【国赛优秀论文A题】CT 系统参数标定及成像

普大帝

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CT 系统参数标定及成像

摘要 本文根据给定的 CT 标定板设计了一套平面 CT 标定的算法，具有较好的精度和稳定性，并建立了通过投影值反求吸收率的重构模型与算法，经过去噪后可以得到较好的吸收率图像。同时设计了一套新的 CT 标定板，通过充分利用几何特征来提高标定算法的性能。

第一问中，首先通过一部分投影值与圆弦长的数据进行最小二乘拟合，确定了二者之间的线性关系，初步计算得增益系数 μ 值为 1.7727。再进行整体的几何模型建模，建立坐标系，构造探测器接收信息与旋转中心、探测器位置，及探测器单元之间的距离的函数关系，基于最小二乘的思想进行非线性优化，为了增加模型的精度和稳定性，使用迭代优化的方法对参数进行求解。求得旋转中心 R 0 的坐标为 (-9.2696mm, 6.2738mm)，传感器间距为 ∆d = 0.2768mm 。根据所建坐标系，CT 系统 X 射线逆时针旋转的始值为-60.3465°，终值 118.6439°。

第二问中，首先根据问题一中的标定数据，对附件 3 中的数据进行预处理，将其变换为旋转中心在正方形托盘正中心的数据。再分别建立连续、离散两种 CT 反投影重建模型。连续模型中，利用傅里叶中心切片定理，设计滤波反投影算法（FBP），先将投影数据进行傅里叶变换，滤波后逆傅里叶变换，将所得的值在反投影平面累加，实现吸收率图像重构；离散模型中使用代数迭代法（ART）对网格化的离散数据直接建模，用矩阵迭代的方法对像素网格进行处理，实现图像的重构。最终我们基于两种不同的算法，分别对模型进行重建，给出了题中所要求的十个点处的吸收强度。

第三问中，针对更加复杂的噪声，以及更复杂的数据，我们对噪声进行分析。用 SPSS软件对可能噪声值进行 Kolmogorov-Smirnov 分布检验，确定其分布，求出其噪声为均值0.1549 的均匀分布。在此基础上，使用同第二问的方法进行反变换、去噪，得到最终的重建图像，并给出十个指定点处的吸收强度。

第四问中，我们对问题一中的标定算法进行稳定性和精度分析，并设计了一套新的标定模板。首先利用仿真的方法，通过设定所需标定参数，生成探测器接收信息数据，再通过数据反求其标定参数。求得在无噪声的情况下，标定参数误差较小，标定精度较高；在数据有人工噪声的情况下，各个参数的相对误差在 1% 以下，稳定性良好。同时，对于问题一中迭代算法选取的不同初值，模型均能求解出其标定参数，且误差较小，证明我们的模型对初值选取不敏感。最后，我们设计了一个具有显著几何特征的图形作为标定模板。

通过充分利用几何特性，可以求得各个参数的初步估计值，以估计值作为初始值进行最小二乘的非线性优化，得到了良好的标定效果。

关键词： 最小二乘拟合；迭代优化；滤波反投影算法；代数迭代法；

1 问题重述

CT 系统是一种利用样品对射线的能量吸收特性对样品进行断层成像的技术，在不破坏样品的情况下获取样品内部的结构信息。问题中使用的是一种二维 CT 系统，探测器平面发出平行入射的 X 射线，探测器绕某固定的旋转中心逆时针旋转 180 次，可以获得 180组接收信息，每组信息有 512 个等距单元的数据。我们需要建立数学模型和算法，解决以下问题：

1. 根据题目给出的标定模板，以及标定模板的接收信息，对 CT 系统的旋转中心的位置、探测器单元之间的距离以及射线的 180 个方向进行确定。

2. 根据给出的某未知介质的接收信息，利用 (1) 中得到的标定参数，对介质的位置、几何形状、吸收率进行确定。且给出指定位置的吸收率信息。

3. 根据给出的另一未知介质的接收信息，给出该未知介质的相关信息，以及指定未知的吸收率信息。

4. 对问题 (1) 中的参数进行精度和稳定性分析，并自行设计新模板，建立对应的标定模型，以改进参数标定。

2 问题分析

第一问中，首先需要确定吸收率与衰减强度之间的数学关系。考虑使用一部分投影值与圆弦长的数据进行分析，确定二者之间的函数关系。再进行整体的几何模型建模，建立坐标系，根据旋转中心、探测器与坐标轴的夹角来建立关于弦长的投影模型。考虑到待优化参数较多，可迭代优化参数，再通过改进的最小二乘法，进行非线性优化，得到标定值。

第二问，首先根据问题 1 中求得的标定参数，对附件 3 中的数据进行预处理，使之旋转中心变换到正方形托盘中心。再进行 CT 反投影重建建模，考虑连续和离散两种建模求解方式。连续模型中利用傅里叶中心切片定理，设计滤波反投影应算法（FBP）进行重建。离散模型中使用代数迭代法（ART）对像素网格直接进行求解。再对吸收率图像进行降噪处理，考虑比较多种降噪算法表现，得到重建图像。

第三问与第二问相比，数据加入了噪声，且图形更加复杂，对算法稳定性要求更高。首先进行去噪，用 SPSS 软件对可能噪声值进行 Kolmogorov-Smirnov 均匀分布检验，确定其分布，再按照同第二问的方法进行反变换、去噪，得到最终的重建图像。

第四问首先用模拟仿真的方法对第一问的标定模型进行检验，研究其精度；再考察其对于噪声和迭代初值的稳定性。最后考虑建立新模板并利用其几何特征估计参数并作为迭代初值，提升标定算法速度与精度，并进行稳定性验证。