛网发散图

（3）当b=d，即供给弹性等于需求弹性时，（-b/d）n趋于±1，当市场由于受到外力的干扰偏离原有的均衡状态以后，实际产量和实际价格始终按同一幅度围绕平衡点上下波动，既不进一步偏离平衡点，也不逐步地趋向平衡点.这就是震荡稳定型的情形.图3.6中，参数设为a=1,b=1,c=3,d=1,P（0）=1，即A=4,B=1.

图3.6 蛛网振荡图

蛛网模型解释了某些生产周期较长的商品的产量和价格的波动情况，在经济学里是一个有意义的动态分析模型.

模型的缺陷则是没有考虑生产者的预期行为.

西方经济学家阿西玛普罗斯举出了以下的事例.

在美国，1972年由于暴风雨的恶劣气候，土豆产量大幅度下降，从而土豆价格上涨.因此，农场主便扩大土豆的种植面积，使土豆产量在1974年达到历史最高水平.结果，土豆供给量大幅度增加，导致土豆价格又急剧下降.以缅因州土豆为例，0.453 6kg土豆的价格由1974年5月的13美分降为1975年3月的2美分，该价格比平均生产成本还低.这种现象可以用蛛网模型来解释.作为补充，阿西玛又举了一个特殊的例子来说明蛛网模型的缺陷：在普林斯爱德华岛屿，当农场主们都因土豆价格下降而缩减土豆的种植面积时，有一个农场主不是这样做的.因为这个农场主根据其长期的经营经验，相信土豆价格将上升，而眼下正是自己增加土豆产量的时候.可见，这个农场主的预期和行为与蛛网模型所分析的情况是不吻合的.

可用蛛网模型解释我们常见的市场猪肉、绿豆等农产品价格上下波动的实际情况，根据实际数据，预测未来价格走向.​

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